高考数学冲刺复习资料（共分五大专题）专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型，在高考中，主要出现在解答题的第一个试题位置上，其难度中等偏下，分值一般为12分，交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇，在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题(5分)，考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题(5分)考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题(12分)考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题(4分)考查正余弦定理与向量数量积等.根据2022年考纲预计在高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线(平行)与垂直的充要条件条件．主要考查题型：(1)考查纯三角函数函数知识，即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式，再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；(2)考查三角函数与向量的交汇，一般是先利用向量知识建立三角函数关系式，再利用三角函数知识求解；(3)考查三角函数知识与解三角形的交汇，也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.【考试要求】1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．【考点透视】向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”，即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数，函数值体现为实数，因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(wx+j)的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)59/59\n，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.【典例分析】题型一 三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.【例1】 把函数y＝sin2x的图象按向量＝(－，－3)平移后，得到函数y＝Asin(ωx＋j)(A＞0，ω＞0，|j|＝)的图象，则j和B的值依次为（）A．，－3B．，3C．，－3D．－，3【分析】 根据向量的坐标确定平行公式为，再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程，由此确定平移后的函数解析式，经对照即可作出选择.【解析1】 由平移向量知向量平移公式，即，代入y＝sin2x得y¢＋3＝sin2(x¢＋)，即到y＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故选C.【解析2】 由向量＝(－，－3)，知图象平移的两个过程，即将原函数的图象整体向左平移个单位，再向下平移3个单位，由此可得函数的图象为y＝sin2(x＋)－3，即y＝sin(2x＋)－3，由此知j＝，B＝－3，故选C.【点评】 此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起，主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力，同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键，也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二 三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查.【例2】 已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.【分析】 首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式，由于可求得A角的正弦值，再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系，结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式，再根据B的范围求最值.【解】 （Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝59/59\n，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.【点评】 本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：（1）利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；（2）根据条件确定B角的范围.一般地，由于在三角函数中角是自变量，因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三 三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例3】 已知向量＝(3sinα,cosα)，＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(，2π)，且⊥．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(＋)的值．【分析】 第(Ⅰ)小题从向量垂直条件入手，建立关于α的三角方程，再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第(Ⅱ)小题根据所求得的tanα的结果，利用二倍角公式求得tan的值，再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．【解】 （Ⅰ）∵⊥，∴·＝0．而＝（3sinα，cosα），＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故·＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．∵α∈（，2π），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．（Ⅱ）∵α∈（，2π），∴∈（，π）．由tanα＝－，求得tan＝－，tan＝2（舍去）．∴sin＝，cos＝－，∴cos(＋)＝coscos－sinsin＝－×－×＝－【点评】59/59\n 本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定，再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第（Ⅰ）小题的解答中用到“弦化切”的思想方法，这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四 三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质||2＝2，如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例3】 已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.【分析】 利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第(Ⅰ)小题；而第(Ⅱ)小题则可变角α＝(α－β)＋β，然后就须求sin(α－β)与cosβ即可.【解】 (Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2·＋2＝，将向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝－.(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：(1)化|－|为向量运算|－|2＝(－)2；(2)注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五 三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；(2)利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.20220318【例5】 设函数f(x)＝·.其中向量＝(m，cosx)，＝(1＋sinx，1)，x∈R，且f()＝2.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”，从而，建立函数f(x)关系式，第（Ⅰ）小题直接利用条件f()＝2可以求得，而第(Ⅱ)小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：（Ⅰ）f(x)＝·＝m(1＋sinx)＋cosx，59/59\n由f()＝2，得m(1＋sin)＋cos＝2，解得m＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f(x)＝sinx＋cosx＋1＝sin(x＋)＋1，当sin(x＋)＝－1时，f(x)的最小值为1－.