2019-2020学年上海市某校高三（上）期中数学试卷一、填空题，（前6题每题4分，后6题每题5分，共54分))1.若＝t（其中为虚数单位），则＝________．2.函数ሺݔt的定义域是________．3.已知向量＝ሺㄠ㘹㘹ݔ，则与的夹角为________．4.函数ሺݔሺt是数函反的ݔሺtㄠ＝ݔ＝________（________（，））．5.已知数列的前项和，那么它的通项公式为________．6.若幂函数ሺݔ㘹′ሺ在ݔሺㄠttݔ上是单调递减的偶函数，则________．7.展开式的二项式系数之和为和为，则展开式中的系数为________．8.已知函数ሺݔ㘹ሺ点，ݔ㘹ሺݔሺnis＝ݔ是其函数图象的对称中心，轴是其函数图象的对称轴，则的最小值为________．9.有和条线段，其长度分别为ㄠ，，和，，，现从中任取ㄠ条，则能构成三角形的概率是________．10.记㘴为不大于的最大整数，设有集合＝㐠t㘴＝，＝㐠㐠㐠，则＝________．11.已知正整数对按如下规律排成一列：ሺ㘹ݔ㘹ㄠሺ，ݔ㘹ሺ，ݔㄠ㘹ሺ，ݔ㘹ሺ，ݔ㘹ሺ，ݔ，ሺ㘹ݔ㘹ሺ，ݔ㘹ㄠሺ，ݔㄠ㘹ሺ，ݔ，…，则第为个数对是________．12.已知实数，满足：t＝，则㐠t㐠的最小值为________．二、选择题（每小题5分，共20分）)13.抛物线香的焦点坐标是（）A.ሺt㘹ݔ㘹ሺ.Dݔ㘹ሺ.Cݔt㘹ሺ.Bݔ14.已知，是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（）A.已知，若，则B.已知，若，则C.已知，若，则D.已知，若，则15.已知函数ሺݔcosሺ＝ݔtsin，则（）A.仅有有限个实数，使得ሺݔ有零点B.不存在实数，使得ሺݔ有零点试卷第1页，总8页,C.对任意的实数，ሺݔ有零点D.对任意实数，ሺݔ零点个数为有限个16.已知是数列的前项和，＝，且＝ሺtݔ，若＝t，（其中，），则的最小值是（）A.B.C.D.香三、解答题（共5小题，满分76分）)17.如图所示，在长方体ܥtܥ中，＝，＝，＝，为棱上一点．（1）若＝，求异面直线和ܥ所成角的大小；（2）若＝，求证平面．18.已知椭圆＝ሺݔ的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，过作斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，的周长为香，椭圆上一点与，连线的斜率之积＝-（点不是左、右顶点）．（1）求该椭圆方程；（2）已知定点ሺ㘹ݔ，求椭圆上动点与距离的最大值．19.某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：），如示意图，垂直放置的标杆的高度＝，仰角＝，ܥ＝．试卷第2页，总8页,（1）该小组已经测得一组、的值，tan＝′，tan＝′，请据此算出的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：），使与之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为和，试问为多少时，t最大？20.已知函数ሺݔ㘹ሺ＝ݔ．（1）若＝，ሺݔ的解集为㘹ㄠ㘴，求实数的值；（2）若对任意t㘹㘴，存在t㘹ㄠ㘴，使ሺݔ，求实数的范围；（3）集合，若＝，求实数的取值范围．21.已知数列和，记（）＝㐠t㐠㐠t㐠′′′㐠t㐠．（1）若＝t，＝t，求${S_{（1）}}，{S_{（3）}}$；（2）若，求关于的表达式；（）（3）若数列和均是项数为ሺㄠ㘹晦ݔ项的有穷数列．现将和中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到，，ㄠ，……，．