2020-2021学年浙江省温州市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）)1.已知集合첨ߍ앐ʁᣐٙ灰앐，첨ߍ앐ʁᣐ灰앐灰，则첨䁧A.ߍ앐ʁᣐ灰앐灰B.ߍ앐ʁᣐٙ灰앐灰C.ߍ앐ʁᣐ灰앐D.ߍ앐ʁᣐٙ灰앐2.已知角的终边上有一点䁧ᣐ㌳，则tan的值为（）A.ᣐ㌳B.C.D.3.如图是一个空间几何体的三视图（单位：），这个几何体的体积是（）A.㌳ٙ.Dٙ.Cٙ.Bٙ4.直线앐ᦙ䁪＝和圆앐㌳ᦙ䁪㌳＝的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定5.在函数䁪＝䁧앐的图象上有点列ߍ앐䁪，若数列ߍ앐是等比数列，数列ߍ䁪是等差数列，则函数䁪＝䁧앐的解析式可能是（）A.䁧앐＝앐ᦙٙB.䁧앐＝앐㌳C.D.䁧앐＝log앐6.已知，是两个不同的平面，，是平面，外的两条不同的直线，给出下面个论断：（1）；䁧㌳；（3）；（4）．以其中ٙ个论断为条件，余下一个做为结论，则正确的命题是（）A.䁧䁧㌳䁧ٙ䁧且䁧㌳䁧ٙ䁧䁧B.䁧㌳䁧ٙ䁧䁧且䁧䁧ٙ䁧䁧㌳C.䁧䁧㌳䁧ٙ䁧且䁧䁧ٙ䁧䁧㌳D.䁧䁧㌳䁧ٙ䁧且䁧䁧㌳䁧䁧ٙ7.在䳌䁨中，䳌첨㌳，䳌䁨첨ٙ，䳌䁨첨，为䳌䁨边上的高，为的中点，若첨䳌ᦙ䳌䁨，则ᦙ첨䁧㌳A.B.C.D.㌳ٙٙ8.如图，矩形䳌䁨中，䳌＝㌳，＝，现将䁨沿对角线䁨所在的直线折起，试卷第1页，总10页,使点在平面䳌䁨的射影落在直线䳌上，则直线䁨与平面䳌䁨所成角的正弦值是（）A.B.C.D.9.设，为正实数，，ٙᦙ＝㌳㌳，则log＝（）A.B.C.D.㌳10.如图，棱长为的正四面体䳌䁨，，分别是䳌，䁨上的动点，且ʁʁ＝ٙ，则中点的轨迹长度为（）A.B.㌳C.D.二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共36分.）)11.过原点且倾斜角为ٙ的直线被圆앐㌳ᦙ䁪㌳ᣐ앐＝所截的弦长为________．12.函数的值域是，则＝________；䁧앐的零点为________．13.已知直线䁪＝㌳앐ᦙ与直线㌳关于直线앐＝对称，则直线㌳的方程为________，圆䁨：䁧앐ᣐ㌳ᦙ䁧䁪ᦙ㌳㌳＝上的点到直线的最近距离是________．㌳14.已知实数앐，䁪满足条件不等式组，则目标函数＝ᣐ㌳앐ᣐ䁪的最大值为________；若直线䁪＝앐ᦙ㌳平分不等式组表示的平面区域的图形面积，则＝试卷第2页，总10页,________．15.如图所示，在棱长为的正方体䳌䁨ᣐ䳌䁨中，，分别是正方形䳌䁨和正方形的中心，为线段上的点䁧异于，，则和䳌䁨所成的角的大小是________，三棱锥ᣐ䳌䁨的体积为________．16.已知正项数列ߍ中，＝㌳ᦙ㌳，若对于一切的都有成立，ᦙᦙ则的取值范围是________．17.如图，在四棱锥ᣐ䳌䁨中，底面䳌䁨是矩形，侧面䁨底面䳌䁨，䳌是边长为㌳的等边三角形，点，分别为侧棱，䳌上的动点，记＝ᦙᦙ䁨，则的最小值的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)18.䳌䁨的内角，䳌，䁨的对边分别为，，，且点䁧在直线앐ᣐ䁪cos䁨＝sin䳌上．䁧Ⅰ求䳌的值；䁧Ⅱ现给出两个条件：①，＝ٙ，②，，从中任选一个解䳌䁨．写出你的选择并以此为依据，并求䳌䁨的面积．19.如图所示的几何体由斜三棱柱䳌䁨ᣐ䳌䁨和㌳䳌㌳䁨㌳ᣐ䳌䁨组成，满足：平行四边形䳌䳌与㌳䳌㌳䳌、平行四边形䳌䁨䁨䳌与䳌㌳䁨㌳䁨䳌、平行四边形䁨䁨与䁨㌳㌳䁨分别全等，且点为㌳的中点．䁧Ⅰ若、䁨、三点不共线，求证：㌳面䁨；䁧Ⅱ若䳌＝䁨＝，面䳌面䳌䁨，侧棱和底面䳌䁨所成的角是，求证：面䳌㌳䁨㌳面䳌䁨䁨䳌．试卷第3页，总10页,20.如图所示，四边形䳌䁨中，䳌䳌䁨，䁨，䳌䁨＝䁨＝，䳌＝＝䁧，将其沿对角线䁨翻折（如图），使得䳌䁨＝．䁧Ⅰ求证：䁨䳌；䁧Ⅱ设䁨与平面䳌䁨所成角为，二面角䳌ᣐ䁨ᣐ的平面角为㌳，若＝㌳，求的值．21.已知圆䁨앐㌳ᦙ앐ᦙ䁪㌳＝，直线앐ᦙ䁪ᦙ㌳＝．䁧Ⅰ当直线与圆䁨相交于，䳌两点，且，求直线的方程．