追及与图象问题\n一、追及问题1．追及与相遇问题当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,两物体间距越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇和避免碰撞等问题．2．临界条件追及问题中,“刚好能追上”“刚好追不上”以及两物体间有最大距离或最小距离的条件是速度相等．\n【例1】一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始行驶,恰在这时一辆自行车以v0＝6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车,求：(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多大？(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度．\n\n\n方法三 图象法求解【答案】(1)2s6m(2)12m/s\n二、匀速直线运动图象1．位移－时间图象(1)物理意义：由x＝vt可知,图象是通过原点的一条倾斜直线．如图所示,它反映做匀速直线运动的物体位移随时间变化的规律．\n(2)图线信息：①任一时刻对应的位移x；②图线上某点切线的斜率大小表示物体速度大小,斜率为正,表示速度方向为正,远离参考原点；斜率为负,表示速度方向为负,向参考原点运动．\n【例2】质点做直线运动,其st关系如图所示,质点在0～20s内的平均速度大小为________m/s；质点在________时的瞬时速度等于它在6～20s内的平均速度．\n【答案】0.810s和14s\n【触类旁通】某同学为研究物体运动情况,绘制了物体运动的xt图象,如图所示．图中纵坐标表示物体的位移x,横坐标表示时间t,由此可知该物体做()A．匀速直线运动B．变速直线运动C．匀速曲线运动D．变速曲线运动【答案】B\n2．速度－时间图象(1)平行于时间轴的直线如图．(2)“面积”对应“位移”大小．原因：x＝vt\n二、匀变速直线运动图象1．速度－时间图象在vt图象中,匀变速直线运动为一条直线,直线的斜率为加速度,图1中的加速度为正,图2中的加速度为负．\n【例3】如图是一娱乐场的喷水滑梯,若忽略摩擦力,人从滑梯顶端滑下直到入水前,速度大小随时间变化的关系最接近图()\n【解析】从滑梯图可以看出,人从滑梯顶端滑下到入水前,可分为三个物理过程,即：斜面、水平面、斜面,在斜面上物体做匀加速运动,vt图象是向上倾斜的直线,在水平面上物体做匀速运动,vt图象是平行于t轴的直线,所以B项正确．【答案】B\n2．位移的表达“面积”对应“位移”,S△OA2为正,说明位移方向与速度方向相同,S△2B4为负,说明位移方向与速度方向相反．\n【例4】甲、乙两物体在t＝0时刻经过同一位置沿x轴运动,其vt图象如图所示,则()A．甲、乙在t＝0到t＝1s之间沿同一方向运动B．乙在t＝0到t＝7s之间的位移为零C．甲在t＝0到t＝4s之间做往复运动D．甲、乙在t＝6s时的加速度方向相同\n【解析】乙在t＝0s到t＝0.5s之间沿x轴负方向运动,在t＝0.5s到t＝1s之间沿x轴正方向运动,而甲在t＝0s到t＝1s之间沿x轴正方向运动,选项A错误；根据速度图象与横轴所夹面积表示位移可知,乙在t＝0到t＝7s之间的位移为零,选项B正确；甲在t＝0到t＝4s之间一直沿x轴正方向运动,选项C错误；甲、乙在t＝6s时的加速度均为负值,方向相同,选项D正确．【答案】BD\n一、追及问题的思路追及、相遇问题的实质,就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”(1)一个临界条件——速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,也是分析判断问题的切入点．(2)两个等量关系：时间关系和位移关系,通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．\n(3)追及与时间过量若被追赶的物体做匀减速直线运动,一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．\n【例1】甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以大小为0.5m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求：(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离；(2)乙车追上甲车所用的时间．\n\n【答案】(1)36m(2)25s\n【学法指导】本题关键是研究两者之间的位移关系、速度关系、时间关系．第(2)问,容易错解为：设经过时间t乙车追上甲车,此时两车的位移相同,则由v1t＝v2t＋at2,得t＝24s,25s＞24s明显看出时间过量．\n2．能否追上的判断方法做匀速直线运动的物体B追赶从静止开始做匀加速直线运动的物体A：开始时,两个物体相距x0.若vA＝vB时,xA＋x0<xB,则能追上；若vA＝vB时,xA＋x0＝xB,则恰好不相撞；若vA＝vB时,xA＋x0>xB,则不能追上．\n【例2】A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶,当B车在A车前84m处时,B车速度为4m/s,且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后,B车加速度突然变为零,A车一直以20m/s的速度做匀速运动,经过12s后两车相遇．求B车加速行驶的时间．\n\n代入题给数据vA＝20m/s,vB＝4m/s,a＝2m/s2有t2－24t＋108＝0⑤式中t的单位为s.解得t1＝6s,t2＝18s⑥t2＝18s不合题意,舍去．因此,B车加速行驶的时间为6s.【答案】6s\n二、反应时间问题【例3】为了安全,在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离,已知某公路的最高限速v＝72km/h,假设前方车辆突然停止,后车司机从发现这一情况,经操纵刹车,到汽车开始减速所经历的时间(即反应时间)t＝0.50s,刹车时汽车的加速度大小为4m/s2,该高速公路上汽车间的距离至少应为多少？\n【解析】后边汽车先做匀速直线运动,再做匀减速直线运动,到刹车时刚好速度减为零,x1＝v0t＝20m/s×0.50s＝10m,v＝2ax2,得x2＝50m,x≥x1＋x2＝60m【答案】60m\n三、多过程追及问题【例4】一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s,要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上前面1000m处正以20m/s的速度匀速行驶的汽车,则摩托车必须以多大的加速度启动？(保留2位有效数字)\n【答案】0.56m/s2\n一、利用路程关系【例1】如图所示,游乐场中,从高处A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处,下列说法正确的有()\nA．甲的切向加速度始终比乙的大B．甲、乙在同一高度的速度大小相等C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度D．甲比乙先到达B处\n【解析】切向加速度a＝gsinθ,开始甲大于乙后来甲小于乙,选项A错误；由机械能守恒可知,甲乙在同一高度的速度大小相等,选项B正确；画出甲乙的速度图象如下图所示,由于两种情况路程相同(即图象与t轴所围的面积相同),最后的速率相同,由图可知甲比乙先到达B处,同一时刻,甲的位置总低于乙,选项C错,选项D正确．【答案】BD\n【触类旁通】如下图所示,两光滑斜面的总长度相等,高度也相等,两球a、b由静止从顶端下滑,小球在转折处的速度大小不变,如果a球到达底端的时间为ta,b球到达底端的时间为tb,则两球到达底端的时间关系()\nA．ta＞tbB．ta＜tbC．ta＝tbD．无法判断【解析】由机械能守恒,可知a、b两球到达底端的速度的大小相等,由牛顿第二定律,可知各段的加速度的关系为ab1＞aa＞ab2,由位移(路程)相等可在图象中体现为面积相等．【答案】A\n二、利用图象解决往复运动问题【例2】一电荷量为q(q＞0)、质量为m的带电粒子在匀强电场的作用下,在t＝0时由静止开始运动,场强随时间变化的规律如图所示．不计重力,求在t＝0到t＝T的时间间隔内．\n(1)粒子位移的大小和方向；(2)粒子沿初始电场反方向运动的时间．\n\n\n\n\n\n
