第二章 等式与不等式本章复习提升易混易错练易错点1 因式分解或等价转换不当致错 1.()方程x2-4|x|+3=0的解集是( )A.{-1,1,-3,3}B.{1,3}C.{-1,-3}D.⌀2.()不等式6x2+x-2≤0的解集为( )A.x|-23≤x≤12B.x|x≤-23或x≥12C.x|x≥12D.x|x≤-233.()不等式7-6x-x2>0的解集为( )A.[-7,1]B.(-7,1)C.(-∞,-7]∪[1,+∞)D.(-∞,-7)∪(1,+∞)4.()不等式5-xx+4≥1的解集为 . 易错点2 多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大5.(2020浙江绍兴一中高一月考,)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则9x-y的取值范围是( )A.[-7,26]B.[-1,20]C.[4,15]D.[1,15]6.()已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.11
易错点3 不能正确运用均值不等式解决问题7.()设常数a>0,若9x+a2x≥a+1对一切正实数x都成立,则a的取值范围为 . 8.(2020河北沧州任丘第一中学高一上第一次阶段性测试,)已知0<x<4,则4x+14-x的最小值为 ,此时x= . 9.()已知a>0,b>0,且3a+4b=2ab,则a+b的最小值为 . 10.()若实数a>1,b>2,且2a+b-6=0,则1a-1+2b-2的最小值为 . 11.()求y=x2+2x2+1+1的最小值.易错点4 忽略一元二次不等式中二次项系数致错12.()不等式(2-x)(2x-3)>0的解集是( )11
A.-∞,32∪(2,+∞)B.RC.32,2D.⌀13.()若关于x的不等式mx2-mx-1≥0的解集是⌀,则m应满足的条件是( )A.[-4,0]B.(-4,0]C.[0,4)D.(-4,0)14.()若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,则实数m的取值范围是( )A.(1,9)B.(-∞,1]∪(9,+∞)C.[1,9)D.(-∞,1)∪(9,+∞)15.()已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是R,则实数a的取值范围是( )A.-∞,-35∪(1,+∞)B.-35,1C.-35,1D.-35,116.(2020湖南邵阳邵东一中高一上第一次月考,)若不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为x1m<x<2,则m的取值范围是 . 思想方法练一、转化与化归思想在解不等式中的应用 1.()在R上定义运算:a bc d=ad-bc,若不等式x-1 a-2a+1 x≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为( )A.-12B.-32C.12D.322.()设x>y>z,且1x-y+1y-z≥nx-z(n∈N)恒成立,则n的最大值为( )A.2B.3C.4D.5二、方程思想在解不等式中的应用3.()如果不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立,那么实数m的取值范围是( )A.1<m<3B.m<3C.m<1或m>2D.R11
4.()已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为x|-13<x<12,则-cx2+2x-a>0的解集为 . 三、分类讨论思想在解不等式中的应用5.()解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0(a≥0).6.()解关于x的不等式(a+2)x-4x-1≤2(a>0).7.()已知关于x的不等式ax2-3x+2>0(a∈R).(1)若不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},求a,b的值;(2)求不等式ax2-3x+2>5-ax(a∈R)的解集.11
四、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用8.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是 . 9.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当实数a为何值时,(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?(2)方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内?(3)方程的两个根都大于零?答案全解全析第二章 等式与不等式11
