2019-2020学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合＝‸㘱，＝㘱，＝，则＝（）A.晦㘱‸㘱B.晦㘱C.‸㘱D.㘱‸㘱2.函数ln‸ݔݔ晦‸的定义域为（）A.晦㘱‸洠B.晦㘱‸洠C.晦‸㘱晦D.晦‸㘱晦洠‸‸‸‸‸晦㘱ሻ3.设函数，则晦ݔlog‸＝（）㘱A.B.C.D.4.已知，，满足，且ሻ，那么下列选项中不一定成立的是（）A.B.晦ሻC.‸ሻ‸D.晦ሻ5.已知向量㘱，满足‸㘱‸，且晦＝‸，则向量的夹角的余弦值为（）‸‸‸‸A.B.C.D.‸6.二十四节气是中国古代的一种指导农事的补充历法，是我国劳动人民长期经验的积累成果和智慧的结晶，被誉为“中国的第五大发明”．由于二十四节气对古时候农事的进行起着非常重要的指导作用，所以劳动人民编写了很多记忆节气的歌谣：春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影是按照等差数列的规律计算出来的，在下表中，冬至的晷影最长为Ͳ寸，夏至的晷影最短为Ͳ⸸寸，那么《易经》中所记录的清明的晷影长应为（）节冬小大立雨惊春清谷立小芒夏气至寒寒春水蛰分明雨夏满种至（（（（（（（（（（（大小立霜寒秋白处立大小雪雪冬降露分露暑秋暑暑）））））））））））晷…Ͳ……………？…………Ͳ⸸影…………………………长度A.Ͳ‸寸B.‸Ͳ寸C.Ͳ寸D.‸Ͳ⸸寸7.已知等比数列的前项和为，若ݔ‸，＝ݔ＝，则⸸＝（）A.B.⸸C.D.试卷第1页，总9页,8.函数＝sinݔ（其中㘱ሻ）的图象如图所示，为了得到＝‸sin的图象，只需将图象（）A.向右平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向左平移个单位长度‸‸‸9.函数晦sin晦，是的导函数，则的图象大致是（）‸A.B.C.D.10.已知定义在上的函数满足ݔ＝，＝ݔ为偶函数，若在㘱内单调递减．则下面结论正确的是（）A.ሻ‸ሻln‸B.‸ሻln‸ሻC.ln‸ሻሻ‸D.ln‸ሻ‸ሻ二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分．选对但不全的得2分，有选错的得0分．)11.下列命题中，是真命题的是（）A.已知非零向量㘱㘱ݔ晦㘱试卷第2页，总9页,B.若㘱ݔ㘱￢则，ln晦，ݔ，晦lnC.在䁨中．“sinݔsin＝cosݔcos”是“＝”的充要条件D.若定义在上的函数＝是奇函数，则＝（）也是奇函数ݔ‸12.设是定义在上的函数，若存在两个不相等的实数，‸，使得‸ݔ‸，则称函数具有性质，那么下列函数中，具有性质的函数为（）‸㘱①；②＝log‸；③＝ݔ；④＝‸．㘱A.①B.②C.③D.④13.设函数sin晦，已知在㘱洠有且仅有个零点，对于下列个说法正确的是（）A.在㘱上存在，‸，满足晦‸＝‸B.在㘱有且仅有个最大值点C.在㘱单调递增‸D.的取值范围是㘱三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．)14.若tan＝‸，则cosݔ‸________．‸‸15.若函数＝晦ݔݔ在区间㘱上单调递减，则实数的取值范围为‸________．16.䁨中，为䁨上的一点，满足䁨．若为上的一点，满足ݔ；________为值大最的则，㘱䁨ݔ的最小值为________．17.设䁨的内角，，䁨的对边分别为，，，已知，，依次成等比数列，且cos晦䁨晦cos，则sin䁨＝________．‸‸四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)18.已知等差数列的前项和为，且＝，＝‸．（1）求；（2）若，，ݔ‸成等比数列，求正整数的值．试卷第3页，总9页,19.设函数‸ൌ‸ݔ‸sincos的图象关于直线＝对称，其中为常数，且㘱．‸（1）求函数的解析式；（2）若＝，㘱，求的值．20.已知函数lnݔ㘱．（1）若曲线在点（㘱）处的切线与轴垂直，求的值；（2）若在区间㘱洠上至少存在一点，使得ሻ成立，求的取值范围．21.如图，在平面四边形䁨中，䁨，䁨＝䁨，䁨＝‸＝．（1）若䁨‸，求䁨的面积；（2）若䁨，求䁨．22.某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为⸸万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚万元，以后每月增加‸万元．