第2讲 匀变速直线运动的规律\n加速度相同相反v0＋atv0t＋at22ax\n\n\n位移\n\n3．两个重要推论(1)物体在一段时间内的平均速度等于这段时间________的瞬时速度，还等于初末时刻速度矢量和的________，即＝v＝.(2)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量，即：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝________.可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2.中间时刻一半aT2\n\n4．初速度为零的匀变速直线运动的四个推论1：2：3：…：n12：22：32：…：n21：3：5：…：(2n－1)\n1：(－1)：(－)：…：(－)\n知识点二 自由落体运动和竖直上抛运动静止gtgt22gh向上重力v0－gtv0t－gt2－2gh\n思考辨析(1)做匀变速直线运动的物体的速度均匀变化．()(2)一物体做匀变速直线运动,某时刻的速度为6m/s,1s后速度为反向的10m/s,则加速度的大小为4m/s2.()(3)某物体从静止开始做匀加速直线运动,速度由0到v时运动距离是速度由v到2v时运动距离的2倍．()(4)物体从某高度由静止下落,一定做自由落体运动．()(5)做竖直上抛运动的物体在上升过程中,速度变化量的方向是向下的．()√×××√\n情境探究1.一汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统,系统以50Hz的频率监视前方的交通状况.当车速v≤10m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时,如果司机未采取制动措施,系统就会立即启动“全力自动刹车”,使汽车避免与障碍物相撞.在上述条件下,若该车在不同路况下的“全力自动刹车”系统产生的加速度取4～6m/s2之间的某一值,则“全力自动刹车”系统作用的最长时间为多少?\n2.某探险者在野外攀岩时,踩落一小石块,约5s后听到小石块直接落到崖底的声音.探险者离崖底的高度大约是多少?(g取10m/s2)\n3.原地纵跳摸高是篮球和羽毛球运动重要的训练项目.已知质量m=60kg的运动员原地摸高为2.05m,比赛过程中,该运动员先下蹲重心下降0.5m,经过充分调整后,发力跳起摸到了2.85m的高度.假设运动员起跳时为匀加速运动,该运动员跳离地面时的速度为多少?从开始起跳到双脚落地需要的时间为几秒?(g取10m/s2)\n\n教材改编[人教版必修1P43T3改编]某型号的航载飞机在航空母舰的跑道上加速时，发动机产生的最大加速度为5m/s2，所需的起飞速度为50m/s，跑道长100m．设飞机起飞对航空母舰的运动状态没有影响，飞机在跑道上的运动可以看做匀加速直线运动．(1)通过计算判断，飞机能否靠自身的发动机从舰上起飞？(≈3.16)(2)为了使飞机在开始滑行时就有一定的初速度，航空母舰装有弹射装置，对于该型号的航载飞机，弹射系统必须使它具有多大的初速度？(≈3.87)答案：(1)不能(2)38.7m/s\n考点一 匀变速直线运动规律的应用师生共研题型1基本公式的应用1．运动学公式中正、负号的规定(1)除时间t外,x、v0、v、a均为矢量,所以需要确定正方向,一般以v0的方向为正方向．与初速度同向的物理量取正值,反向的物理量取负值,当v0＝0时,一般以加速度a的方向为正方向．(2)五个物理量t、v0、v、a、x必须针对同一匀变速运动过程．\n2．解题的基本思路\n例1出租车载客后,从10时10分55秒开始做初速度为零的匀加速直线运动,经过10s时,速度计显示速度为54km/h.求：(1)这时出租车离出发点的距离；(2)出租车继续做匀加速直线运动,当速度计显示速度为108km/h时,出租车开始做匀速直线运动.10时12分35秒时计价器里程表示数应为多少千米？(车启动时,计价器里程表示数为零)\n[教你解决问题]―→画运动过程示意图,呈现运动情景\n解析：(1)由题意中知经过10s时速度计上显示的速度为v1＝15m/s，由速度公式v＝v0＋at得a＝＝＝1.5m/s2由位移公式得x1＝a＝×1.5×102m＝75m这时出租车离出发点的距离为75m.\n(2)当速度计上显示的速度为v2＝108km/h＝30m/s时，由＝2ax2，得x2＝＝300m，这时出租车从静止载客开始，已经经历的时间为t2，可根据速度公式得t2＝＝s＝20s，这时出租车时间表应显示10时11分15秒．