教学基本信息课题实数的运算学科数学学段：初中年级初一教材书名：数学七年级下册出版社：人民教育出版社出版日期：2012年10月教学目标及教学重、难点本节课涉及到的知识要素是有理数运算律，实数运算法则，圆周率，数轴等，主要是类比有理数运算法则扩充实数运算法则，体现出特殊到一般的思想方法，在课程中主要培养用有理数估计无理数大小的能力，共设计2个探究活动.教学目标：1.知道实数与数轴上的点的一一对应关系.2.会求实数的相反数、绝对值.3.知道有理数的运算法则及运算性质在实数范围内仍然适用，并会进行一些简单实数运算.4.体会数的范围扩充后，概念、运算等的一致性以及它们的发展变化.教学重难点：重点：会求实数的相反数、绝对值，并会进行一些简单的实数运算.难点：理解实数与数轴上的点一一对应关系.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习引入探究新知引言：在上一节课,我们类比有理数的分类学习了实数的分类，实际上与有理数有关的知识还有不少，比如有理数与数轴的关系、有理数的大小比较、有理数的相反数和绝对值、有理数的运算及运算律。由于数的范围已经从有理数扩充到实数了，自然，我们也想知道这些有理数的知识也能扩充到实数范围内吗？它们之间有什么区别和联系呢？本节课我们就带着这些思考，一起来研究实数与数轴的关系、实数的大小比较、实数的相反数和绝对值、实数的运算及运算律.一、实数与数轴的关系通过复习学习实数的方法，提出思考问题，引人新学内容。点明学习内容10
思考问题1：有理数可以用数轴上的点表示；那么无理数可以用数轴上的点表示吗？解说：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，但无理数是无限不循环小数，它们存在于数轴上吗？如果存在，怎么才能在数轴上准确找到表示无理数的点呢？带着这个问题我们来进行两个探究活动探究活动1：把直径为1个单位长度的圆放在数轴上从原点向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点对应的数是多少？计算推理：已知这个圆向右滚动一周，这个圆的直径为单位长度1，所以根据圆周长公式，得到,即圆的周长就是无理数.我们还可以从想象一下圆的滚动过程:第一步剪断第二步拉直第三步化曲为直而线段的长度就是圆的周长，所以点对应的数就是，即无理数π可以用数轴上的点表示.探究活动2：那么与能在数轴上表示吗？我们还得借助之前的学习经验：单位长度为1的正方形对角线长是学生对无理数的存在有不少困惑，抛出这个问题可以激发学生的探究愿望.数形结合考虑问题10
操作：将这个正方形一个顶点与原点重合，一个边长与数轴重合上，画出其对角线，然后以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是.所以无理数可以用数轴上的点表示.总结：事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一、实数比大小思考问题2：实数如何比较大小总结：与规定的有理数大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.二、实数有没有绝对值与相反数思考问题3：讨论一下当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数吗？思考：你能解答下列问题吗?（1）的相反数是______，的相反数是____，0的相反数是______；(2)______，______，______.总结：数的相反数是，这里表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.通过2个探究活动得出：实数与数轴上的点一一对应。这个问题与有理数知识一致.有理数与数轴上的点不是一一对应的，而实数与数轴上的点是一对应的，这一事实的重要意义在于在实数范围内可以更好建立起数与形的联系，并利用这种联系研究和解决问题.10
即设表示一个实数，则有理数关于相反数与绝对值的意义同样适合于实数.一、实数的运算思考问题4：实数之间可以进行加减乘除乘方运算吗？总结:可以，而且正实数和0还可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算；在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.注意今后我们还会学到：随着数的进一步扩充，负数将可以进行开方运算.注意突出在数的扩充中有理数与实数体现出一致性，并且可以解决更多的问题了.精讲环节典型例题（应用新知，巩固提高）例题1实数-3，x,3，y在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是＿＿？分析：仔细观察这些点在数轴上的位置，根据绝对值的意义，一个点到原点的距离越远，它的绝对值就越大，这道题中Q点离原点最远，所以它的绝对值最大，答案是Q点.例题2（1）分别写出，的相反数；（2）指出，是什么数的相反数；（3）求的绝对值；（4）已知一个数的绝对值是,求这个数．解：(1)、的相反数是、；（2）、是、的相反数；（3）的绝对值是4；通过例题的讲解，提高学生对实数的运算及性质的了解.10
（4）绝对值是的数是或．注意：要区分每个题的不同问法，合理理解符号的含义.例题3求下列各数的相反数与绝对值：2.50相反数绝对值分析，由于数比较多，我们先列表整理，再观察求值，第一个数是2.5，正实数，相反数是-2.5,绝对值是2.5；第二个数是，负实数，相反数是,绝对值是；第三个数是，负实数，相反数是正,绝对值是；第四个数是，正实数，相反数是,绝对值是；第五个数是0，相反数与绝对值都是它本身0.例题4计算下列各式的值：（1）解:原式==依据加法交换律（2）解：原式==依据分配律例题5计算（结果保留小数点后两位）（1）（2）分析：在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度，用相应的近似有限小数去替代无理数，再进行计算.解：(1)原式让学生能结合概念解决简单的问题，会求一个实数的相反数与绝对值.从复习有理数的相反数与绝对值入手，类比规定了实数的相反数和绝对值，并通过例题巩固解题方法，加深了对实数的认识。建议可以使用计算器10