点评：平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，其解法都差不多，首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例6】 已知角A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，a＝2，且·＝．（Ⅰ）若△ABC的面积S＝，求b＋c的值．（Ⅱ）求b＋c的取值范围．【分析】 第(Ⅰ)小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程，再利用二倍角公式求得A角，然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c的值；第(Ⅱ)小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式，进而求得b＋c的范围.【解】 （Ⅰ）∵＝(－cos，sin)，＝(cos，sin)，且·＝，∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，又A∈(0，π)，∴A＝.又由S△ABC＝bcsinA＝，所以bc＝4，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4.（Ⅱ）由正弦定理得：＝＝＝＝4，又B＋C＝p－A＝，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(－B)＝4sin(B＋)，∵0＜B＜，则＜B＋＜，则＜sin(B＋)≤1，即b＋c的取值范围是(2，4].[点评] 本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第(Ⅰ)小题中求b＋c没有利用分别求出b、c的值为解，而是利用整体的思想，使问题得到简捷的解答；(2)第(Ⅱ)小题的求解中特别要注意确定角B的范围.【专题训练】59/59\n一、选择题1．已知＝(cos40°，sin40°)，＝(cos20°，sin20°)，则·＝（）A．1B．C．D．2．将函数y＝2sin2x－的图象按向量(，)平移后得到图象对应的解析式是（）A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2x3．已知△ABC中，＝，＝，若·＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设＝(,sina)，＝(cosa,)，且∥，则锐角a为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．已知＝(sinθ，)，＝(1，)，其中θ∈(π，)，则一定有（）A．∥B．⊥C．与夹角为45°D．||＝||6．已知向量＝(6，－4)，＝(0，2),＝＋l，若C点在函数y＝sinx的图象上,实数l＝（）A．B．C．－D．－7．由向量把函数y＝sin(x＋)的图象按向量＝(m，0)(m＞0)平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．8．设0≤θ≤2π时，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是（）A．B．C．3D．29．若向量＝(cosa,sina)，＝(cosb,sinb)，则与一定满足（）A．与的夹角等于a－bB．⊥C．∥D．(＋)⊥(－)10．已知向量＝(cos25°,sin25°)，＝(sin20°,cos20°)，若t是实数，且＝＋t，则||的最小值为（）A．B．1C．D．11．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝＋l(＋)，l∈(0,＋∞)，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心2022031812．对于非零向量我们可以用它与直角坐标轴的夹角a,b(0≤a≤p,0≤b≤p)来表示它的方向，称a,b为非零向量的方向角，称cosa,cosb为向量的方向余弦，则cos2a＋cos2b＝（）A．1B．C．D．0二、填空题59/59\n13．已知向量＝(sinq，2cosq)，＝(,－).若∥，则sin2q的值为____________．14．已知在△OAB(O为原点)中，＝(2cosa，2sina)，＝(5cosb，5sinb)，若·＝－5，则S△AOB的值为_____________.15．将函数f(x)＝tan(2x＋)＋1按向量a平移得到奇函数g(x)，要使|a|最小，则a＝____________.16．已知向量＝(1，1)向量与向量夹角为，且·＝－1.则向量＝__________．三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若·＝·＝k(k∈R).（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若c＝，求k的值．18．已知向量＝(sinA,cosA)，＝(,－1)，·＝1，且为锐角.(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．19．在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量＝(1，2sinA)，＝(sinA，1＋cosA)，满足∥，b＋c＝a.(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ)求sin(B＋)的值．20．已知A、B、C的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C（3cosα，3sinα）.（Ⅰ）若α∈(－π，0)，且||＝||，求角α的大小；59/59\n（Ⅱ）若⊥，求的值．21．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，＝(2b－c，a)，＝(cosA，－cosC)，且⊥．(Ⅰ)求角A的大小；(Ⅱ)当y＝2sin2B＋sin(2B＋)取最大值时，求角的大小.22．已知＝(cosx＋sinx，sinx)，＝(cosx－sinx，2cosx)，（Ⅰ）求证：向量与向量不可能平行；（Ⅱ）若f(x)＝·，且x∈[－,]时，求函数f(x)的最大值及最小值．【专题训练】参考答案一、选择题59/59\n1．B 解析：由数量积的坐标表示知·＝cos40°sin20°＋sin40°cos20°＝sin60°＝.2．D【解析】y＝2sin2x－→y＝2sin2（x＋）－＋，即y＝－2sin2x.3．A【解析】因为cos∠BAC＝＝＜0，∴∠BAC为钝角.4．B【解析】由平行的充要条件得×－sinacosa＝0，sin2a＝1，2a＝90°，a＝45°.5．B【解析】·＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，)，∴|sinθ|＝－sinθ，∴·＝0，∴⊥．6．A【解析】＝＋l＝(6，－4＋2l)，代入y＝sinx得，－4＋2l＝sin＝1，解得l＝.7．B【解析】考虑把函数y＝sin(x＋)的图象变换为y＝cosx的图象，而y＝sin(x＋)＝cos(x＋)，即把y＝cos(x＋)的图象变换为y＝cosx的图象，只须向右平行个单位，所以m＝，故选B.8．C【解析】||＝＝≤3.9．D【解析】＋＝(cosa＋cosb,sina＋sinb)，－＝(cosa＋cosb,sina－sinb)，∴(＋)·(－)＝cos2a－cos2b＋sin2a－sin2b＝0，∴(＋)⊥(－)．10．C【解析】||2＝||2＋t2||2＋2t·＝1＋t2＋2t(sin20°cos25°＋cos20°sin25°)＝t2＋t＋1＝(t＋)2＋，||＝，∴||min＝.11．C【解析】设BC的中点为D，则＋＝2，又由＝＋l(＋)，＝2l，所以与共线，即有直线AP与直线AD重合，即直线AP一定通过△ABC的重心．12．A【解析】设＝(x,y)，x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为＝(1,0)，＝(0,1)，由向量知识得cosa＝＝，cosb＝＝，则cos2a＋cos2b＝1.二、填空题13．－【解析】由∥，得－sinq＝2cosq,∴tanq＝－4，∴sin2q＝＝＝－．14．【解析】·＝－5Þ10cosacobs＋10sinasinb＝－5Þ10cos(a－b)＝－5Þcos(a－b)＝－，∴sin∠AOB＝，又||＝2，||＝5，∴S△AOB＝×2×5×＝．15．（，－1）【解析】要经过平移得到奇函数g(x)，应将函数f(x)＝tan(2x＋)＋159/59\n的图象向下平移1个单位，再向右平移－＋(k∈Z)个单位．即应按照向量＝(－＋，－1)(k∈Z)进行平移．要使|a|最小，16．(－1，0)或(0，－1)【解析】设＝(x，y)，由·＝－1，有x＋y＝－1①，由与夹角为，有·＝||·||cos，∴||＝1，则x2＋y2＝1②，由①②解得或∴即＝(－1，0)或＝(0，－1)．三、解答题17．