3.简谐运动的图像和公式\n一、简谐运动的图像1.图像特点:简谐运动的图像是一条_____________曲线,如图所示.2.图像的意义:表示做简谐运动的物体在_____时刻相对于平衡位置的_____.即表示做简谐运动的物体偏离平衡位置的位移随时间的变化关系.3.图像信息:从图像上可知_____和_____,还可知道任一时刻位移的_____和_____.正弦(或余弦)任意位移振幅周期大小方向\n【判一判】(1)简谐运动的图像就是振动物体的运动轨迹.()(2)由简谐运动的图像可以知道振动的周期和振幅.()(3)简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性.()\n提示:(1)×.简谐运动的图像描述的是振动物体的位移随时间变化的规律,并不是物体运动的轨迹.(2)√.图像在纵轴方向上的最大值等于振幅,相邻两个相同状态的时间间隔等于周期.(3)√.图像反映出简谐振动的物体位移随时间做周期性的变化.\n二、简谐运动的表达式1.表达式:x=____________或x=Asin(2πft+φ).2.表达式中各量的意义:(1)“A”表示简谐运动的_____.振幅\n(2)“T”表示简谐运动的_____,“f”表示简谐运动的频率,它们之间的关系为T=__.(3)“t+φ”或“2πft+φ”表示简谐运动的_____.(4)“φ”表示简谐运动的_______,简称_____.周期相位初相位初相\n【想一想】有两个简谐运动:x1=3asin(4πbt+)和x2=9asin(8πbt+),它们的振幅之比是多少?频率各是多少?提示:它们的振幅分别为3a和9a,比值为1∶3;频率分别为2b和4b.\n知识点一简谐运动的图像的应用思考探究:如图,在小塑料瓶底部穿一小孔,并装满墨水悬挂在支架上,使其在支架所在竖直平面内摆动,操作者沿v方向水平匀速拉动白纸,分析在白纸上留下的图像.\n(1)白纸上留下的图像是不是振动物体运动的轨迹?(2)由图像可以得到描述振动的哪个物理量?提示:(1)振动物体在竖直平面内来回摆动,所以图像不是振动物体运动的轨迹,但反映了振动物体相对于平衡位置的位移随时间变化的规律.(2)由图像可测得振动物体偏离平衡位置的最大距离即振幅.\n【归纳总结】1.图像的意义:图像反映了做简谐运动的质点位移随时间的变化规律,并不表示质点运动的轨迹.如弹簧振子运动的轨迹为直线,但其x-t图像是一条正弦(或余弦)曲线.\n2.由图像可以得出的量:简谐运动的图像如图所示,由此可以得出:\n(1)由图像可以直接读取振幅A.(2)由图像可以直接读取周期T,进而求出频率f.(3)由图像可知质点在不同时刻的位移.(4)x-t图像上某一点的斜率表示该时刻的速度,斜率的绝对值为速度的大小,斜率的正负为速度的方向.所以,图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小,t1时刻速度方向为负,t2时刻速度方向也为负.\n(5)从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差.(6)由图像可以比较不同时刻质点加速度的大小和方向.例如,在上图中t1时刻振动的位移x1为正,则加速度a1为负,t2时刻x2为负,则加速度a2为正,又因为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.\n3.对称性:(1)空间的对称性:经过平衡位置两侧的对称点时位移的大小相等,方向相反;速度的大小相等,方向有时相同,有时相反.(2)时间的对称性:不论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间都相等.\n4.周期性:做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就是说其运动具有周期性.不同的简谐运动,其周期一般是不同的.根据简谐运动的周期性可作出判断:(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同.\n(2)若t2-t1=nT+T,则t1、t2两时刻振动物体所处的位置关于平衡位置对称,描述运动的物理量(x、F、a)大小相等,方向相反.\n(3)若t2-t1=nT+T或t2-t1=nT+T,则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大位移处;若t1时刻物体在其他位置,t2时刻物体到达何处就要视具体情况而定.\n【特别提醒】(1)简谐运动的周期性体现在振动图像上是曲线的重复性,图像随时间的增加将逐渐延伸,过去的时刻图像永远不变.(2)在简谐运动的图像上位移相同的点加速度一定相同;其速度大小相等,但方向可能相同,也可能相反.\n【典例示范】(多选)一质点做简谐运动,其相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图所示,由此可知()A.质点振动的振幅是2cmB.质点振动的频率是4HzC.t=2s时质点的速度最大,且方向向下D.t=5s时质点所受的合外力为零\n【解题探究】(1)怎样判断速度的大小和方向?