(2)原式小结：对于实数的运算，可强调两点，一是有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的近似计算，可以取近似值转化为有理数进行计算.下面我们做几个拓展提升题例题6比较下列各组数的大小，并用“>、=、<”填空：(1)(2)第一题分析:=1.5，=1.55…是无限循环小数,因为1.5<1.55…，所以这道题填“小于号”；第二题分析:=1.414…，千分位数字4后面的…表示数字还可以无限不循环的一直写下去，而有限小数1.414只到千分位，可见1.414...>1.414，所以这道题填“大于号”.例题7下列各数分别界于哪两个相邻的整数之间？（1）；（2）.分析：表示28的算术平方根，由于，，而且被开方数28界于25与36这两个平方数之间，所以根号28是界于5和6两个相邻整数之间的；表示99的立方根，由于，，而且被开方数99界于64与125这两个立方数之间，所以三次根号99是界于4和5两个相邻整数之间的.下面我们来运用实数运算的知识解决实际问题例题8如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间(单位:)与细线的长度(单位:)之间满足关系10
.当细线的长度为0.5m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少?(结果保留小数点后一位)解:代入公式下面得引入近似值了注意可以使用计算器答:小重物来回摆动一次所用的时间是1.4.小结：在拓展提升环节中我们做了三类练习，一是解决实际问题，二是判断无理数在哪两个相邻整数之间，三是比较实数的大小，这些问题都要运用“用有理数估计无理数大小”的方法，在实数的运算中估算是很重要的能力.巩固练习提升技能巩固练习（看看自己对实数概念及有关知识掌握的程度）1.下列各数中，界于6和7之间的数是哪个？A.B.C.D.分析：不妨将整数6和7也写成算术平方根形式，因为6=，7=，通过比较被开方数的大小，判断大于6小于7，所以这题应该选B.2.回答问题：（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？（2）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？分析：依据数轴及实数的分类的知识，判断有最小的正整数1，没有最小的整数；没有最小的正实数，也没有最小的实数.培养学生解题的能力.考察对数轴的认识能用实数分类解决最小值问题.10
3.填空：（1）在，，-4，0当中，最大的数是？（1）写出一个比3大且比4小的无理数？重点分析（2）根据无理数的形式特点，方法一我们可以直接写π或3.131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）；方法二因为3是9的算术平方根，4是16的算术平方根，所以在中的任选一个无理数都符合题意.所以这道题的答案不唯一.4.求下列各式中的实数x：（1）；（2）；(3)；(4).分析：根据绝对值的意义，判断x的值.(1)x=0；(2)x=；(3)x=；(4)x=.5.求下列各数的绝对值：（1）（2）（3）（4）依据绝对值的意义：所以要先判断这些数的正负符号，再决定结果是得本身还是本身的相反数。(1)的绝对值是；(2)的绝对值是2；(3)的绝对值是；(4)的绝对值是.6.计算下列各式的值：（1）（2）（3）（4）（精确到0.1）10
课堂小结(1)原式==依据是加法结合律(2)原式=括号依据分配律(3)原式===2+（-1+2)=依据分配律、绝对值的概念.(4)原式7.要生产一种容积为36πL的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米？(球的体积公式是，其中R是球的半径.)分析：L是指单位升，1升=1立方分米.公式中的字母V是已知量，字母R是未知量，所以将36π代入公式，得到,再根据立方根定义化简求值即可.具体解题过程如下，解:代入球的体积公式得，然后要利用等式基本性质，等式两边同时除以，得到，接着要化系数为1，等式两边同时除以系数，所以然后根据立方根定义，得，答：这种球形容器的半径是3分米.通过本节课的学习，你有哪些体会？1.每个无理数都可以用数轴上的点表示；当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点一一对应.讲解：通过探究活动，我们在数轴上找到了表示无理数和由于结果要精确到0.1，所以要取无理数近似值，转化为有理数运算，计算中适当的可以使用计算器.解决一个实际问题的分析与解答过程要完整，学生对实际问题存在审题的困难.10
的点，认识到无理数确实就在我们身边，并且了解了无理数的几何意义.1.会比较实数大小，会求实数的相反数与绝对值讲解：我们先复习了有理数的相反数与绝对值，然后用类似的方式规定了实数的相反数和绝对值，并且通过习题加深了对它们的理解.2.会进行简单的实数运算，并知道有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算.讲解：我们通过许多具体的例子体会到实数运算的性质、运算律与有理数是一致的，当涉及到无理数近似计算时可以转化为有理数进行计算，数位比较多时还可适当使用计算器估算.在实数这两课时的教学中，我们通过类比有理数及其运算，引入实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，同学们在学习时应注意体会类比这种研究方法的作用.还有我们利用数轴将“数”与“形”联系认识到实数与数轴上的点一一对应，这些对理解实数的概念与运算多很有帮助.作业教科书第56页练习第4题（1）（2）10