【解】（Ⅰ）∵·＝bccosA，·＝cacosB，又·＝·，∴bccosA＝cacosB，∴由正弦定理，得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－sinBcosA＝0，∴sin(A－B)＝0∵－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴·＝bccosA＝bc·＝，∵c＝，∴k＝1.18．【解】(Ⅰ)由题意得·＝sinA－cosA＝1，2sin(A－)＝1，sin(A－)＝，由A为锐角得A－＝，A＝.(Ⅱ)由（Ⅰ）知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－)2＋，因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值．当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是[－3，]．19．【解】(Ⅰ)由∥，得2sin2A－1－cosA＝0，即2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝或cosA＝－1.∵A是△ABC内角，cosA＝－1舍去，∴A＝.(Ⅱ)∵b＋c＝a，由正弦定理，sinB＋sinC＝sinA＝，∵B＋C＝，sinB＋sin(－B)＝，∴cosB＋sinB＝，即sin(B＋)＝．20．【解】（Ⅰ）由已知得：＝，则sinα＝cosα，因为α∈(－π，0)，∴α＝－.（Ⅱ）由(3cosα－4)·3cosα＋3sinα·(3sinα－4)＝0，得sinα＋cosα＝，平方，得sin2α＝－.而＝＝2sinαcosα＝sin2α＝－．59/59\n21．【解】(Ⅰ)由⊥，得·＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝，故A＝.(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋)＝(1－cos2B)＋sin2Bcos＋cos2Bsin＝1＋sin2B－cos2B＝1＋sin(2B－).由(Ⅰ)得，0＜B＜，－＜2B－＜，∴当2B－＝，即B＝时，y取最大值2.22．【解】（Ⅰ）假设∥，则2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·＋sin2x＋＝0，即sin2x＋cos2x＝－3，∴(sin2x＋)＝－3，与|(sin2x＋)|≤矛盾，故向量与向量不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝·＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝(cos2x＋sin2x)＝(sin2x＋)，∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)有最小值－1．59/59\n专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，如08年福建文11题理12题(5分)为容易题，考查函数与导函数图象之间的关系、08年江苏14题(5分)为容易题，考查函数值恒成立与导数研究单调性、08年北京文17题(12分)为中档题考查函数单调性、奇偶性与导数的交汇、08年湖北理20题(12分)为中档题，考查利用导数解决函数应用题、08年辽宁理22题(12分)为中档题，考查函数利用导数确定函数极值与单调性问题等.预测2022年关于函数与导数的命题趋势，仍然是难易结合，既有基本题也有综合题，函数与导数的交汇的考查既有基本题也有综合题，基本题以考查基本概念与运算为主，考查函数的基础知识及函数性质及图象为主，同时考查导数的相关知识，知识载体主要是三次函数、指数函数与对数函数综合题.主要题型：(1)利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【考试要求】59/59\n1．了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．2．了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．3．掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图象和性质．4．掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．5．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．6．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．7．熟记基本导数公式（c，xm（m为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．8．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【考点透视】高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：①以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；②与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；③利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.【典例分析】题型一 导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x)与其导函数f¢(x)的图象有密切的关系：1．导函数f¢(x)在x轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：（1）若导函数f¢(x)在区间D上恒有f¢(x)＞0，则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步得到导函数f¢(x)图象在x轴上方的图象对应的区间D为原函数图象中的上升区间D；（2）若导函数f¢(x)在区间D上恒有f¢(x)＜0，则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步得到导函数f¢(x)图象在x轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2．导函数f¢(x)图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f¢(x)图象的零点是原函数的极值点.如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例1】 如果函数y＝f(x)的图象如右图，那么导函数y＝f¢(x)的图象可能是（）【分析】 根据原函数y＝f(x)的图象可知，f(x)有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分在x轴上方，然后相间出现.59/59\n【解】 由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,只有答案A满足.【点评】 本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x)的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f¢(x)的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例2】 设f¢(x)是函数f(x)的导函数，y＝f¢(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是（）【分析】 先观察所给出的导函数y＝f¢(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y＝f¢(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】 由y＝f¢(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，y＝f¢(x)＜0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】 在导函数f¢(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x＝0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x＝0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】 (1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.题型二 利用导数求解函数的单调性问题20220318若f(x)在某区间上可导，则由f¢(x)＞0(f¢(x)＜0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)＝x3在R上递增，而f¢(x)≥0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f¢(x0)≥0(≤0)，且f¢(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例3】 (08全国高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设函数f(x)在区间(－，－)内是减函数，求a的取值范围．