本章复习提升易混易错练1.A2.A3.B5.B12.C13.B14.C15.D1.A ①x≥0时,原方程可变形为x2-4x+3=0,即(x-3)·(x-1)=0,解得x=3或x=1;②x<0时,原方程可变形为x2+4x+3=0,即(x+3)(x+1)=0,解得x=-3或x=-1.因此,方程的解集为{-1,1,-3,3}.故选A.2.A 因为6x2+x-2≤0⇔(2x-1)·(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为x-23≤x≤12.3.B 由7-6x-x2>0得x2+6x-7<0,即(x+7)·(x-1)<0,解得-7<x<1.故选B.4.答案 -4,12解析 因为5-xx+4≥1,所以1-2xx+4≥0,所以2x-1x+4≤0,所以(2x-1)(x+4)≤0,x+4≠0,解得-4<x≤12.易错警示把含等号的分式不等式化为整式不等式后,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.5.B 设m=x-y,n=4x-y,解得x=n-m3,y=n-4m3.则9x-y=9·n-m3-n-4m3=83n-53m,∵-4≤m≤-1,∴53≤-53m≤203.又∵-1≤n≤5,∴-83≤83n≤403,∴-1≤83n-53m≤20,即-1≤9x-y≤20,故选B.6.解析 令4a-2b=λ(a-b)+μ(a+b),则4a-2b=(λ+μ)a+(μ-λ)b,所以λ+μ=4,μ-λ=-2,解得λ=3,μ=1,故4a-2b=3(a-b)+(a+b),因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6,又因为2≤a+b≤4,所以5≤4a-2b≤10,即4a-2b的取值范围是[5,10].7.答案 15,+∞11
解析 常数a>0,若9x+a2x≥a+1对一切正实数x都成立,则9x+a2xmin≥a+1.又因为9x+a2x≥6a,当且仅当9x=a2x,即x=a3时,等号成立,所以必有6a≥a+1,解得a≥15.8.答案 94;83解析 ∵x+4-x4=1,且0<x<4,∴4x+14-x=4x+14-xx4+4-x4=54+x4(4-x)+4-xx≥54+2x4(4-x)·4-xx=94,当且仅当x4(4-x)=4-xx,即x=83时,等号成立.故4x+14-x的最小值为94,此时x=83.9.答案 7+432解析 ∵3a+4b=2ab,a>0,b>0,∴3b+4a=2,∴a+b=12(a+b)3b+4a=127+3ab+4ba≥7+23ab·4ba2=7+432,当且仅当3a=2b=3+23时,等号成立,则a+b的最小值为7+432.10.答案 4解析 ∵a>1,b>2,且2a+b-6=0,∴a-1>0,b-2>0,2(a-1)+b-2=2,∴1a-1+2b-2=1a-1+2b-2[2(a-1)+b-2]×12=12×4+b-2a-1+4(a-1)b-2≥12×4+2b-2a-1·4(a-1)b-2=12×(4+4)=4,当且仅当b-2a-1=4(a-1)b-2且2a+b-6=0,即a=32,b=3时等号成立,故所求最小值为4.11.解析 y=x2+2x2+1+1=x2+1+1x2+1+1=x2+1+1x2+1+1,令t=x2+1(t≥1),则y=t+1t+1≥2t·1t+1=3,当且仅当t=1t,即t=1时,等号成立,所以当t=1,即x=0时,y取得最小值,最小值为3.11
12.C 原不等式可化为(x-2)(2x-3)<0,解得32<x<2,所以原不等式的解集是32,2.故选C.13.B 当m=0时,不等式为-1≥0,解集为⌀,符合题意;当m≠0时,因为不等式mx2-mx-1≥0的解集是⌀,所以m<0,m2+4m<0,解得-4<m<0.综上,m的取值范围是(-4,0].14.C 当m-1=0,即m=1时,2>0恒成立,满足题意;当m>1时,Δ=(m-1)2-8(m-1)<0,解得1<m<9;当m<1时,不等式不恒成立,不满足题意.综上,实数m的取值范围为[1,9).15.D 当a=1时,不等式为-1<0,恒成立,满足题意;当a=-1时,不等式为2x-1<0,解得x<12,不满足题意;当a≠±1时,由(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R,可知a2-1<0,[-(a-1)]2+4(a2-1)<0,解得-35<a<1.综上,-35<a≤1.16.答案 {m|m<0}解析 因为不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为x1m<x<2,所以m<0,1m<2,所以m<0,所以m的取值范围是{m|m<0}.思想方法练1.D 由题意知,不等式x-1 a-2a+1 x≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,∴x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.∵x2-x+1=x-122+34≥34,∴a2-a≤34,解得-12≤a≤32,∴实数a的最大值为32.2.C 因为x>y>z,所以x-y>0,y-z>0,x-z>0,所以不等式1x-y+1y-z≥nx-z恒成立等价于n≤(x-z)1x-y+1y-z恒成立.因为x-z=(x-y)+(y-z)≥2(x-y)(y-z),1x-y+1y-z≥21x-y·1y-z,所以(x-z)·1x-y+1y-z≥4(x-y)(y-z)·1x-y·1y-z=4(当且仅当x-y=y-z时等号成立),则要使n≤(x-z)·1x-y+1y-z恒成立,只需使n≤4(n∈N),故n的最大值为4.11
