教学基本信息课题实数的概念学科数学学段：初中年级初一教材书名：数学七年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月教学目标及教学重点、难点本节课涉及到的知识要素是无理数概念、实数概念、有限小数、无限循环小数、有理数概念等，主要是在数的开方基础上引进无理数概念，类比有理数分类得到实数分类，在课程中主要培养学生归纳概括能力.本节课教学将数从有理数范围扩充到实数范围，实数内容的教学十分重要，它为后续的二次根式、一元二次方程以及三角函数学习奠定基础，包括在高中的函数、不等式中都经常使用。由于我教的两个班学生对有理数的掌握程度较好，所以我采用与有理数对比的方式引入无理数教学，揭示出有理数与无理数的联系与区别，有助于学生加深对实数的认识。基于此，本节课的教学重点是了解无理数和实数的概念，并会判断一个数是否是无理数.无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，学生对无理数几乎没有任何感性认识，尤其是对无理数的存在还有质疑，基于此分析，本节课教学难点是对无理数的认识.本节课教学目标：1.了解无理数和实数的概念，学生会辨析一个实数是有理数还是无理数；2.理解实数的分类原则，初步形成对实数的整体认识；3.学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,引导学生自己发现问题，提出猜想，建构新的知识体系.13
教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图引入（一）复习引入：从讲起在前几课中我们学习了平方根、立方根的概念，并对“有多大？”进行了探究。教师提出问题1：现在我们来思考一个问题是不是我们之前学过的有理数呢？我们知道是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，它们之间有什么区别与联系呢?从学生刚熟悉的数入手，激发思考。若学生不知如何回答，教师可以提示学生先回忆有理数分类新课（二）探究活动请把下列分数写成小数形式，你有什么发现？，，，，，要求：学生可以独立在笔记本上进行计算，然后归纳自己的发现.若学生不能正确寻找结论，教师可以增加追问：我们将计算结果的小数形式全列出来对比一下，看能否从这些数的小数形式特点加以说明？，，，，，我们发现：这些分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.让学生从探究活动开始，体会有限小数(循环节为0)和无限循环小数与分数的联系，体会转化的数学思想.13
教师再追加一个结论：其实整数也可以看成小数点后是0的小数，比如3看成3.0，-5看成-5.0.归纳小结：任何一个有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式；反之，任何一个有限小数或者无限循环小数都是有理数.教师总结：的小数点后面有无数位，它是无限不循环的小数，既不属于整数也不属于分数，所以它不是有理数，教师提出问题2：那到底是什么数呢?还是回到有理数无理数的小数形式，像这样的数还有无限多个，前面我们学习的很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数，比如：，，，还有圆周率，我们把具有这种特点的数都叫做无理数.（三）对无理数的认识1、引出概念：无理数定义：无限不循环小数叫做无理数.解读无理数概念揭示的特点：①首先是小数；②其次是无限小数；③最后是不循环的无限小数.教师分层次解释无理数的特点，对学生理解很有好处.而、、、都是无理数，这样的无理数还有很多个.为教师引出无理数概念做准备.13
2、典型例题例1：判断下列这组数中，哪些是无理数？，，，，辨析：中的分子是无限不循环小数，除以3后结果还是无限不循环小数，所以也是无理数；同理也是无理数；与很相近，但它还是个有限小数，小数点后有7位数，所以是有理数；是循环节为1和9，是无限循环小数，是有理数；是问立方运算后的3的数，即3的立方根，这是一个无限不循环小数，所以是无理数.总之，判断是否是无理数一定要扣住定义去辨析.拓广探索例2：已知数，它的特点是从左向右看，相邻的两个1之间依次多一个0，这个数是有理数还是无理数，为什么？辨析：还是扣住定义，这是个无限不循环小数，应该是无理数.再追问一下，你能编出类似的数吗？例3：辨析概念，并说明理由.分层记忆概念，可降低难点，达到突出重点的目的.结合数学史上关于无理数的故事，激发学生的兴趣.13
①无理数都是无限小数；②无限小数都是无理数；③带根号的数都是无理数.分析：①无理数都是无限小数。这句话的题设是“无理数”，结论是“无限小数”，根据定义，无理数是无限不循环小数，无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无理数范围小，无限小数范围大，无理数是包含在无限小数范围内的，所以无理数是无限小数这句话是正确的。②无限小数是无理数。通过对比发现，这句话与第一句话交换了题设和结论的位置，无限小数的范围是比无理数的范围更大些的，比如无限小数里有一类“无限循环小数”是属于有理数范围的，而不是无理数，所以无限小数都是无理数这句话是错误的；③带根号的数都是无理数。大家想想“带根号的数”是什么数，我们可以先举一些的具体数，比如之类的，是无理数，而是求4的算术平方根，可以化简为有理数2，是求9的算术平方根，可以化简为有理数3，所以“带根号的数”既包含有理数，也包含无理数，所以带根号的数都是无理数这句话是错误的。实际上还有一种快速判断的方法，只要举出一个反例，比如，因为这个数满足“是个带根号”的数的题设，但不符合是“无理数”的结论，就可以说明这个命题不正确了。在今后的练习中大家可以尝试使用不同的方法进行判断.通过自己编无理数的环节，加深学生对概念的理解。学生抓住特点，还可以编出这样的无理数.总之概念是判断命题真假的重要依据.13