【分析】 第（Ⅰ）小题先求导函数f¢(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（Ⅱ）小题根据第（Ⅰ）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】 (Ⅰ)由f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，求导得f¢(x)＝3x2＋2ax＋1，当a2≤3时，△＝4(a2－3)≤0，f¢(x)≥0，f(x)在R上递增，当a2＞3，f¢(x)＝求得两根为x＝，则函数f(x)在区间(－∞，)上递增，在区间(，)上递减，59/59\n在区间(，＋∞)上递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，且a2＞3，解得a≥2.【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第(Ⅰ)小题时注意分类讨论.第(Ⅱ)小题的解答是根据第(Ⅰ)小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第(Ⅱ)小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式来求解.题型三 求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例4】 (08·四川)设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点.(Ⅰ)求a和b的值；(Ⅱ)略.【分析】 先求导函数f¢(x)，然后由x＝1和x＝2是f¢(x)＝0的两个根建立关于a、b的方程组求解.【解】 因为f¢(x)＝5x4＋3ax2＋b，由x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点，所以f¢(1)＝0，且f¢(2)＝0，即，解得a＝，b＝20.【点评】 解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点.本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了a和b的值.【例5】 (08陕西高考)已知函数f(x)＝(c＞0，且c≠1，k∈R）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x＝－c．(Ⅰ)求函数f(x)的另一个极值点；(Ⅱ)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M－m≥1时k的取值范围．【分析】 先求导函数f¢(x)，然后令f¢(－c)＝0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（Ⅰ）小题；而解答第（Ⅱ）小题须对k与c进行分类讨论进行解答.【解】 (Ⅰ)f¢(x)＝＝，由题意知f¢(－c)＝0，即得c2k－2c－ck＝0，即c＝1＋（*）∵c≠0，∴k≠0．由f¢(0)＝0，得－kx2－2x＋ck＝0，由韦达定理知另一个极值点为x＝1．(Ⅱ)由（*）式得c＝1＋，当c＞1时，k＞0；当0＜c＜1时，k＜－2．(ⅰ)当k＞0时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是减函数，在(－c，1)内是增函数．f(1)＝＝＞0，m＝f(－c)＝＝＜0，由M－m＝＋≥1及k＞0，解得k≥.(ⅱ)当k＜－2时，f(x)在(－∞，－c)和(1，＋∞)内是增函数，在(－c，1)内是减函数．59/59\n∴M＝f(1)＝＞0，m＝＝＜0，而M－m＝－＝1－≥1恒成立．综上可知，所求的取值范围为(－∞，－2)∪[，＋∞)．【点拨】 第(Ⅰ)小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第(Ⅱ)小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四 求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间[a，b]上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解.利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2)根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例6】 (08浙江高考)已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a).(Ⅰ)略；（Ⅱ）求f(x)在区间[0，2]上的最大值.【分析】 首先求函数f¢(x)，再解方程f¢(x)＝0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】 (Ⅱ)f¢(x)＝3x2－2ax．令f¢(x)＝0，解得x1＝0，x2＝．当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a．当≥2，时，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0．当0＜＜2，即0＜a＜3，f(x)在[0，]上单调递减，在[，2]上单调递增，从而f(x)max＝，综上所述，f(x)max＝.【点评】 本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f¢(x)＝0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.题型五 导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点.【例7】 (08·湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)＝，(Ⅰ)该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第1月份（i＝1，2，…，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量（取e＝2.7计算）.20220318【分析】 根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（Ⅰ）小题；而第（Ⅱ）小题则须先求函数V¢(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.【解】 (Ⅰ)①当0＜t≤10时，V(t)＝(－t2＋14t－40)e＋50＜50，化简得t2－14t＋40＞0，解得t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4.59/59\n②当10＜t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50＜50，化简得(t－10)(3t－41)＜0，解得10＜t＜，又10＜t≤12,故10＜t≤12.综合得0＜t＜4,或10＜t≤12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V¢(t)＝e(－t＋t＋4)＝－e(t＋2)(t－8)令V¢(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去).当t变化时，V¢(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4，8)8(8，10)V¢(t)＋0－V(t)↗极大值↘由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【点评】 本题第(Ⅰ)主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第(Ⅱ)主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第(Ⅰ)确定函数定义域.【例8】 （2022年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y=x2－x+8(0＜x≤120).已知甲、乙两地相距100千米.（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析】 第（Ⅰ）小题直接根据所给函数的解析式进行计算；第（Ⅱ）小题须根据条件建立耗油量为h(x)关于行驶速度x的函数关系式，再利用导数的知识进行解答.【解】 （I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了=2.5小时，要耗没(×403－×40+8)×2.5=17.5（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=(x3－x+8)·=x2+－(0＜x≤120)，h¢(x)=－=(0＜x≤120)，令h¢(x)=0得x=80，当x∈(0,80)时，h¢(x)＜0,h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h¢(x)＞0,h(x)是增函数,∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升.【点评】 59/59\n解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2＝（）A．