䁧Ⅱ已知点是圆䁨上任意一点，在앐轴上是否存在两个定点，，使得？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由．22.已知函数，其中，为实数，且．䁧Ⅰ若函数䁪＝䁧앐在其定义域内为奇函数，求，满足的条件；䁧Ⅱ若对于任意的，都有ʁ䁧앐ᣐ䁧앐㌳ʁ灰㌳，求ᣐ的取值范围．试卷第4页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省温州市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1.B2.A3.D4.A5.D6.7.D8.C9.C10.D二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题4分，共36分.）11.12.,13.䁪＝ᣐ㌳앐ᦙ,14.ᣐ㌳,15.,16.䁧ٙ17.䁧㌳ٙ三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（1）将䁧代入直线方程앐ᣐ䁪cos䁨＝sin䳌可得：ᣐcos䁨＝sin䳌，利用正弦定理，可得：sinᣐsin䳌cos䁨＝sin䁨sin䳌，又＝ᣐ䳌ᣐ䁨，所以，有sin䁧䳌ᦙ䁨ᣐsin䳌cos䁨＝sin䁨sin䳌，可得，sin䳌cos䁨ᦙcos䳌sin䁨ᣐsin䳌cos䁨＝sin䁨sin䳌，即cos䳌sin䁨＝sin䁨sin䳌，因为sin䁨，即cos䳌＝sin䳌．所以，．（2）方案一：选①，＝ٙ，则，试卷第5页，总10页,由正弦定理可得：，代入，得到＝．同理可得．所以．方案二：选②，，由余弦定理可得：，代入可得，解得＝，∴，∴，，，∵灰，∴灰䳌，∴．所以．19.证明：䁧Ⅰ因为㌳的中点为，连接、䁨，∵平行四边形䁨䁨与䁨㌳㌳䁨全等，∴＝㌳，䁨＝䁨㌳，∴㌳，㌳䁨，且䁨＝．因为、䁨、不共线，所以㌳面䁨；（2）连接䳌㌳，由䁧Ⅰ可知，㌳面䁨，同理可证㌳面䳌䁨，而面䳌䁨面䁨＝，因此面䳌䁨与面䁨重合，即为平面䳌䁨，且面䳌䁨面䳌䁨，因此㌳面䳌䁨，又∵面䳌面䳌䁨，∴㌳面䳌䳌，∵㌳䳌㌳䳌，∴㌳䳌㌳面䳌䳌，且在平面䳌䁨的投影在直线䳌上，∴䳌即为线面角，∴䳌＝，由䳌＝䁨＝，可得䳌＝䳌＝䳌㌳＝䳌＝䳌䳌㌳，即有䳌䳌＝，㌳试卷第6页，总10页,∴䳌㌳䳌䳌，又䁨㌳䳌㌳䁨䳌，䳌㌳䁨㌳䳌㌳＝䳌㌳，䳌䳌䁨䳌＝䳌，故面䳌㌳䁨㌳面䳌䁨䁨䳌．20.方法一：（1）作䳌䁨，连接，由䳌䁨䁨知，䁨，又䳌＝，∴䁨面䳌，∴䁨䳌．（2）作面䳌，垂足为，则䁨＝，∵䳌䁨䳌，䳌䁨，∴䳌䁨面䳌，∴䳌䁨．同理，䁨，∵䳌＝，∴＝，∴䁨是䳌䁨的角平分线．计算得，，，，，由䁧Ⅰ得，䳌为二面角䳌ᣐ䁨ᣐ的平面角，则，若＝㌳，则，化简得䁧ٙ㌳ᣐ䁧ᣐ㌳ᣐٙ＝，∵，∴ᣐ㌳ᣐٙ＝．解得∴，．试卷第7页，总10页,方法二：（1）∵＝，∴䁨䳌．（2）如图，建立空间直角坐标系，易得，，，设䁧，则，显然平面䳌䁨的法向量，故，设平面䳌䁨的法向量为，由，即得；由，即，得．故．由＝㌳，可得，从而∴，试卷第8页，总10页,．21.（1）由已知可得圆心䁨䁧ᣐ，＝，圆心䁨到直线的距离，因此.，解得＝，直线的方程为䁪＝앐ᦙ㌳或䁪＝ᣐ앐ᣐ㌳，䁧Ⅱ设䁧앐䁪，䁧앐，䁧앐㌳，由已知可得앐㌳ᦙ䁪㌳＝ᣐ앐，且，化简得．即恒成立，所以，解得，或，所以满足题意的定点，存在，其坐标为䁧ᣐ，䁧ᣐ㌳或䁧ᣐ㌳，䁧．（此处只写出一组解扣如从阿氏圆的结论出发，可做为本题的另一种解法，按步骤酌情给分．22.（1）根据题意，函数，䁪＝䁧앐的定义域为ߍ앐ʁ앐且앐，若函数䁪＝䁧앐为奇函数的必要条件为＝ᣐ，由于，所以，又，试卷第9页，总10页,．故䁧ᣐ앐＝ᣐ䁧앐．综上，当＝ᣐ时，䁪＝䁧앐为奇函数．（2），令＝㌳앐ᣐᣐ㌳，则＝，䁧㌳．则原问题转化为max䁧ᣐmin䁧灰㌳．当灰ᣐ㌳时，ᣐ䁧ᣐ㌳．此时，䁧在ᣐ䁧ᣐ㌳单调递减，max䁧＝䁧＝．而对于任意的灰，取时，䁧灰成立，则ᣐ䁧ᣐ㌳时䁧无最小值．当ᣐ㌳时，㌳，此时max䁧＝䁧＝，．，则．综上所述：．试卷第10页，总10页
