2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知全集U={1, 2, 3, 4}，集合A={1, 2}，B={2, 3}，则∁U(A∪B)=()A.{1, 3, 4}B.{1, 2, 3}C.{4}D.{2, 4}2.已知x∈(0,π2)，则函数y＝cosx+4cosx()A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+∞3.已知非零向量a→，b→，c→，若a→＝(1,x)，b→＝(4,-1)，且a→ // c→，b→ // c→，则x=()A.4B.-4C.14D.-144.函数f(x)=x-2x的大致图象是（）A.B.C.D.5.要得到函数y＝3sin(2x+π4)+2的图象只需将函数y＝3cos(2x-π2)的图象（）A.先向右平移π8个单位长度，再向下平移2个单位长度B..先向左平移π8个单位长度，再向上平移2个单位长度C..先向右平移π4个单位长度，再向下平移2个单位长度D..先向左平移π4个单位长度，再向上平移2个单位长度6.给出下列四组函数：①y=2|x|(x∈R)，s＝2t2(t∈R)；②y=|x|(-1≤x≤1)，u=v2(-1≤v≤1)；③y=x(x∈{-1, 0, 1})，m=n3(n∈{-1, 0, 1})；④y=2x(x∈{0, 1})，y=2|x-1|(x∈{0, 1})．其中，表示相同函数的组的序号是（）试卷第5页，总6页, A.①③④B.①②C.①③D.①7.设(a, b)∈{(x, y)|x-3y+1≥0, 且x+y-3≤0, x, y∈R}，则2b-a的取值范围是（）A.[0, +∞)B.(-∞, 0]C.(-∞, 3]D.(-∞, +∞)8.若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞, +∞)单调递增，且f(2)=1，则不等式|f(x)|≤1的解集为（）A.{x|-1≤x≤1}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|-2≤x≤2}D.{x|0≤x≤2}9.已知圆x2+y2=1与y轴的负半轴交于点A，若B为圆上的一动点，O为坐标原点，则OA→⋅BA→的取值范围为（）A.[0, 2]B.[0, 1]C.[-2, 2]D.[-1, 1]10.公元1202年列昂那多•斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{an}:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即a1=1，a2=1，an=an-1+an-2(n∈N*, n>2)，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列{an}的各项除以2后的余数构成一个新数列{bn}，设数列{bn}的前n项的和为Tn；若数列{cn}满足：cn=an+12-anan+2，设数列{cn}的前n项的和为Sn，则T2020+S2020=()A.1348B.1347C.674D.673二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。)11.已知sinθ+cosθ＝12，θ∈(0, π)，则θ是________（填：“锐角”，“钝角”，“直角”之一），且sin2θ=________．12.设a=log23，则4a=________（用数值表示），lg36lg4=________．（用a表示）13.已知函数f(x)=x-3,x≤2f(x-2),x>2，则f(-1)=________，f(2021)=________．14.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=20，a5=18，则S20=________．15.已知向量a→，b→满足：a→⋅b→＝|a→|＝1，|a→+b→|＝7，则向量a→与b→的夹角为________．16.已知集合A={x|x=2k-1, k∈N*}，B={x|x=3k-2, k∈N*}，则A∩B=________．（用集合的描述法表示）17.已知a，b∈R，且a+ba+1+b+1＝2，则a+b的最大值为________，最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2A+4cosA=5．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若ab-c=2sinA，求角B，C．试卷第5页，总6页, 19.已知平面向量a→＝(12,cosx)，b→＝(1,2sin(x-π6))，设函数f(x)＝a→⋅b→+2．(Ⅰ)求函数|f(x)|的最小正周期；(Ⅱ)若不等式λ-1<f(x)<λ+1在x∈[0,π2]上恒成立，求实数λ的取值范围．