9B．－9C．1D．－12．函数f(x)＝x3＋ax＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，则f(1)为（）A．B．1C．D．－13．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为（）A．0≤a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜1D．0＜a＜4．已知函数f(x)＝x2(ax＋b)(a，b∈R)在x＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x＋y＝0平行，则函数f(x)的单调减区间为（）A．(－∞，0)B．(0，2)C．(2，＋∞)D．(－∞，＋∞)5．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图像如图所示.记y＝f(x)的导函数为y＝f¢(x)，则不等式f¢(x)≤0的解集为（）A．[－，1]∪[2，3)B．[－1，]∪[，]C．[－，]∪[1，2)D．(－，－]∪[，]∪[，3)6．设函数f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的导数f¢(x)的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝7．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f¢(x)在(a，b)内的图象如下图所示.则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）59/59\nA．1个B．2个C．3个D．4个8．函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是（）A．[0，]B．(－∞，0)∪[，＋∞)C．[，1]D．[，]8．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（）A．(，)B．(π，2π)C．(，)D．(2π，3π)9．下列图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f¢(x)的图象，则f(－1)等于（）A．B．－C．D．－或11．已知对任意实数，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0时，f¢(x)＞0，g¢(x)＞0，则x＜0时（）A．f¢(x)＞0，g¢(x)＞0B．f¢(x)＞0，g¢(x)＜0C．f¢(x)＜0，g¢(x)＞0D．f¢(x)＜0，g¢(x)＜012．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf¢(x)＞－f(x)恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．af(b)＞bf(a)B．af(a)＞bf(b)C．af(a)＜bf(b)D．af(b)＜bf(a)二、填空题13．右图是一个三次多项式函数f(x)的导函数f¢(x)的图象，则当x＝______时，函数取得最小值.14．已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋1，且x1，x2是f(x)的两个极值点，0＜x1＜1＜x2＜3，则a的取值范围_________.15．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1，2]上是减函数，那么b＋c最大值为___________.16．曲线y＝2x4上的点到直线y＝－x－1的距离的最小值为____________.三、解答题17．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.59/59\n(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)讨论f(x)的极值.18．已知定义在R上的函数f(x)＝x2(ax－3)，其中a为常数.(Ⅰ)若x＝1是函数f(x)的一个极值点，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围.19．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y+7=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.20．设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．59/59\n21．已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m.（Ⅰ）求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；（Ⅱ）是否存在实数m，使得y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。22．已知函数f(x)＝logax＋2x和g(x)＝2loga(2x＋t－2)＋2x(a＞0，a≠1，t∈R)的图象在x＝2处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值；(Ⅱ)设F(x)＝g(x)－f(x)，当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，求a的取值范围.【专题训练】参考答案一、选择题1．D【解析】f¢(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.2．C【解析】∵f¢(x)＝x2＋a，又f¢(－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.3．B【解析】f¢(x)＝3x2－3a，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a＞0，且f¢(x)＝0的解为x1＝，x2＝－，则∈(0，1)，∴0＜a＜1.4．B【解析】∵f(x)＝ax3＋bx2，f′(x)＝3ax2＋2bx，∴，即，令f¢(x)＝3x2－6x＜0，则0＜x＜2，即选B.5．A【解析】由条件f¢(x)≤0知，选择f(x)图象的下降区间即为解.59/59\n6．A【解析】f¢(x)＝ωcos(ωx＋)，则ω＝3，则由3x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)，由此可知x＝为f(x)的图象的一条对称轴.7．A【解析】f¢(x)的图象与x轴有A、B、O、C四个交点.其中在A、C处f¢(x)的值都是由正变负，相应的函数值则由增变减，故f(x)点A、C处应取得极大值；在B处f¢(x)的值由负变正，相应的函数值则由减变增，故f(x)在点B处应取得极小值.点O处f¢(x)的值没有正负交替的变化，故不是极值点，这就是说，点B是唯一的极值点.8．C【解析】因为u＝logax(0＜a＜1)在（0，＋∞）上是减函数，根据函数的单调性的复合规律得0≤logax≤，即≤a≤1，故选C.8．B【解析】y¢＝(cosx－xsinx)＝－xsinx，令－xsinx＞0，则xsinx＜0，各选项中x均为正，只须sinx＜0，故x∈(π，2π).9．B【解析】∵f¢(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，又a≠0，∴f′(x)的图象为第三个，知f¢(0)＝0，故a＝－1，f(－1)＝－＋a＋1＝－.11．B【解析】依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当x＜0时，f¢(x)＞0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即当x＜0时，g¢(x)＜0.12．B【解析】令F(x)＝xf(x)，则F¢(x)＝xf¢(x)＋f(x)，由xf¢(x)＞－f(x)，得xf¢(x)＋f(x)＞0，即则F¢(x)＞0，所以f(x)在R上为递增函数.因为a＞b，所以af(a)＞bf(b).二、填空题13．4【解析】根据导函数对应方程f¢(x)＝0的根与极值的关系及极值的定义易得结果.14．3＜a＜【解析】f¢(x)＝x2＋ax＋2，由题知：，解得3＜a＜.15．－【解析】f¢(x)＝3x2＋2bx＋c∵f(x)在[－1，2]上减，∴f¢(x)在[－1，2]上非正.由，即，∴15＋2(b＋c)≤0，∴b＋c≤－.16．【解析】设直线L平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y＝－x－1的距离，y¢＝8x3＝－1，∴x0＝－，x0＝，∴d＝＝.三、解答题17．【解】 由已知得f¢(x)＝6x[x－(a－1)]，令f¢(x)＝0，解得x1＝0,x2＝a－1，.（Ⅰ）当a＝1时，f¢(x)＝6x2，f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增当a＞1时，f¢(x)＝6x[x－(a－1)]，f¢(x),f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞,0)0(0,a－1)a－1(a－1,＋∞)f¢(x)＋00f(x)↗极大值↘极小值↗59/59\n从上表可知，函数f(x)在(－∞,0)上单调递增；在(0,a－1)上单调递减；在(a－1,＋∞)上单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＝1时，函数f(x)没有极值.