提示:x-t图像上某一点切线的斜率表示速度,其大小表示速度的大小,正负表示速度的方向.(2)怎样判断合外力的大小和方向?提示:F=-kx,其大小与位移大小成正比,方向和位移方向相反.\n【正确解答】选A、C.观察图像可知,振幅A=2cm,周期T=4s,频率f==0.25Hz,A对,B错;t=2s时质点在平衡位置,速度最大,t=3s时质点到达最低点,可判断t=2s时质点在向下运动,C对;t=5s时质点在最高点,离平衡位置最远,合外力最大,D错.\n【过关训练】1.如图所示是质点做简谐运动的图像.由此可知()A.t=0时,质点位移、速度均为零B.t=1s时,质点位移最大,速度最大C.t=2s时,质点位移为零,速度沿负向最大D.t=4s时,质点停止运动\n【解析】选C.t=0时,质点位移为零,但速度最大,选项A错误;t=1s时,质点位移最大,速度为零,选项B错误;t=2s时,质点位移为零,速度沿负向最大,选项C正确;t=4s时,质点位移为零,速度沿正向最大,选项D错误.\n2.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法中正确的是()A.质点的振动周期为4sB.在8s内质点经过的路程是16cmC.在5s末,速度为零,加速度为正向最大D.t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小不相等\n【解析】选A、B.由题图可知周期为4s,A正确;振幅A=2cm,8s为2个周期,一个周期通过的路程为4A=8cm,故8s通过的路程为2×8cm=16cm,B正确;在5s末,位移正向最大,速度为零,加速度负向最大,C错误;根据图像的对称性,t=1.5s和4.5s末的两时刻质点的位移大小相同,D错误.\n【补偿训练】1.(多选)如图所示为某质点做简谐运动的图像,若t=0时,质点正经过O点向b运动,则下列说法正确的是()\nA.质点在0.7s时,正在远离平衡位置运动B.质点在1.5s时的位移最大C.1.2s到1.4s,质点的位移在增大D.1.6s到1.8s,质点的位移在增大\n【解析】选B、C.由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段,故质点在0.7s时的位移方向向右,且正在向平衡位置运动,所以A项错误;质点在1.5s时的位移达到最大,故B正确;质点在1.2s到1.4s过程中,正在远离平衡位置,所以其位移在增加,故C正确;1.6s到1.8s时间内,质点正向平衡位置运动,所以其位移正在减小,故D项错误.\n2.一质点做简谐运动时,其振动图像如图所示.由图可知,在t1和t2时刻,质点运动的()A.位移相同B.回复力相同C.速度相同D.加速度相同\n【解析】选C.从题图中可以看出,在t1和t2时刻,质点的位移大小相等、方向相反.由公式F=-kx可知,在t1和t2时刻质点所受的回复力大小相等、方向相反,加速度大小相等、方向相反,A、B、D错误;在t1和t2时刻,质点速度方向相同,由于位移大小相等,所以速度大小相等,C正确.\n【规律方法】简谐运动图像的应用技巧(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向:质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可,也可比较图像中纵坐标值的大小.方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断.\n(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向:由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比,方向与位移方向相反,所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可.\n知识点二对简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ0)的理解思考探究:我们借用匀速圆周运动来推导简谐运动的公式:如图小球P在绕O点以角速度ω做圆周运动,小球在x轴上的投影的运动等效为振动,以小球P在顶点的时刻作为计时零点,A为小球到圆心的竖直距离.\n(1)小球在x轴上投影的最大距离可等效为描述振动的哪个物理量,大小是多少?(2)经过时间t小球投影的位移大小是多少?提示:(1)振动的振幅,大小为A.(2)经过时间t小球转过的角度为ωt,所以投影的位移为x=Asinωt.\n【归纳总结】1.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移,t表示质点振动的时间.2.式中A表示振幅,描述的是振动的强弱.3.式中ω叫作圆频率,它与周期、频率的关系为ω==2πf,可见ω、T、f相当于一个量,描述的都是振动的快慢.\n4.式中(ωt+φ0)表示相位,描述的是做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量.