出租车继续匀速运动，匀速运动时间t3为80s，通过位移x3＝v2t3＝30×80m＝2400m，所以10时12分35秒时，计价器里程表应显示x＝x2＋x3＝(300＋2400)m＝2700m＝2.7km.\n题型2平均速度公式的应用(1)定义式＝对任何性质的运动都适用；(2)＝(v0＋v)只适用于匀变速直线运动；(3)中间时刻速度公式v＝只适于匀变速直线运动．\n例2一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动,公路边每隔x0＝15m有一棵树,如图所示,汽车通过A、B两相邻的树用了t1＝3s,通过B、C两相邻的树用了t2＝2s,求汽车的加速度大小和通过B树时的速度大小分别为()A．0.5m/s25.5m/sB．1m/s26.5m/sC．0.5m/s26.5m/sD．1m/s25.5m/s解析：设汽车加速度大小为a，经过树B时速度大小为vB，汽车经过A和B的中间时刻的瞬时速度v1等于汽车经过A、B间的平均速度，故v1＝，同理经过B和C的中间时刻的瞬时速度v2＝，由速度公式可得v2＝v1＋a，联立并代入数据解得a＝1m/s2，又vB＝v1＋a，代入数据解得vB＝6.5m/s.故选项B正确．\n题型3推论Δx＝aT2的应用例3如图所示，物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，途径A、B、C三点，其中|AB|＝2m，|BC|＝3m．若物体通过AB和BC这两段位移的时间相等，则O、A两点之间的距离等于()A.mB.mC.mD.m解析：设物体通过AB、BC所用时间均为T，则B点的速度为：vB＝＝，根据Δs＝aT2得：a＝＝，则有：vA＝vB－aT＝－·T＝，根据速度位移公式得，O、A两点之间的距离为：sOA＝＝m＝m，选项A正确，B、C、D错误．答案：A\n题型4比例法的应用例4质点从静止开始做匀加速直线运动,在第1个2s、第2个2s和第5s内三段位移比为()A．2：6：5B．2：8：7C．4：12：9D．2：2：1解析：质点在从静止开始运动的前5s内的每1s内位移之比应为1：3：5：7：9,因此第1个2s内的位移为(1＋3)＝4份,第2个2s内的位移为(5＋7)＝12份,第5s内的位移即为9份,C正确．答案：C\n题型5逆向思维法例5(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入三个完全相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是()A．v1：v2：v3＝3：2：1B．v1：v2：v3＝：：1C．t1：t2：t3＝1：：D．t1：t2：t3＝(－)：(－1)：1答案：BD\n解析：因为冰壶做匀减速直线运动，且末速度为零，故可以看成反向匀加速直线运动来研究．初速度为零的匀加速直线运动中通过连续三段相等位移的时间之比为1：(－1)：(－)，故所求时间之比为(－)：(－1)：1，所以选项C错误，D正确；由v2－＝2ax可得，初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移的速度之比为1：：，则所求的速度之比为：：1，故选项A错误，B正确．\n题后反思解决匀变速直线运动问题常用的几种物理思维方法：\n练1如图所示，一物体由斜面底端上滑到顶端恰好静止，历时s，则它从斜面中点到顶端所用的时间为()A.sB．0.5sC.sD．1s解析：研究该运动的逆运动即初速度为零的匀加速直线运动．设斜面长为x，从顶端滑到底端的时间为t，从顶端到斜面中点的时间为t′，则：从C→A的过程中有：x＝at2从C→B的过程中有：＝at′2由以上两式代入数据得：t′＝1s，故D正确．答案：D\n考点二 自由落体和竖直上抛运动多维探究题型1自由落体运动例6如图所示,屋檐上水滴下落的过程可以近似地看做是自由落体运动．假设水滴从10m高的屋檐上无初速度滴落,水滴下落到地面时的速度大约为(g取10m/s2)()A．20m/sB．14m/sC．2m/sD．1.4m/s答案：B解析：根据公式v2＝2gh得v＝m/s≈14m/s，选项B正确．\n[考法拓展]在[例6]中水滴下落过程中经2m高的窗户所需时间为0.2s．那么窗户上沿到屋檐的距离为多少？解析：设水滴下落到窗户上沿时的速度为v0，则由h＝v0t＋gt2得，2＝v0×0.2＋×10×0.22解得v0＝9m/s根据v2＝2gh得窗户上沿到屋檐的距离h＝＝m＝4.05m.