；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值，在x＝a－1处取得极小值1－(a－1)3.18．【解】 (Ⅰ)f(x)＝ax3－3x，f¢(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f¢(1)＝0，∴a＝2；(Ⅱ)①当a＝0时，f(x)＝－3x2在区间（－1，0）上是增函数，∴a＝0符合题意；②当a≠0时，f¢(x)＝3ax(x－)，由f¢(x)＝0，得x＝0，x＝当a＞0时，对任意x∈(－1，0)，f¢(x)＞0，∴a＞0符合题意；当a＜0时，当x∈(，0)时，由f¢(x)＞0，得≤－1，∴－2≤a＜0符合题意；综上所述，a≥－2.19．【解】（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d＝2，则f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f¢(x)＝3x2＋2bx+c，由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f¢(-1)=6，∴，即，解得b=c=-3，故所求的解析式是f(x)＝x3-3x2-3x+2.（Ⅱ）f¢(x)＝3x2-6x-3，令3x2-6x-3=0，即x2-2x-1=0，解得x1=1-，x2=1+，当x＜1-或x＞1+时，f¢(x)＞0；当1-＜x＜1+时，f¢(x)＜0，故f(x)＝x3-3x2-3x+2在(-∞，1-)内是增函数，在(1-，1+)内是减函数，在(1+，+∞)内是增函数.20．【解】令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，(1)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax．(2)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．21．【解】（I）∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，∴可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)，∴f(x)在区间[－1，4]上的最大值是f(－1)＝6a，由已知，得6a＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R).（II）方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0，设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h¢(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)，当x∈(0，)时，h¢(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(，＋∞)时，h¢(x)＞0，h(x)是增函数，∵h(3)＝1＞0，h()＝－＜0，h(4)＝5＞0，59/59\n∴方程h(x)＝0在区间(3，)、(，4)内分别有惟一实数根，而在(0，3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在惟一的自然数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根.22．解析：(Ⅰ)f¢(x)＝logae＋2，g¢(x)＝logae＋2，∵函数f(x)和g(x)的图象在x＝2处的切线互相平行，f¢(2)＝g¢(2)，∴logae＝logae，t＝6.(Ⅱ)∵t＝6，∴F(x)＝g(x)－f(x)＝2loga(2x＋4)－logax＝loga，x∈[1，4]，令h(x)＝＝4x＋，x∈[1，4]，∴h¢(x)＝4－＝，x∈[1，4]，∴当1≤x＜2时，h¢(x)＜0，当2＜x≤4时，h¢(x)＞0，∴h(x)在[1，2)是单调减函数，在(2，4]是单调增函数，∴h¢(x)min＝h(2)＝32，h¢(x)max＝h(1)＝h(4)＝36，∴当0＜a＜1时，有F(x)min＝loga36，当a＞1时，有F(x)max＝loga32.∵当x∈[1，4]时，F(x)≥2恒成立，∴F(x)min≥2，∴满足条件的a的值满足下列不等式组①，或②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1＜a≤4，综上所述，满足条件的的取值范围是：1＜a≤4.w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com59/59\n专题三：数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如08年北京文20题(12分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题(12分)为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2022年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.【考试要求】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。4．理解不等式的性质及其证明．5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．【考点透视】1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.【典例分析】59/59\n题型一 求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立Ûf(x)min≥M；f(x)≤M恒成立Ûf(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例1】 等比数列{an}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋an＞＋＋…＋恒成立的正整数n的取值范围.【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a1与公比q之间的关系，再利用等比数列前n项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n的取值范围.【解】 由题意得：(a1q16)2＝a1q23，∴a1q9＝1.由等比数列的性质知：数列{}是以为首项，以为公比的等比数列，要使不等式成立，则须＞，把a＝q-18代入上式并整理，得q-18(qn－1)＞q(1－)，qn＞q19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数的取值范围是n≥20.【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{an}的前项和为Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范围．【分析】 第（Ⅰ）小题利用Sn与an的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件an+1≥an转化为关于n与a的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min求解．【解】 (Ⅰ)依题意，Sn+1－Sn＝an+1＝Sn＋3n，即Sn+1＝2Sn＋3n，由此得Sn+1－3n+1＝2(Sn－3n)．因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n-1，n∈N*,①(Ⅱ)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n-1，n∈N*，于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝3n＋(a－3)2n-1－3n-1－(a－3)2n-2＝2×3n-1＋(a－3)2n-2，an+1－an＝4×3n-1＋(a－3)2n-2＝2n-2·[12·()n-2＋a－3]，当n≥2时，an+1≥an，即2n-2·[12·()n-2＋a－3]≥0，12·()n-2＋a－3≥0，∴a≥－9，综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞]．【点评】 一般地，如果求条件与前n项和相关的数列的通项公式，则可考虑Sn与an的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二 数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设p、q都是正整数，且p≠q，证明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】 （Ⅰ）设等差数列{an}的公差是d，依题意得，，解得，59/59\n∴数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.（Ⅱ）证明：∵an＝2n＋1，∴Sn＝＝n2＋2n．