它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体又多完成了一次全振动.5.由公式x=Asinωt及振动图像可以看出,简谐运动具有周期性,由此可能产生振动问题的多解性.\n【特别提醒】(1)写振动方程首先要确定三个量,振幅A、圆频率ω=和初相位φ0.(2)由于振动具有周期性,振动问题往往具有多解性,解决有关振动问题时,要注意多解问题,避免漏解.\n【典例示范】(多选)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动.以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m.t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6s时,小球恰好与物块处于同一高度.重力加速度的大小g取10m/s2.以下判断正确的是()\nA.h=1.7mB.简谐运动的周期是0.8sC.0.6s内物块运动的路程是0.2mD.t=0.4s时,物块与小球运动方向相反\n【解题探究】(1)怎样根据简谐运动的公式求振动频率?提示:根据简谐运动的公式直接读出圆频率ω,再根据ω==2πf求出周期或频率.(2)怎样判断振动物体的速度?提示:将t=0.4s代入位移表达式,通过分析物体的位置来判断速度大小和方向.\n【正确解答】选A、B.t=0.6s时,物块的位移为y=0.1sin(2.5π×0.6)m=-0.1m;则对小球h+|y|=gt2,解得h=1.7m,选项A正确;简谐运动的周期是T==0.8s,选项B正确;0.6s内物块运动的路程是3A=0.3m,选项C错误;t=0.4s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误.\n【过关训练】1.(多选)有两个振动,其表达式分别是x1=3sin(100πt+)cm,=6sin(100πt+)cm,下列说法正确的是()A.它们的振幅相同B.它们的周期相同C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致\n【解析】选B、C.由简谐运动的公式可以看出,振幅分别是3cm和6cm,选项A错误;角速度ω=100πrad/s相同,周期T=也相同,选项B正确;相位差Δφ=为定值,故相位差恒定,选项C正确,D错误.\n2.某振子做简谐运动的表达式为x=2sin(2πt+)cm,则该振子振动的振幅和周期为()A.2cm1sB.2cm2πsC.1cmsD.以上全错\n【解析】选A.振子做简谐运动的表达式为x=2sin(2πt+)cm对照简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ),A为振幅,ω是简谐运动的圆频率,它与周期、频率的关系为ω==2πf.所以A=2cm,T=1s,所以只有选项A正确.\n【补偿训练】1.两个简谐运动的表达式分别为x1=4sin4πt(cm)和x2=2sin2πt(cm),它们的振幅之比、各自的频率之比是()A.2∶1,2∶1B.1∶2,1∶2C.2∶1,1∶2D.1∶2,2∶1\n【解析】选A.由题意知A1=4cm,A2=2cm,ω1=4πrad/s,ω2=2πrad/s,则A1∶A2=2∶1,f1∶f2=ω1∶ω2=2∶1.故A正确,B、C、D错误.\n2.物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos(100t+)m,物体B做简谐运动的振动位移为xB=5cos(100t+)m.比较A、B的运动可知()A.振幅是矢量,A的振幅是6m,B的振幅是10mB.周期是标量,A、B的周期相等,均为100sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A振动的频率fA大于B振动的频率fB\n【解析】选C.振幅是标量,A、B的振动范围分别是6m、10m,但振幅分别是3m、5m,选项A错误;周期是标量,A、B的周期T==6.28×10-2s,选项B错误;因为TA=TB,故fA=fB,选项C正确,选项D错误.\n【规律方法】利用表达式x=Asin(ωt+φ)解题的方法技巧(1)首先明确表达式中各物理量的意义:①A表示简谐运动的振幅.②ω表示做简谐运动的圆频率.③ωt+φ表示简谐运动的相位,φ表示初相位.\n(2)根据公式ω==2πf确定三个描述振动快慢的物理量.(3)根据表达式求解某时刻的位移.(4)对于同一质点的振动,不同形式的位移表达式初相位不同.\n【拓展例题】考查内容:简谐运动的图像和公式的综合【典例示范】如图所示是某质点做简谐运动的振动图像,根据图像中的信息,回答下列问题:(1)振幅、周期各是多大?(2)写出这个简谐运动的位移随时间变化的关系式.\n【正确解答】(1)质点离开平衡位置的最大位移x=20cm,所以振幅A=20cm;质点完成一次全振动的时间为4s,所以周期T=4s.(2)由图像可知振幅A=20cm,周期T=4s,rad/s,t=0时,x=0,所以初相位φ=0,由此可知位移随时间的变化关系式为答案:(1)20cm4s(2)x=20sincm