答案：4.05m\n题型2竖直上抛运动例7一个物体从地面上竖直上抛,它两次经过一个较低点A的时间间隔是5s,两次经过一个较高点B的时间间隔是3s,不计空气阻力,g取10m/s2,则A、B之间的距离是()A．80mB．40mC．20mD．无法确定解析：物体做竖直上抛运动，根据运动的对称性可知，物体从最高点自由下落到A点的时间为，从最高点自由下落到B点的时间为，A、B间距离为hAB＝g＝×10×(2.52－1.52)m＝20m.答案：C\n例8(多选)一物体以5m/s的初速度在光滑斜面上向上做匀减速运动，其加速度大小为2m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4m，则时间t可能为()A．1sB．3sC．4sD．s解析：以沿斜面向上为正方向，当物体的位移为4m时，根据x＝v0t＋at2得4＝5t－×2t2解得t1＝1s，t2＝4s当物体的位移为－4m时，根据x＝v0t＋at2得－4＝5t－×2t2解得t3＝s，故A、C、D正确，B错误．答案：ACD\n拓展点 刹车类问题和双向可逆类问题1．刹车类问题中的两点提醒(1)分清运动时间与刹车时间之间的大小关系．(2)确定能否使用逆向思维法,所研究阶段的末速度为零,一般都可应用逆向思维法．2．双向可逆运动的特点这类运动的速度减到零后,以相同加速度反向加速．如竖直上抛、沿光滑斜面向上滑动．\n练2(多选)车让人是一种社会的文明．若某车以10m/s的速度从远处驶向校门口,此时有一群小学生正在过人行横道,司机立即以5m/s2的加速度刹车行驶,车刚好在停车线处停下,若司机的反应时间为0.5s,则下列说法中正确的是()A．司机从看到小学生到汽车停止的时间为2sB．汽车在整个刹车过程中的平均速度为6m/sC．司机看到小学生时车头前端距离停车线15mD．司机看到小学生时车头前端距离停车线10m解析：司机反应时间为0.5s，从开始刹车到停止的时间为t＝＝2s，所以从司机看到小学生到汽车停止的时间为2.5s，A项错误；整个刹车过程，汽车的位移为x＝v0t0＋＝15m，C项正确，D项错误；汽车在整个刹车过程的平均速度为＝＝m/s＝6m/s，B项正确．答案：BC\n练3[2019·全国卷Ⅰ，18]如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2.不计空气阻力，则满足()A．1<<2B．2<<3C．3<<4D．4<<5答案：C\n解析：本题考查了匀变速直线运动中通过连续相邻相等位移所用时间的关系和考生的逻辑推理能力，体现了科学思维素养中模型建构、科学论证要素．运动员离地后做竖直上抛运动，则可以按其逆过程——自由落体运动计算，将H分为相等的4段，通过各段所用时间由上至下分别为T1、T2、T3、T4，则满足T1：T2：T3：T4＝1：(－1)：(－)：(2－)，则＝＝2＋，则3<<4，故只有C正确．\n匀变速直线运动中的STSE问题题型1结合汽车通过ETC通道的情景,考查直线运动中的临界问题典例1高速公路的ETC电子收费系统如图所示,ETC通道的长度是识别区起点到自动栏杆的水平距离．某汽车以21.6km/h的速度匀速进入识别区,ETC天线用了0.3s的时间识别车载电子标签,识别完成后发出“滴”的一声,司机发现自动栏杆没有抬起,于是采取制动刹车,汽车刚好没有撞杆．已知司机的反应时间为0.7s,刹车的加速度大小为5m/s2,则该ETC通道的长度约为()A．4.2mB．6.0mC．7.8mD．9.6m答案：D\n解析：本题考查直线运动中的临界问题．汽车的速度21.6km/h＝6m/s，汽车在前0.3s＋0.7s内做匀速直线运动，位移为x1＝v0(t1＋t2)＝6×(0.3＋0.7)m＝6m，随后汽车做匀减速运动，位移为x2＝＝m＝3.6m，所以该ETC通道的长度为L＝x1＋x2＝6m＋3.6m＝9.6m，故A、B、C错误，D正确．\n题型2以“酒驾”为背景考查匀变速直线运动规律典例2(多选)酒后驾驶会导致许多安全隐患,这是因为驾驶员的反应时间变长．反应时间是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间．下表中“思考距离”是指驾驶员发现情况到采取制动的时间内汽车的行驶距离,“制动距离”是指驾驶员发现情况到汽车停止行驶的距离．(假设汽车制动加速度都相同)速度(m/s)思考距离(m)制动距离(m)正常酒后正常酒后157.515.022.530.02010.020.036.746.72512.525.054.266.7\n分析上表可知,下列说法正确的是()A．