2Sp+q－(S2p＋S2q)＝2[(p＋q)2＋2(p＋q)]－(4p2＋4p)－(4q2＋4q)＝－2(p－q)2，∵p≠q，∴2Sp+q－(S2p＋S2q)＜0，∴Sp+q＜(S2p＋S2q)．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】 (08·安徽高考)设数列{an}满足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c为实数.(Ⅰ)证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c＜，证明：an≥1－(3c)n-1，n∈N*；（Ⅲ）设0＜c＜，证明：a12＋a22＋…＋an2＞n＋1－，n∈N*.20220318【分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n项和求和，再进行适当放缩.【解】（Ⅰ）必要性：∵a1＝0，a2＝1－c，又∵a2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0，1].(1)当n＝1时，a1∈[0，1].(2)假设当n＝k时，ak∈[0，1](k≥1)成立，则ak＋1＝cak3＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝cak3＋1－c≥1－c≥0，∴ak＋1∈[0，1]，这就是说n＝k＋1时，an∈[0，1].由（1）、（2）知，当c∈[0，1]时，知an∈[0，1]对所胡n∈N*成立.综上所述，an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1].（Ⅱ）设0＜c＜，当n＝1时，a1＝0，结论成立.当n≥2时，由an＝can-13＋1－c，∴1－an＝c(1－an-1)(1＋an-1＋an-12)∵0＜c＜，由(Ⅰ)知an-1∈[0，1]，所以1＋an-1＋an-12≤3，且1－an-1≥0，∴1－an≤3c(1－an-1)，∴1－an≤3c(1－an-1)≤(3c)2(1－an-2)≤…≤(3c)n-1(1－a1)＝(3c)n-1，∴an≥1－(3c)n-1，n∈N*.(Ⅲ)设0＜c＜，当n＝1时，a12＝0＞2－，结论成立.当n≥2时，由（Ⅱ）知an≥1－(3c)n-1＞0，∴an2≥[(1－(3c)n-1)]2＝1－2(3c)n-1＋(3c)(n-1)＞1－2(3c)n-1，a12＋a22＋…＋an2＝a22＋…＋an2＞n－1－2[3c＋(3c)2＋…＋(3c)n-1]＝n－1－2[1＋3c＋(3c)2＋…＋(3c)n-1－1]＝n＋1－＞n＋1－.【点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意.本题的第(Ⅰ)小题实质也是不等式的证明，题型三 求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.59/59\n【例5】 (08·四川高考)设等差数列{an}的前项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为______.【分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a1与公差d的不等式，然后利用此不等关系确定公差d的范围，由此可确定a4的最大值.【解】 ∵等差数列{an}的前项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴，即，∴，∴≤a4≤3＋d，则5＋3d≤6＋2d，即d≤1.∴a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.【例6】 等比数列{an}的首项为a1＝2022，公比q＝－．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n取何值时，f(n)有最大值．【分析】 第(Ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{an}的通项，再求得f(n)的表达式；第(Ⅱ)小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.【解】 (Ⅰ)an＝2022·(－)n-1，f(n)＝2022n·(－)(Ⅱ)由(Ⅰ)，得＝，则当n≤10时，＝＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，当n≥11时，＝＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者．∵＝＝20223·()30＝()3＞1，∴当n＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝202212·()66．【点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.题型四 求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求证：数列{an}是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k，使＞2成立.【分析】 第(Ⅰ)小题通过代数变换确定数列an+1与an的关系，结合定义判断数列{an}为等比数列；而第(Ⅱ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】 (Ⅰ)由题意，Sn＋an＝4，Sn+1＋an+1＝4，由两式相减，得(Sn+1＋an+1)－(Sn＋an)＝0，即2an+1－an＝0，an+1＝an，59/59\n又2a1＝S1＋a1＝4，∴a1＝2，∴数列{an}是以首项a1＝2，公比为q＝的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得Sn＝＝4－22-n.又由＞2，得＞2，整理，得＜21-k＜1，即1＜2k-1＜，∵k∈N*，∴2k-1∈N*，这与2k-1∈(1，)相矛盾，故不存在这样的k，使不等式成立.【点评】 本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k∈N*”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】 (08·湖北高考)已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an+1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【分析】 第(Ⅰ)小题利用反证法证明；第(Ⅱ)小题利用等比数列的定义证明；第(Ⅲ)小题属于存在型问题，解答时就假设a＜Sn＜b成立，由此看是否能推导出存在存在实数λ.【解】 （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a22＝a1a3，即(λ－3)2＝λ(λ－4)Ûλ2－4λ＋9＝λ2－4λÛ9＝0，矛盾，所以{an}不是等比数列.(Ⅱ)解：因为bn+1＝(－1)n+1[an+1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n+1(an－2n＋14)＝－(an－3n－21)＝－bn，20220318又b1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，bn＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，由上可知bn≠0，∴＝－(n∈N*).故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ＝－18，bn＝0(n∈N*)，Sn＝0，不满足题目要求；.∴λ≠－18，故知bn＝－(λ＋18)×(－)n-1，于是Sn＝－(λ＋18)·[1－(－)n]要使a＜Sn＜b对任意正整数n成立，即a＜－－(λ＋18)·[1－(－)n]＜b，(n∈N*).得＜－(λ＋18)＜，(n∈N*)①令f(n)＝1－(－)n，则当n为正奇数时，1＜f(n)≤，当n为正偶数时≤f(n)＜1；∴f(n)的最大值为f(1)＝，f(n)的最小值为f(2)＝,于是，由①式得a＜－(λ＋18)＜b，∴－b－18＜λ＜－3a－18，(必须－b＜－3a，即b＞3a).当a＜b＜3a时，由－b－18≥－3a－18，不存在实数满足题目要求；当b＞3a存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b,且λ的取值范围是(－b－18，－3a－18).59/59\n【点评】 存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设——推证——定论.本题解答注意对参数λ及项数n的双重讨论.【专题训练】一、选择题1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有（）A．＜B．≤C．＞D．≥2．设{an}是由正数构成的等比数列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，则（）A．bn＞cnB．bn＜cnC．bn≥cnD．bn≤cn3．已知{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则（）A．a6＝b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b64．