20.设函数f(x)=x|x+2k|+2x，k∈r．当k=-1时，解不等式f(x)>3；(Ⅱ)若对任意x∈[1, 2]时，直线y=2x+1恒在曲线y=f(x)的上方，求k的取值范围．21.已知数列{an}满足a1=2，an+1=4an+9n-6．(Ⅰ)问是否存在实数x，y，使得数列{an+xn+y}是等比数列？若存在，求出x，y的值，若不存在，请说明理由；(Ⅱ)设i＝1nai＝a1+a2+a3+…+an，求i＝1ni(ai+3i)．22.已知函数f(x)＝ex-2axx2-alnx（a∈R，e是自然对数的底数）．(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；(Ⅱ)当a=-1时，求f(x)的单调区间；(Ⅲ)若f(x)在(0, 2)内存在两个极值点，求a的取值范围．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省宁波市慈溪市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C2.C3.D4.A5.B6.C7.D8.C9.A10.B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。11.钝角,-3412.9,1+a13.-4,-214.30515.π316.{x|x=6k-5, k∈N*}17.4+42,2+23三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.（1）因为4sin2A+4cosA=5，所以4-4cos2A+4cosA=5，4cos2A-4cosA+1=0，解得cosA＝12，因为0<a<π，所以a＝π3；（2）因为a＝π3，所以由余弦定理，得cosa＝b2+c2-a22bc＝12，sina＝32，所以b2+c2-a2=bc①，又ab-c＝2sina，得b-c＝33a②，将②代入①得b2+c2-3(b-c)2=bc，即2b2+2c2-5bc=0，而b>c，解得b=2c，所以a＝3c，故b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且角B是直角，所以B＝π2，C＝π6．19.（1）因为f(x)＝a→⋅b→+2，所以f(x)＝12+2cosxsin(x-π6)+2=3sinxcosx-cos2x+52=32sin2x-12cos2x+2=sin(2x-π6)+2，所以|f(x)|＝sin(2x-π6)+2，所以|f(x)|的最小正周期为π；（试卷第5页，总6页, 2）因为0≤x≤π2，所以-π6≤2x-π6≤5π6，所以32≤sin(2x-π6)+2≤3，由不等式λ-1<f(x)<λ+1恒成立，得λ-1<32λ+1>3，解得2<λ<52，故所求实数λ的取值范围为(2,52)．20.（1）当k=-1时，不等式f(x)>3即x|x-2|+2x>3，所以x≥2x(x-2)+2x>3或x<2x(2-x)+2x>3，即为x≥2x>3或x<-3或x<21<x<3，解得x≥2或1<x<2，所以原不等式的解集是(1,>0，当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0，故f(x)的递减区间为(0, 2]，递增区间为[2, +∞)；（注：开闭区间无关）(Ⅲ)函数f(x)在(0, 2)内存在二个极值点⇔y=f'(x)在(0, 2)内有两个异号零点，所以f(x)在(0, 2)内存在二个极值点⇔y=ex-ax在(0, 2)内有两个异号零点，设h(x)=ex-ax，则h'(x)=ex-a，①当a≤1时，h'(x)>0，所以h(x)在(0, 2)上递增，所以h(x)在(0, 2)内不存在两个不同的根；②当a>1时，由h'(x)>0可得x>lna；由h'(x)<0可得x<lna，所以h(x)的最小值为h(lna)=a(1-lna)，所以ex-ax=0在(0, 2="">0且h(2)=e2-2a>0且h(lna)=a(1-lna)<0且0</lna，所以h(x)的最小值为h(lna)=a(1-lna)，所以ex-ax=0在(0,></x<2时，f'(x)<0；当x></x<3，解得x≥2或1<x<2，所以原不等式的解集是(1,></f(x)<λ+1恒成立，得λ-1<32λ+1></a<π，所以a＝π3；（2）因为a＝π3，所以由余弦定理，得cosa＝b2+c2-a22bc＝12，sina＝32，所以b2+c2-a2=bc①，又ab-c＝2sina，得b-c＝33a②，将②代入①得b2+c2-3(b-c)2=bc，即2b2+2c2-5bc=0，而b></f(x)<λ+1在x∈[0,π2]上恒成立，求实数λ的取值范围．20.设函数f(x)=x|x+2k|+2x，k∈r．当k=-1时，解不等式f(x)>