驾驶员正常情况下反应时间为0.5sB．驾驶员酒后反应时间比正常情况慢0.5sC．驾驶员采取制动措施后汽车加速度大小为3.75m/s2D．当车速为25m/s时,发现前方60m处有险情,酒驾者不能安全停止解析：反应时间＝思考距离÷车速,因此正常情况下反应时间为0.5s,酒后反应时间为1s,故A、B正确；设汽车从开始制动到停车的位移为x,则x＝x制动－x思考,根据匀变速直线运动公式v2＝2ax,解得a＝7.5m/s2,C错误；根据表格知,车速为25m/s时,酒后制动距离为66.7m>60m,故不能安全停车,D正确．答案：ABD\n题型3以体育运动为背景考查多过程运动问题典例3如图所示,甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100m接力,他们在奔跑时有相同的最大速度．乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度,这一过程可看成匀变速直线运动．现在甲持棒以最大速度向乙奔来,乙在接力区伺机全力奔出．若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%,则：(1)乙在接力区需跑出多少距离？(2)乙应在距离甲多远时起跑？\n解析：本题涉及两个研究对象，其中甲运动员做匀速直线运动，乙运动员做初速度为零的匀加速直线运动，关联的地方是：①从开始运动至完成交接棒过程，他们的运动时间相等；②在这段时间内，甲的位移等于乙的位移与乙起跑时甲、乙之间距离的和．设甲、乙的最大速度为v，从乙起跑到接棒的过程中，甲、乙运动时间为t.(1)乙起跑后做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度为a，v2＝2ax.乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，得v1＝v×80%，＝2ax乙，x乙＝＝16m.乙在接力区需跑出的距离为16m.\n(2)乙的运动为匀加速直线运动，乙从起跑到接棒的时间为t，t＝＝，x乙＝t；甲做匀速直线运动，其在乙从起跑到接棒的时间t内的位移为x甲＝vt＝40m；乙起跑时距离甲的距离为Δx＝x甲－x乙＝24m.\n题后反思解决STSE问题的方法在解决生活和生产中的实际问题时：(1)根据所描述的情景物理过程物理模型(2)分析各阶段的物理量(3)选取合适的匀变速直线运动规律求解．\n练1为了安全,学校校门前马路一般有限速标志．如图所示,为一学校门口前面马路的俯视图．绿灯时,在十字路口A线处有一轿车(可视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,轿车的最大启动加速度为10m/s2.距A线l1＝500m处有一减速区,减速区宽度l2＝15m,在减速区能达到的加速度数值足够大．设学校门口限速36km/h,市区内轿车限速72km/h.要求轿车从进入减速区时开始减速,减速时视为做匀减速直线运动．在不违规的情况下,试求轿车从A开始启动到学校门口B的最短时间．\n解析：轿车以最大加速度启动达到限速v1的时间t1，v1＝at1启动经过的位移为x1，＝2ax1；匀速运动的时间为t2，l1－x1＝v1t2在减速区内时间为t3，t3＝l2总时间为t，t＝t1＋t2＋t3，代入数据得t＝27s.答案：27s\n练2强行超车是道路交通安全的极大隐患之一．下图是汽车超车过程的示意图,汽车甲和货车均以36km/h的速度在路面上匀速行驶,其中甲车车身长L1＝5m、货车车身长L2＝8m,货车在甲车前s＝3m处．若甲车司机开始加速从货车左侧超车,加速度大小为2m/s2.假定货车速度保持不变,不计车辆变道的时间及车辆的宽度．(1)甲车完成超车至少需要多长时间？(2)若甲车开始超车时,看到道路正前方的乙车迎面驶来,此时二者相距110m,乙车速度为54km/h.甲车超车的整个过程中,乙车速度始终保持不变,请通过计算分析甲车能否安全超车．\n解析：(1)在时间t内，甲车位移为x1＝v1t＋at2，货车的位移为x2＝v2t，若甲车经过时间t刚好完成超车，则有x1＝x2＋L1＋L2＋s联立并代入数据解得t＝4s，即甲车最短的超车时间为4s.(2)假设甲车能安全超车，在最短时间4s内，甲车的位移为x1＝v1t＋at2＝56m，乙车的位移为x3＝v3t＝60m，由于x1＋x3＝116m>110m，故甲车不能安全超车．答案：(1)4s(2)不能安全超车
