2020-2021学年浙江省杭州市某校期中考试高三（上）数学试卷一、选择题)1.设全集全ǡǡǡǡ，全ǡǡ，全ǡǡ，则全()A.ǡǡB.ǡǡǡC.{}D.ǡǡǡ2.若实数，满足约束条件ǡǡǡ则全ǡ的最大值为()A.ǡB.C.D.3.已知ǡ䁪R，若ǡ䁪ǡ䁪i（i为虚数单位），则的取值范围是()A.或‴ǡB.或‴ǡC.ǡ‴‴D.ǡ‴‴4.某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积(单位：是()A.B.C.D.5.函数全和全的图像不可能是()A.B.C.D.6.已知直线与平面，，，能使的充分条件是()①t，t②，③，④t，tA.①②B.②③C.①④D.②④7.在数列中，全，对任意的ǡ，全，若全㌳，则全()A.B.C.D.㌳试卷第1页，总7页,8.如图，在正四棱锥ǡt中，设直线与直线t、平面t所成的角分别为，，二面角ǡtǡ的大小为，则()A.，B.，‴C.‴，D.‴，‴9.当ǡǡ时，不等式䁪恒成立，则䁪的最大值为()A.B.C.㌳D.二、填空题)10.已知全log，䁪全log，则䁪全________，䁪全________.11.设全，若全，则全________，全________.12.对于任意实数，直线ǣǡǡ全均与圆ǣ全有交点，则当取最小值________时，经过直线与圆交点的圆的切线方程为________.13.在三角形中，角，，所对的边分别为，䁪，，且䁪coscos全sin，则角全________；若䁪全，且的面积为，则全________.14.学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积分，第二局胜利积分，失败均积分，某人每局比赛胜利的概率为，设他参加一次答题活动得分为，则全________.15.已知正实数，䁪，满足䁪全，䁪䁪全，则的取值范围是________.16.若平面向量，䁪，，满足ǡ䁪全，䁪ǡ全，ǡ全，ǡ䁪ǡ全，则ǡ全________.三、解答题)17.已知全coscosǡ.求的单调递增区间；若全，求ǡ的值．18.如图，已知三棱锥ǡ中，t平面，t，全全，t全t，，分别为，的中点，为的中点．试卷第2页，总7页,求证：tt；求直线和平面t所成角的正弦．19.已知数列的前项和为且满足全ǡ.求的通项公式；记全，求证：ǡ‴.20.已知直线ǣ全䁪䁪与抛物线ǣ全交于，两点，是抛物线上异于，的一点，若重心的纵坐标为，且直线，的倾斜角互补．求的值；求面积的取值范围．21.已知函数全.试讨论的单调性；若，证明：ln.试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州市某校期中考试高三（上）数学试卷一、选择题1.B2.C3.A4.D5.C6.D7.C8.A9.B二、填空题10.,11.,12.,ǡ全13.或,㌳㌳14.15.ǡ16.三、解答题17.解：全coscosǡ全coscossin全cossin全sin，当ǡǡǡ，函数单调递增，∴的单调递增区间为ǡǡ，.由已知得全sin全，所以sin全，所以ǡ全sin全ǡcos㌳全ǡǡsin全ǡ.试卷第4页，总7页,18.证明：∵t面，t，∴以为原点，，所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设全全全，则ǡǡ，ǡǡ，ǡǡ，ǡǡ，∴ǡǡ，ǡǡ，ǡǡ，tǡǡ，∴全ǡǡǡǡ，t全ǡǡ.∵t全，∴tt.解：由知全ǡǡǡǡ，全ǡǡ，设平面t的法向量全ǡǡ，t全ǡ全ǡ则得全ǡ全令全，则全ǡ，全ǡ，∴平面t的一个法向量为全ǡǡǡǡ.设直线与平面t所成的角为，∴sin全全全.㌳19.解：已知全ǡ，令全，得全.又全ǡ，两式相减，得全，即全，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴全.由题意，得全ǡ全ǡ，∴全，ǡ∴全ǡ‴.当全时，全全ǡ；试卷第5页，总7页,当时，全，ǡ∴ǡǡǡ全ǡ全ǡ.综上可得，ǡ‴.20.解：设ǡ，ǡ，ǡ，ǡ则全全，ǡ全，全.∵直线，的倾斜角互补，∴全，即全.又∵重心的纵坐标为，∴全，∴全，∴全.由知：全䁪，与抛物线联立，得䁪ǡ䁪全，∵全㌳䁪ǡǡ㌳䁪，解得䁪‴，∴‴䁪‴.䁪∵全ǡ䁪，全，∴全ǡ全ǡ䁪ǡ䁪全ǡ䁪.䁪又由知，ǡǡ到直线的距离为全，∴全全ǡ䁪䁪全ǡ䁪䁪.令䁪全ǡ䁪䁪‴䁪‴，则䁪全ǡ㌳䁪䁪‴恒成立，试卷第6页，总7页,故䁪在ǡ上单调递减，故ǡ.ǡǡ21.解：由题意，得全ǡ，ǡ①当全时，全ǡ，当时，‴，当‴时，，所以在ǡǡ上单调递增，在ǡ上单调递减；ǡǡ②当时，全ǡ.易知ǡ‴，当ǡǡ时，，当ǡǡǡǡ时，‴，所以在ǡǡ上单调递增，在ǡǡǡǡǡ上单调递减；③当‴时，易知ǡ，当ǡǡ时，‴，当ǡǡǡǡ时，，所以在ǡǡ上单调递减，在ǡǡǡǡǡ上单调递增．证明：要证明ln，只需证明ǡln.因为ǡln，所以只需证明.当全时，全，由知在ǡǡ上单调递增，在ǡ上单调递减，所以max全全.当‴时，全‴，故ln.试卷第7页，总7页
