2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分)1.已知直线땈ٱʚ嫰＝的倾斜角为，则sin＝（）嫰嫰嫰A.B.C.D.嫰嫰2.设，则“＝嫰”是“直线嫰땈ʚ＝与直线땈ʚʚ嫰ܽʚ＝平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件3.圆땈ʚٱ땈ʚ＝关于直线땈对称的圆的方程是（）A.땈ٱʚ땈.B嫰＝ܽ嫰ٱʚܽٱܽ＝嫰C.땈ʚٱʚܽ嫰ٱ땈.D嫰＝ܽ嫰ٱܽ＝嫰4.设，表示不同直线，，，表示不同平面，下列叙述正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若㐠，㐠，则D.若㐠，㐠，则5.将半径为，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（）A.B.C.D.ٱ嫰6.已知땈䁪ܽ为半圆：땈ٱܽʚٱ嫰ܽ＝嫰嫰ܽ上一动点，则最大值为（）땈嫰A.B.C.D.7.如图，、分别为边长为嫰的正方形正形的边正、形的中点，将正方形沿对角线折起，使点形不在平面正内，则在翻折过程中，以下结论错误的是（）A.平面正形B.异面直线与正形所成的角为定值C.存在某个位置，使得直线形与直线正垂直试卷第1页，总9页,D.三棱锥ٱ体积的最大值为8.在三棱锥ٱ正中，㐠平面正，正＝，形，分别是正，正的中点，正，且形．设与形所成角为，形与平面正所成角为，二面角ٱ正ٱ为，则（）A.B.C.D.9.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线땈ʚ嫰ʚ땈就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线所围成的“心形”区域的面积小于．其中，所有正确结论的序号是()A.①B.②C.①②D.①②③10.如图，在三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中，正，，嫰两两互相垂直，正＝＝嫰，，是线段正正嫰，嫰上的点，平面与平面正所成（锐）二面角为，当正嫰最小时，正＝（）A.B.C.D.嫰二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分)11.如图，网格纸上的小正方形的边长为嫰，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几试卷第2页，总9页,何体的体积为________；表面积为________．12.已知圆땈ʚ＝与圆땈ʚٱ땈ʚʚ＝外切，则＝________；嫰此时直线땈ʚ＝被圆所截的弦长为________．13.已知圆圆心是原点，半径是，点，正是圆上的相异两点，点坐标是䁪ܽ，若正最大值是，且此时正面积是，则＝________；＝________．14.已知正是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上．若球的表面积为嫰，则球的体积为________；到平面正的距离为________．15.已知圆땈ʚ＝及一点ٱ嫰䁪ܽ，在圆上运动一周，的中点形成嫰轨迹的方程为________땈ʚܽʚ嫰．16.已知圆的方程是땈ʚٱʚ땈线直，点为心圆，＝ٱ＝与圆交嫰于、正两点，当正面积最大时，＝________．17.已知正方体正形ٱ嫰正嫰嫰形嫰中，为正的中点，在平面嫰正嫰嫰形嫰内，直线正嫰形嫰，设二面角ٱٱ的平面角为，当取最大值时，cos＝________．三、解答题：5小题，共74分)18.如图，在直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中，形，分别为正，的中点，正＝正．求证：（1）嫰正嫰平面形嫰；（2）正㐠嫰．19.已知定点䁪嫰ܽ、正䁪ٱ嫰ܽ、嫰䁪ܽ，动点满足：正香香ܽ．试卷第3页，总9页,（1）求动点的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当香＝时，求ʚ正的最大值和最小值．20.正中，正，正＝，，分别是边正，上的点，且正，㐠正于，＝，将沿折起，沿到达，此时满足面㐠面正．（1）若，求直线正与面正所成角大小；正（2）若，分别为正，中点，求锐二面角ٱ正ٱ的余弦值；（3）在（2）的条件下，求点正到面的距离．