带电粒子在磁场中的运动——磁聚焦\n磁聚焦：一组平行粒子垂直射入半径为R的圆形匀强磁场区域,若轨迹半径也为R,则粒子将汇聚于同一点.磁发散：从一点进入磁场的粒子,若圆周运动的半径与磁场半径相同,则无论在磁场内的速度方向如何,出磁场的方向都与该点切线方向平行.\n磁聚焦原理图解条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样O1O2AB\n磁聚焦原理图解条件：圆形磁场区域半径与粒子轨道半径一样大.现象：从圆心打出的任意方向的粒子飞出方向与入射点切线平行.拓展：可逆性入射点\n例1：如右图所示,在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场,MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电、电荷量为q、质量为m、速度为v的粒子,不考虑粒子间的相互作用力,关于这些粒子的运动以下说法正确的是()A．只要对着圆心入射,出射后均可垂直打在MN上B．对着圆心入射的粒子,其出射方向的反向延长线不一定过圆心C．对着圆心入射的粒子,速度越大在磁场中通过的弧长越长,时间也越长D．只要速度满足,沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上D\n例2：D\nxyOv0例3：在xoy平面内有很多质量为m,电量为e的电子,从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限,如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场,要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动,试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）xyOv0O1O2O3O4O5On\n例4：电子质量为m、电量为e,从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限,射入时速度方向不同,速度大小均为v0,如图所示．现在某一区域加方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场,磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上,荧光屏与y轴平行,求：（1）电子在磁场中的运动半径大小；（2）荧光屏上光斑的长度；（3）所加磁场范围的最小面积．（1）mv0/eB（2）mv0/eB（3）(π/2+1)(mv0/eB)2\n例3：如图,ABCD是边长为a的正方形.质量为m电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场,电子从BC边上的任意点入射,都只能从A点射出磁场.不计重力,求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的大小和方向；（2）此匀强磁场区域的最小面积.ABCDxyOv0S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2\n解：（1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道.依题意,圆心在A、C连线的中垂线上,故B点即为圆心,圆半径为a,按照牛顿定律有ev0B=mv02/a,得B=mv0/ea.ABCDEFpqOθ（2）自BC边上其他点入射的电子运动轨道只能在BAEC区域中.因而,圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界.（3）设某射中A点的电子速度方向与BA的延长线夹角为θ的情形.该电子的运动轨迹qpA如图所示.图中圆弧Ap的圆心为O,pq垂直于BC边,圆弧Ap的半径仍为a,在D为原点、DC为x轴、DA为y轴的坐标系中,p点的坐标为(x,y),则x=asinθ,y=-acosθ.因此,所求的最小匀强磁场区域,是分别以B和D为圆心、a为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的区域,其面积为S=2(πa2/4-a2/2)=(π-2)a2/2由④⑤式可得：x2+y2=a2,这意味着在范围0≤θ≤π/2内,p点处在以D为圆心、a为半径的四分之一圆周AFC上,它是电子做直线运动和圆周运动的分界线,构成所求磁场区域的另一边界.\n磁聚焦概括：平行会聚于一点一点发散成平行RRrr区域半径R与运动半径r相等迁移与逆向、对称的物理思想！\n例、如图,在xOy平面内与y轴平行的匀强电场,在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置,它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带电微粒.发射时,这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内.已知重力加速度大小为g.