（四）对实数的认识1、实数的概念讲解：在我们认识的数里，有理数可以写成有限小数、无限循环小数，新学的无理数是无限不循环小数，但它们都是对现实世界中客观存在的量的反映。所以我们将无理数与有理数归为一类，统称实数。现在我们之前的有理数的体系被大大的扩充了，在“实数”范围内继续研究及解决问题就是我们这一章的学习重点.我们继续思考，实数可以怎么分类呢？我们类比有理数的分类，“有理数分为整数和分数”将实数分分类.2、实数的分类有理数里分为正有理数、0、负有理数，同样无理数里也分为正无理数、负无理数，注意0不可以归为无理数中.教师提问题3：因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小关系对实数重新分类吗？加深学生对无理数实数的认识，初步形成对实数的整体认识。13
讲解：注意分类的原则是“大小关系”，要按这个标准不重不漏的进行。实数的分类可以有不同的方法.预计：学生讨论交流，得到如下分类：3、典型例题例：判断正误，并说明理由.①是无理数②0既不是有理数也不是无理数.辨析：（1）因为是分数，它=0.142857142857循环，是无限循环的小数，属于有理数，所以这句话错误.第二句话，实数按有理数、无理数的形式分类时，0既不是正有理数也不是负有理数，但0是属于有理数的，所以这句话是错的。总结：判断一个数到底属于哪一类数系，要深入理解实数的分类体系.例:在0.23,,,,0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）这五个数中，既是正实数也是无理数的数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个解析：符合题意得为0.2020020002…，选A13
例题:把下列各数分别填到相应的集合中：.有理数集合无理数集合例题有一个数值转换器，操作如下图所示，则当输入的x为81时，输出的y是().A.B.C.3D.9分析：仔细阅读操作图，我们先来理解这个操作过程，输入一个x(x>0),求它的算术平方根，如果这个算术平方根是无理数，则输出结果，如果是有理数，则返回，再次求这个有理数的算术平方根；如果是无理数则输出结果，如果还是有理数，则再次返回，一直到算术平方根是无理数，输出为止，也就是说y一定是个无理数，这题最后应选B.4、认识实数价值回顾一下我们对数的认识过程，引入负数后我们将数系扩充到有理数范围，引入无理数后我们将数系扩充到实数范围.数的范围不断扩大体现了人类认识的不断进步，实数的概念就是数学发展史的一个重要里程碑.讲解无理数历史：公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯学派的年轻数学家希帕索斯发现不是有理数，并由此引发了第一次数学危机，大家课下可以去阅读一下教材中13
58的资料，更详细了解有关无理数的历史知识.事实上无理数只是一个命名，并非“无理”，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映.无理数的发现引发了数学史上的第一次微机，是数学发展史的重要里程碑，引入无理数，经历了一个漫长而艰苦的过程，这个过程现了人类为追求真理而不懈努力的精神.例题巩固练习练习1.下列各数中的无理数是（）.A.B.3.14C.D.分析：这题主要依据是实数的概念及分类。让学生能结合概念解决简单的问题，会辨析概念.13
第一个数是，它可以化简为5，从而判断是个有理数；3.14很明显是有限小数，属于有理数；但是遇到分数比如，要知道分数还是有理数分类中的一类，可以马上判断是有理数，虽然还可以写出它的小数形式，发现它是无限循环小数，但显然时间会花费较多，所以还是依据分类判断会快点；最后一个是+1，是个无限不循环小数，而+1的结果应该还是一个无限不循环小数。最终这道题的答案是选“D”.2.判断正误，并说明理由.①实数包括正实数、0、负实数；②无理数包括正无理数、0、负无理数；③不带根号的数都是有理数.分析：①实数按大小分类，0是其中一类，可以判断这句话是正确的；②根据实数的分类，0属于有理数，所以这句话是错误的③反例：像0.1010010001（每隔两个1多一个0）…这个数是不带根号，它不是有理数，所以这句话是错误的.3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？－3.14，，1.732，，，，，18，，0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）.讲解：本题主要考查学生是否了解无理数及实数概念的含义，会对有关概念进行辨析.本题主要考查学生是否会对实数进行分类.13
这题主要是对概念要充分的理解，从数的小数形式入手更好，但是遇到分数比如，要知道分数还是有理数分类中的一类，可以马上判断是有理数.其余的我们一一来分析。最终这里有三个无理数：，其余的都是有理数。(练习3的备用题)把下列各数填入相应的集合内：.①无理数集合：{…}；②负实数集合：{…}.解答:①无理数集合：{…}；②负实数集合：…}.在挑正负实数时注意0既不是正数也不是负数，观察符号将这些数正确分类放入相应的集合中（点一下）负实数集合：{}.；正实数集合：4.在下列每个圈里，至少填入三个适当的数.有理数集合无理数集合解释：如果是自己选三个适当的数，那要注意选用简洁的、熟悉的数字填入对应的集合中。5.有一个数值转换器，操作如下图所示，则当输入的x为64时，输出的数值是__________.学生积极建构知识的训练.13
仔细阅读操作图，我们先来理解这个操作过程，输入一个x,求它的立方根，如果立方根是无理数，则输出结果，如果是有理数，则返回，再次求这个有理数的立方根；如果是无理数则输出结果，如果还是有理数，则再次返回，一直到立方根是无理数，输出为止.答案是：6.在实数0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的平方根及立方根中,哪些是有理数？哪些是无理数？注意:数比较多，先列表整理，再观察求值，然后判断类型.实际上学生在做这道题时将常用的无理数进行了梳理.总结1.了解无理数和实数的概念，梳理本节课的学习思路；2.了解实数的分类，会在实数范围内对数分类整理.回想一节课的重点，培养学生归纳概括的能力.13
作业作业1.书上57页习题6.3复习巩固1、2两个题.作业2.阅读书上58页《阅读与思考：为什么说不是有理数》.落实学习成果，帮助学生对新学的无理数的数学史有所了解.13