21.在四棱锥ٱ正形中，形正，正＝嫰，形＝，正＝，正＝，形，㐠形．（1）求证：形㐠面；（2）已知点为正中点，点在底面正形上的射影为，直线与平面正形所成角的余弦值为，当三棱锥ٱ形的体积最大时，求异面直线正与所成角的余弦值．22.在平面直角坐标系땈中，圆땈ʚ＝与땈轴的正半轴交于，以为圆心的圆：땈ٱܽʚ＝ܽ与圆交于正，两点．试卷第4页，总9页,（1）求正的最小值；（2）设是圆上异于正，的任一点，直线正，与땈轴分别交于点，，求的最大值．试卷第5页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州市某校西溪校区高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1.C2.A3.D4.D5.D6.A7.C8.A9.C10.B二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11.,ʚ12.嫰,13.,嫰14.,嫰嫰15.땈ʚܽʚ嫰16.嫰或17.嫰三、解答题：5小题，共74分18.∵在直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中，形，分别为正，的中点，∴形正，正嫰正嫰，∴形嫰正嫰，∵形平面形嫰，嫰正嫰平面形嫰，∴嫰正嫰平面形嫰．∵在直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中，是的中点，正＝正．∴正㐠，∵直三棱柱正ٱ嫰正嫰嫰中，嫰㐠平面正，正平面正，∴正㐠嫰，又嫰＝，∴正㐠平面嫰嫰，∵嫰平面嫰嫰，∴正㐠嫰．试卷第6页，总9页,19.设动点的坐标为땈䁪ܽ，则땈䁪ٱ嫰ܽ䁪正땈䁪ʚ嫰ܽ，嫰ٱ땈䁪ٱܽ，∵正香，∴땈ʚٱ嫰＝香ሾ땈ٱʚ，即香ٱܽٱ香ʚ땈ܽ嫰ٱ香땈ʚ香ʚ嫰＝若香＝嫰，则方程为땈＝嫰，表示过点嫰䁪ܽ且平行于轴的直线；香嫰香嫰若香嫰，则方程为땈ʚܽʚ＝ܽ，表示以䁪ܽ为圆心，以为半径的嫰ٱ香嫰ٱ香嫰ٱ香嫰ٱ香圆；ܽ当香＝时，方程化为땈ٱܽʚ＝嫰，ʚ正땈䁪ܽ＝땈ʚ令땈＝ʚcos，＝sin，则ʚ正ʚcos∴当cos＝嫰时，ʚ正的最大值为，当cos＝ٱ嫰时，ʚ正的最小值为．20.∵正，正＝，正，㐠正，∴为正的中点，＝正＝嫰，ٱ，㐠，∴㐠，又平面㐠平面正，平面平面正＝，∴㐠平面正，则正为直线正与面正所成角，若，由正，得，∴，，正正＝，又正ʚ正ܽʚ嫰，∴tan正嫰，又正是锐角，∴正＝，正故直线正与面正所成角大小为；以为坐标原点，分别以、、所在直线为땈、、轴建立空间直角坐标系，嫰∵，分别为正，中点，则正＝嫰，＝＝嫰，嫰嫰䁪ٱ正，ܽ䁪ٱ䁪嫰正，ܽ嫰䁪䁪，ܽ䁪嫰ٱ䁪嫰正，ܽ䁪ٱ嫰䁪嫰䁪嫰ܽ，设平面正的一个法向量为땈䁪䁪ܽ，嫰正땈ٱ由，取＝，得嫰䁪䁪ٱ嫰ܽ；正ٱ땈ʚʚ试卷第7页，总9页,平面正的一个法向量䁪䁪嫰ܽ，ٱ嫰cos䁪ٱ，嫰∴锐二面角ٱ正ٱ的余弦值为；嫰嫰由（2），嫰䁪嫰䁪ܽ，䁪䁪ܽ，嫰䁪䁪ܽ，ٱ嫰䁪ٱ嫰䁪嫰ܽ，设平面的一个法向量为땈嫰䁪嫰䁪嫰ܽ，嫰땈嫰ʚ嫰则，取땈＝嫰，得嫰䁪ٱ䁪ٱ嫰ܽ，嫰ٱ嫰땈ٱ嫰ʚ嫰又正䁪ٱ䁪ܽ，正∴点正到面的距离为正cos正䁪．21.证明：过正作正㐠形于，∵形正，正＝嫰，形＝，正＝，∴正＝，正＝，＝嫰，形＝＝正，∴四边形正形为矩形，∴正＝形，＝嫰，正＝，∴形＝，＝，∴ʚ形＝形，即㐠形，又㐠形，＝，、平面，∴形㐠面．由（1）知，形㐠面，∵形平面正形，∴平面正形㐠面，试卷第8页，总9页,∵㐠平面正形，平面正形面＝，∴点在上，∵直线与平面正形所成角的余弦值为，∴cos，tan，设＝땈，则＝ٱ땈，＝tan땈，嫰嫰嫰三棱锥ٱ땈ܽ땈ٱ땈形积体的形ٱ땈ܽ，∴当땈时，三棱锥ٱ形的体积取得最大值，此时点为的中点，∴正＝嫰，，∵为正的中点，∴正，∴正即为直线正与所成角．∵正ʚ正，ʚ，正ʚ正ٱʚٱ在正中，由余弦定理知，cos正，正正嫰故异面直线正与所成角的余弦值为．嫰22.由对称性，设正땈䁪ܽ，땈䁪ٱܽ，则땈ʚ＝，所以正땈ٱܽ嫰ٱ땈＝ܽ땈ٱٱܽٱ땈＝ٱܽٱ，因为ٱ땈，所以当땈＝嫰时，正取得最小值为ٱ．设땈䁪ܽܽ，则땈ʚ＝，嫰嫰嫰嫰嫰ٱٱ嫰ٱ嫰直线正、的方程分别为正ٱ땈嫰ٱ，ܽ嫰땈ٱ땈嫰ٱ땈嫰ܽ，땈ٱ땈嫰땈ٱ땈嫰땈嫰ٱ땈嫰땈嫰ʚ땈嫰分别令＝，得땈，땈，ٱ嫰ʚ嫰땈嫰ٱٱܽٱ嫰땈ٱܽ嫰嫰所以땈땈ٱٱ，嫰嫰嫰嫰于是嫰땈땈嫰嫰，因为ٱ＝嫰或＝嫰当以所，嫰ٱ时，取得最大值为．试卷第9页，总9页