求证：对于给定的，的所有可能取值的奇偶性相同．（）试卷第3页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年上海市某校高三（上）期中数学试卷一、填空题，（前6题每题4分，后6题每题5分，共54分)1.2.㐠3.arccos4.logㄠ,ㄠሺݔ5.ሺݔ6.7.8.ㄠ9.和10.t，}11.ሺ和㘹ݔ12.二、选择题（每小题5分，共20分）13.C14.D15.C16.B三、解答题（共5小题，满分76分）17.∵ܥ，∴和或其补角为异面直线和ܥ所成角，由长方体的性质知，平面，∵平面ㄠ，∴和，在中，tan＝＝＝＝，∴异面直线为和ܥ所成角的大小为arctan．证明：在中，为＝＝＝试卷第4页，总8页,＝＝，∴＝，即为，∵平面香，且平面ㄠ，∴，又香＝，、平面，∴平面为．18.如图，由的周长为香，可得＝香，所以ሺt香㘹ݔ㘹ሺ，ݔ，设ሺ㘹ݔ，又＝-，得•＝-，即＝香，又+＝，所以＝，所以椭圆的方程为和＝．设椭圆上ሺ㘹ݔሺt为ݔ，又ሺ㘹ݔ，所以㐠㐠＝＝＝，则当＝-时，㐠㐠＝＝，所以椭圆上动点与距离的最大值．19.算出的电视塔的高度是所求的是和和和20.因为ሺݔ的解集为㘹ㄠ㘴是二次函数，所以ሺݔㄠሺ＝ݔ＝，解得＝t和．存在t和㘹ㄠ㘴，则当ሺݔmaxሺt为㘹ㄠ㘴ݔ时即可，因为ሺݔ＝是开口向上的二次函数，试卷第5页，总8页,所以ሺݔmax＝ሺtㄠݔ或ሺㄠݔ，①若ሺݔtሺ则，ݔtሺ＝xamݔ＝t和香t，因为对任意t㘹ㄠ㘴都成立，ሺtݔmax＝t＝t香，即ሺt，②若ሺݔmax＝ሺㄠݔ，则ሺㄠݔ＝ㄠtㄠt，因为对任意t㘹㘴都成立，ሺttݔmax＝tㄠሺtݔt＝t为，即ሺtㄠ，因为要存在t㘹ㄠ㘴，所以ሺtㄠݔ和ሺㄠݔ中只需要一值大于即可，ሺt㘹ݔ㘹为tሺݔ，即实数的取值范围为ሺt为㘹ݔ．设＝㐠＝ሺݔ㘹}，因为＝，所以ܥ，且当ܥ时，ሺݔ＝无解，因为ሺݔ＝ሺt）＝-，所以＝㐠t，设ܥ＝㘹ㄠ㘴，且，ሺㄠݔሺ＝ݔ＝，则ܥ＝㐠t或，因为ሺݔt，所t时，若香，又因为＝㐠ሺݔ，所以当和时，ሺݔ＝一定有解，所以㐠＝为，由因为ܥ，，所以＝，即ሺݔ＝，令ሺݔ＝＝＝t或，所以ܥ＝㘹㘴＝t㘹ㄠ㘴，又因为ܥ且＝㐠ሺݔ，试卷第6页，总8页,所以，所以和，即取值范围为[-，和㘴．21.因为＝t，＝为t，所以＝，香＝ㄠ，ㄠ＝香，＝，＝，ㄠ＝t香，所以${S_{（1）}}＝{\mathrel{|}a_{1}-b_{1}\mathrel{|}}＝{\mathrel{|}3-1\mathrel{|}}＝{0}，{S_{（3）}}＝{\mathrel{|}a_{4}-b_{1}\mathrel{|}+\mathrel{|}a_{2}-b_{3}\mathrel{|}+\mathrel{|}a_{3}-b_{3}\mathrel{|}}＝{8+3+6}＝{7}$；若，①当时，，则当时，（）＝㐠t㐠㐠t为㐠′′′㐠t㐠＝ttt′′′t＝tሺ香′′′ݔ′′′ሺݔ＝＝；②当时，和，则当时，＝${S_{（4）}+\mathrel{|}a_{5}-b_{5}\mathrel{|}+\mathrel{|}（）a_{3}-b_{6}\mathrel{|}+...+\mathrel{|}a_{m}-b_{m}\mathrel{|}}＝{39+(a_{5}+a_{6}+...+a_{m})-(b_{5}+b_{6}+...+b_{m})}$＝＝；综上可得，＝；试卷第7页，总8页,证明：设，，则（）＝㐠t㐠㐠ㄠt㐠′′′㐠t㐠＝t和t′′′t＝ሺ′′′ݔ′′′为ሺtݔ，设′′′＝，为′′′＝，则＝香ㄠ′′′＝ሺ和ݔ，＝t，（）因为ሺݔtሺtݔ＝恒为偶数，所以与t的奇偶性相同，所以对于给定的，＝ሺ为ݔ的奇偶性确定了＝t的奇偶性也确（）定了，即对于给定的，的所有可能取值的奇偶性相同．（）试卷第8页，总8页