3.A 因为4x2+6x+3=2x+322+34>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3(x∈R),即2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立,所以Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1<m<3,故实数m的取值范围是1<m<3.4.答案 {x|-2<x<3}解析 由ax2+2x+c>0的解集为x|-13<x<12,知a<0,且-13和12是方程ax2+2x+c=0的两个根.由一元二次方程根与系数的关系,得-13×12=ca,-13+12=-2a,解得a=-12,c=2,代入-cx2+2x-a>0并整理,得x2-x-6<0,解得-2<x<3,所以-cx2+2x-a>0的解集为{x|-2<x<3}.5.解析 若a=0,则原不等式化为-x+1>0,解得x<1;若a>0,则原不等式化为(x-1)·x-1a>0,①当a>1时,不等式的解集为xx<1a或x>1;②当a=1时,不等式的解集为{x|x≠1};③当0<a<1时,不等式的解集为xx<1或x>1a.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当0<a<1时,原不等式的解集为xx<1或x>1a;当a=1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当a>1时,原不等式的解集为xx<1a或x>1.6.解析 原不等式可化为(a+2)x-4x-1-2≤0,即ax-2x-1≤0,当2a>1,即0<a<2时,不等式的解集为x1<x≤2a;当2a=1,即a=2时,不等式的解集为⌀;当2a<1,即a>2时,不等式的解集为x2a≤x<1.综上所述,当0<a<2时,原不等式的解集为x1<x≤2a;当a=2时,原不等式的解集为⌀;当a>2时,原不等式的解集为x2a≤x<1.11
7.解析 (1)由题意知x=1是方程ax2-3x+2=0的一个根,将x=1代入ax2-3x+2=0,得a=1,∴不等式为x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0,∴不等式的解集为{x|x>2或x<1},∴b=2.(2)原不等式可化为ax2+(a-3)x-3>0,即(ax-3)(x+1)>0,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}.当a≠0时,方程(ax-3)(x+1)=0的根为x1=3a,x2=-1,①当a>0时,3a>-1,则原不等式的解集为xx>3a或x<-1;②当-3<a<0时,3a<-1,则原不等式的解集为x3a<x<-1;③当a=-3时,3a=-1,则原不等式的解集为⌀;④当a<-3时,3a>-1,则原不等式的解集为x-1<x<3a.综上所述,当a>0时,原不等式的解集为xx>3a或x<-1;当-3<a<0时,原不等式的解集为x3a<x<-1;当a=-3时,原不等式的解集为⌀;当a<-3时,原不等式的解集为x-1<x<3a;当a=0时,原不等式的解集为{x|x<-1}.8.答案 a|a>-235解析 由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图像如图所示.由图像知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-235.9.解析 (1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图像知(图略),当x=1时的函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.因此a的取值范围是{a|a<1}.(2)由方程的一个根在区间(-1,1)内,另一个根在区间(2,3)内,结合二次函数y=x2-2x+a的图像知(图略),x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,11
即1+2+a>0,1-2+a<0,4-4+a<0,9-6+a>0,解得-3<a<0.因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.(3)由方程的两个根都大于零,结合二次函数y=x2-2x+a的图像知(图略),判别式不小于0,图像的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,即Δ=4-4a≥0,--22>0,a>0,解得0<a≤1.因此a的取值范围是{a|0<a≤1}.11
