考纲导读推理与证明（一）合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2．了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.高考导航1．推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。2．推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。第1课时合情推理与演绎推理基础过关1.推理一般包括合情推理和演绎推理；2.合情推理包括和；归纳推理：从个别事实中推演出，这样的推理通常称为归纳推理；归纳推理的思维过程是：、、.类比推理：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也或，这样的推理称为类比推理，类比推理的思维过程是：、、.3.演绎推理：演绎推理是，按照严格的逻辑法则得到的推理过程；三段论常用格式为：①M是P，②，③S是P；其中①是，它提供了一个个一般性原理；②是，它指出了一个个特殊对象；③是，它根据一般原理，对特殊情况作出的判断.4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常用的思维方法；在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程．典型例题例1.已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=（*）并给出（*）式的证明.13/13\n解：一般形式:证明：左边=====（将一般形式写成等均正确。）变式训练1：设，，n∈N，则解：，由归纳推理可知其周期是4例2.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是.解：。变式训练2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，13/13\n则此三棱锥的外接球的半径是。例3.请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案：推广的结论：若都是正数，证明：∵都是正数∴，………，，变式训练3：观察式子：，…，则可归纳出式子为（）A、B、C、D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。例4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4：“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分基础过关第2课时直接证明与间接证明⑴1.直接证明：直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明；直接证明的两种基本方法——分析法和综合法⑴综合法——；⑵分析法——；ÞÞÞ2.间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法；反证法即从13/13\n开始，经过正确的推理，说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（归谬法）.典型例题例1．若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而=∴均大于或等于0，，∴，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。变式训练1：用反证法证明命题“可以被5整除，那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是答案：a,b中没有一个能被5整除。解析：“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：。答案：证明：要证，即需证。即证。又需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理，有，即。∴成立，命题得证。变式训练2：用分析法证明：若a>0，则。答案：证明：要证，只需证。∵a>0，∴两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，13/13\n即证，它显然成立。∴原不等式成立。例3．已知数列，，，．记．．求证：当时，（1）；（2）；（3）。解：（1）证明：用数学归纳法证明．①当时，因为是方程的正根，所以．②假设当时，，因为，所以．即当时，也成立．根据①和②，可知对任何都成立．（2）证明：由，（），得．因为，所以．由及得，所以．（3）证明：由，得13/13\n所以，于是，故当时，，又因为，所以．13/13\n推理与证明章节测试题1.考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是.2．已知数列满足，（），则的值为，的值为．3.已知，猜想的表达式为（）A.；B.；C.；D..4.某纺织厂的一个车间有技术工人名（），编号分别为1、2、3、……、，有台（）织布机，编号分别为1、2、3、……、，定义记号：若第名工人操作了第号织布机，规定，否则，则等式的实际意义是（）A、第4名工人操作了3台织布机；B、第4名工人操作了台织布机；C、第3名工人操作了4台织布机；D、第3名工人操作了台织布机.5.已知，计算得，，，，，由此推测：当时，有……6.观察下图中各正方形图案，每条边上有个圆圈，每个图案中圆圈的总数是，按此规律推出：当时，与的关系式7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论：.8.函数由下表定义：若，，，则．9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,13/13\n第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为_颗.(结果用表示)图1图2图3图410.将正奇数按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第1行1357第2行1513119第3行17192123…………2725那么2022应该在第行，第列。11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，，一直数到2022时，对应的指头是(填指头的名称).12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有个小正方形.14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n的代数式表示）15.如图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则.13/13\n类比以上性质,体积为的三棱锥的第个面的面积记为,此三棱锥内任一点到第个面的距离记为,若,则(B)A.B.C.D.16.设O是内一点，三边上的高分别为，O到三边的距离依次为，则_________，类比到空间，O是四面体ABCD内一点，四顶点到对面的距离分别为，O到这四个面的距离依次为，则有___17．在中，两直角边分别为、，设为斜边上的高，则，由此类比：三棱锥中的三条侧棱、、两两垂直，且长度分别为、、，设棱锥底面上的高为，则．18、若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则=时，数列也是等比数列。19．已知△ABC三边a，b，c的长都是整数，且，如果b＝m（mN*），则这样的三角形共有个（用m表示）．20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n行(n≥2)中第2个数是________（用n表示）.21．在△ABC中，，判断△ABC的形状并证明.13/13\n22．已知a、b、c是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.应假设23.中，已知，且，求证：为等边三角形。24．如图，、、…、是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.13/13\n推理与证明章节测试题答案1.2．3.B.4.A5.6.7.8.49.10.251,311．食指12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为__7____．13．14．15、B提示:平面面积法类比到空间体积法16．1.提示：平面面积法类比到空间体积法17．．18、提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数类比到几何平均数19．20．21．解:所以三角形ABC是直角三角形13/13\n22．三个方程中都没有两个相异实根证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立.凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法.23.解:分析：由由所以为等边三角形24.如图，、、…、是曲线：上的个点，点（）在轴的正半轴上，且是正三角形（是坐标原点）．（1）写出、、；（2）求出点（）的横坐标关于的表达式并证明.解:（Ⅰ）……………….6分（2）依题意，得，由此及得，即．由（Ⅰ）可猜想：．下面用数学归纳法予以证明：（1）当时，命题显然成立；（2）假定当时命题成立，即有，则当时，由归纳假设及13/13\n得，即，解之得（不合题意，舍去），即当时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分13/13