（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域,并从坐标原点O沿y轴负方向离开,求电场强度和磁感应强度的大小与方向.（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域,并说明理由.（3）在这束带电磁微粒初速度变为2v,那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由.xyRO/Ov带点微粒发射装置C\nxyRO/Ov带点微粒发射装置CPQr图(c)xyRO/OvCAxyRO/vQPORθ图(a)图(b)【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析（3）与x同相交的区域范围是x>0.【解析】略【关键】图示\n例、如图,在xOy平面内,有以O′(R,0)为圆心,R为半径的圆形磁场区域,磁感应强度大小为B,方向垂直xOy平面向外,在y=R上方有范围足够大的匀强电场,方向水平向右,电场强度大小为E.在坐标原点O处有一放射源,可以在xOy平面内向y轴右侧（x>0）发射出速率相同的电子,已知电子在该磁场中的偏转半径也为R,电子电量为e,质量为m.不计重力及阻力的作用.（1）求电子射入磁场时的速度大小；（2）速度方向沿x轴正方向射入磁场的电子,求它到达y轴所需要的时间；（3）求电子能够射到y轴上的范围.xyOEO′R\n例、如图所示,在xOy平面上－H<y<H的范围内有一片稀疏的电子,从x轴的负半轴的远外以相同的速率v0沿x轴正向平行地向y轴射来,试设计一个磁场区域,使得：(1)所有电子都能在磁场力作用下通过原点O；(2)这一片电子最后扩展到－2H<y<2H范围内,继续沿x轴正向平行地以相同的速率v0向远处射出.已知电子的电量为e,质量为m,不考虑电子间的相互作用.xOv0yH2H-2H-Hv0v0v0对称思想\n例、如图为一种质谱仪工作原理示意图.在以O为圆心,OH为对称轴,夹角为2α的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场.对称于OH轴的C和D分别是离子发射点和收集点.CM垂直磁场左边界于M,且OM=d.现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C射出,这些离子在CM方向上的分速度均为v0.若该离子束中比荷为q/m的离子都能会聚到D,试求：（1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；（2）离子沿与CM成θ角的直线CN进入磁场,其轨道半径和在磁场中的运动时间；（3）线段CM的长度.\n解：（1）如图所示,设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R,由R=d,qv0B=mv02/R可得B=mv0/qd,磁场方向垂直纸面向外.（2）设沿CN运动的离子速度大小为v,在磁场中的轨道半径为R′,运动时间为t由vcosθ=v0,得v=v0/cosθ.R′=mv/qB=d/cosθ.设弧长为s,t=s/v,s=2(θ+α)R′离子在磁场中做匀速圆周运动的周期T=2πm/Bq,得：t=(3)CM=MNcotθ由正弦定理得=R′=mv/qB=d/cosθ.以上3式联立求解得CM=dcotα\n例、如图,在直角坐标系xOy中,点M(0,1)处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为–q的粒子,粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间.已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向里,所有粒子都沿+x方向经过b区域,都沿－y的方向通过点N(3,0).（1）通过计算,求出符合要求的磁场范围的最小面积；（2）若其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达N点(1>k1>k2>0),求二者发射的时间差.MOabcN123x(mv0/qB)y(mv0/qB)12v0\n例、质量均为m的一簇粒子在P点以同一速度v向不同方向散开（如图）,垂直纸面的匀强磁场B将这些粒子聚焦于R点,距离PR=2a,离子的轨迹应是轴对称的.试确定磁场区域的边界.xyvPRa磁场OarbA(x,y)解答：在磁场B中,粒子受洛仑兹力作用作半径为r的圆周运动：设半径为r的圆轨道上运动的粒子,在点A(x,y)离开磁场,沿切线飞向R点.由相似三角形得到：同时,A作为轨迹圆上的点,应满足方程：v2qvB=mrmvrqB=x=y－bya－xx2+(y－b)=r2y=r2－x2x(a－x)消去(y-b),得到满足条件的A点的集合,因此,表示磁场边界的函数方程为：\n例、从z轴上的O点发射一束电量为q、质量为m的带正电粒子,它们速度方向分布在以O点为顶点、z轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内（如图所示）,速度的大小都等于v.试设计一种匀强磁场,能使这束带电粒子会聚于z轴上的另一点M,M点离开O点的距离为d.要求给出该磁场的方向、磁感应强度的大小和最小值.不计粒子间的相互作用和重力的作用.n=1,2,3,…zOM磁透镜