如果从今年一月起投资万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前个月中的累计生产净收入是生产时间个月的二次函数＝‸ݔ（是常数），且前个月的累计生产净收入可达万元，从第个月开始，每个月的生产净收入都与第个月相同，同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励‸万元．（1）求前个月的累计生产净收入的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入．23.已知㘱晦ln．‸（1）当时，证明；（2）已知点（㘱），点sin㘱晦cos，若为坐标原点，设函数，当晦㘱洠时，试判断的零点个数．‸试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2019-2020学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.B3.B4.C5.B6.D7.D8.C9.A10.A二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分．选对但不全的得2分，有选错的得0分．11.A,B,D12.A,B,C13.A,D三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．14.晦15.16.,17.‸四、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.设公差为，则＝ݔ，＝‸ݔ‸，‸解得，＝‸，＝‸，所以：＝‸ݔ晦‸＝‸．ݔ‸ݔ因为‸㘱ݔ‸ݔ‸ݔ‸‸ݔ‸ݔ．‸又，，成等比数列，所以‸ݔ‸ݔ＝‸‸，化简得：‸晦晦＝ݔ‸解得：＝或＝晦，试卷第5页，总9页,又，∴＝．19.‸ൌ‸ݔ‸sincossin‸晦cos‸ݔ晦‸sin‸ݔ．∵图象关于直线＝对称，∴‸晦ݔ㘱．‸∴ݔ㘱㘱，‸‸令＝，得符合要求，∴函数＝‸sin晦ݔ；∵‸sin晦ݔ，∴sin晦，∴晦，即ݔ，，∵㘱，∴当＝时，；当＝时，．∴或．晦20.∵lnݔ，∴晦，‸‸∵曲线在点（㘱）处的切线与轴垂直，∴＝，∴＝晦＝，∴＝．晦∵㘱，‸令㘱，若在区间㘱洠上存在，使得ሻ，即在区间㘱洠上的最小值小于．①当ሻ，即ሻ时，ሻ在㘱ݔ上恒成立，∴在区间㘱洠上的最小值为ݔ．由ݔሻ㘱ሻ晦．②当ሻሻ时，即，此时，当㘱㘱ሻ㘱㘱㘱，∴在区间㘱洠上的最小值为lnݔ，由lnݔ晦lnሻ，得．试卷第6页，总9页,③当，即ሻ，此时当㘱上时，ሻ恒成立，∴在㘱上的最小值为ݔ，显然ݔሻ不成立．综上可知，所求的取值范围为ሻ晦．21.∵䁨，＝‸，䁨‸，由余弦定理可得，䁨‸＝‸ݔ䁨‸晦‸䁨cos䁨，‸‸∴‸ݔ䁨ݔ䁨，‸∴䁨‸ݔ‸‸晦，∴䁨‸‸，或䁨晦‸（舍），‸䁨䁨sin䁨‸‸‸‸．‸‸‸设䁨＝䁨＝，则ሻሻ，䁨晦，䁨䁨‸在䁨中，，即，sin䁨sin䁨sinsin晦‸∴䁨．sin晦䁨䁨䁨在䁨中，，即，sin䁨sin䁨sinsin‸∴䁨．sin‸‸由，解得‸sin＝cos，sin晦sin又ሻሻ，∴sin，‸∴䁨‸．sin22.据题意＝‸ݔ＝，解得＝．∴＝‸ݔ．第个月的净收入为晦＝万元．∴＝ݔݔ‸＝‸ݔ‸＝万元．‸ݔ㘱㘱ݔ晦晦洠㘱㘱‸ݔ㘱㘱即，晦‸㘱Ͳ晦要想投资开始见效，必须且只需晦ݔ晦⸸‸ݔ‸洠，‸即ݔ‸晦晦⸸，①当＝，‸，，时，‸ݔݔ‸晦晦⸸，即‸‸ݔ‸晦⸸，即‸ݔ‸⸸，显然不成立．试卷第7页，总9页,②当时，晦‸ݔ‸晦晦⸸，即‸ݔ即，‸晦ݔ‸，验算得时，ݔ‸，所以，经过个月投资开始见效．23.令晦晦晦ln．‸晦晦‸则，‸令晦㘱，‸则晦，‸由㘱ln，‸由ሻ㘱ሻሻln，∴㘱ln递减，在ln㘱ݔ递增，‸‸‸∴ln晦ln晦ln，∴晦㘱ݔ上恒成立．‸‸‸‸‸‸‸∵在㘱递减，在㘱ݔ递增，∴晦，‸∴．∵点（㘱），点sin㘱晦cos，∴sin晦cos，∴＝ݔsinݔ晦cos，①当晦㘱洠时，可知，‸∴晦ሻ，又sin，cos，∴ሻ㘱晦㘱洠单调递减，晦㘱晦‸‸‸．∴晦㘱洠上有一个零点，‸②当㘱洠㘱cossin㘱，∴cossin，∴＝sin晦cosሻ恒成立．∴㘱洠上无零点．③当㘱洠㘱ሻcosሻsin，‸∴＝cosݔnisݔsin晦cos，∴㘱洠上单调递增‸‸‸‸㘱晦晦ሻ，‸‸‸‸‸∴㘱洠上存在一个零点．‸试卷第8页，总9页,④当㘱洠时，∵sin，cosሻ，‸∴＝sin晦cos恒成立，∴㘱洠无零点．‸综上，晦㘱洠上零点个数为‸．‸试卷第9页，总9页