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足５＜ak＜８，则k＝（）A．9B．8C．7D．65．已知等比数列{an}的公比q＞0，其前n项的和为Sn，则S4a5与S5a4的大小关系是（）A．S4a5＜S5a4B．S4a5＞S5a4C．S4a5＝S5a4D．不确定6．设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f(n)＝的最大值为（）A．B．C．D．7．已知y是x的函数，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)顺次成等差数列，则（）A．y有最大值1，无最小值B．y有最小值，无最大值C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值18．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是（）Ａ．(－∞，－1]Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．[3，＋∞)Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．设b是1－a和1＋a的等比中项，则a＋3b的最大值为()A．1B．2C．3D．410．设等比数列{an}的首相为a1，公比为q，则“a1＜0，且0＜q＜1”是“对于任意n∈N*都有an+1＞an”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分比要条件D．既不充分又不必要条件59/59\n11．{an}为等差数列，若＜－1，且它的前n项和Sn有最小值，那么当Sn取得最小正值时，n＝（）A．11B．17C．19D．2112．设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是（）A．[，2)B．[，2]C．[，1)D．[，1]二、填空题13．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立．则M的最小值是__________．14．无穷等比数列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各项之和不大于a1的一半，则q的取值范围是________.15．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________.Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．416．等差数列{an}的公差d不为零，Sn是其前n项和，给出下列四个命题：①A．若d＜0，且S3＝S8，则{Sn}中，S5和S6都是{Sn}中的最大项；②给定n，对于一定k∈N*(k＜n)，都有an-k＋an+k＝2an；③若d＞0，则{Sn}中一定有最小的项；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak-1同号其中真命题的序号是____________.三、解答题17．已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通项；（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．18．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an+1)(n∈N*）在函数y＝x2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1＝1,bn+1＝bn＋2an，求证：bn·bn+2＜b2n+1.19．设数列{an}的首项a1∈(0，1)，an＝，n＝2，3，4，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝an，证明bn＜bn+1，其中n为正整数．59/59\n20．已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….证明：＜bn≤a4n-3，n＝1，2，3，…21．已知二次函数y＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f¢(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m；22．数列满足，（），是常数．（Ⅰ）当时，求及的值；（Ⅱ）数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求的取值范围，使得存在正整数，当时总有．【专题训练】参考答案一、选择题1．B【解析】a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a12＋10a1d＋21d2，a62＝(a1＋5d)2＝a12＋10a1d＋25d2，故≤.2．D【解析】设其公比为q,则bn－cn＝an(q－1)(1－q2)＝－an(q－1)2(q＋1)，当q＝1时，bn＝cn，当q＞0，且q≠1时，bn＜cn，故bn≤cn.3．B【解析】因为q≠1，b1＞0，b11＞0，所以b1≠b11，则a6＝＝＞＝b6.4．B【解析】因数列为等差数列，an＝Sn－Sn-1＝2n－10，由5＜2k－10＜8，得到k＝8.5．A【解析】S4a5－S5a4＝(a1＋a2＋a3＋a4)a4q－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)a4＝－a1a4＝－a12q3＜0，∴S4a5＜S5a4．6．D【解析】由Sn＝，得f(n)＝＝＝≤＝，当59/59\nn＝，即n＝8时取等号，即f(n)max＝f(8)＝．7．B【解析】由已知y＝－(sinx－)2＋1，且sinx＞，y＜1，所以当sinx＝1时，y有最小值，无最大值.8．D【解】∵等比数列{an}中a2＝1，∴S3＝a1＋a2＋a3＝a2(＋1＋q)＝1＋q＋.∴当公比q＞0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当公比q＜0时，S3＝1－(－q－)≤1－2＝－1，∴S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).9．B【解析】b是1－a和1＋a的等比中项，则3b2＝1－a2Ûa2＋3b2＝1，令a＝cosθ，b＝sinθ，θ∈(0，2π)，所以a＋3b＝cosθ＋inθ＝2sin(θ＋)≤2.10．A【解析】当a1＜0，且0＜q＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a1＞0，且q＞1，故选A.11．C【解析】由＜－1，得＜0Û＜0Û＜0Û＜0，则要使Sn取得最小正值必须满足S19＞0，且S20＜0，此时n＝19.12．C【解析】f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，an+1＝f(n＋1)＝f(1)f(n)＝an，∴Sn＝＝1－()n.则数列{an}的前项和的取值范围是[，1).二、填空题13．2【解析】由a4－a2＝8，可得公差d＝4，再由a3＋a5＝26，可得a1＝1，故Sn＝n＋2n(n－1)＝2n2－n，∴Tn＝，要使得Tn≤M，只需M≥2即可，故M的最小值为2，答案：214．(－1，0]∪(0，]【解析】≤Þq≤，但|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0]∪(0，].15．4【解析】∵＝≥＝4.16．D【解析】对于①：∵S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴S5＝S6，又d＜0，S5＝S6为最大，故A正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d＞0，点(n，Sn)分布在开口向上的抛物线，故{Sn}中一定有最小的项，故③正确；而ak－ak+1＝－d，ak－ak-1＝d，且d≠0，故④为假命题.三、解答题17．【解】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2．所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．18．【解】(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1，即an+1－an＝1，59/59\n又a1＝1，所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故an＝1＋(a－1)×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an＝n从而bn+1－bn＝2n.bn＝(bn－bn-1)＋(bn-1－bn-2)＋…＋（b2－b1）＋b1＝2n-1＋2n-2＋…＋2＋1＝＝2n－1.因为bn·bn+2－b＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n-1－1)2＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)＝－5·2n＋4·2n＝－2n＜0,所以bn·bn+2＜b.19．【解】（Ⅰ）由an＝，n＝2，3，4，….整理得1－an＝－(1－an-1)．又1－a1≠0，所以{1－an}是首项为1－a1，公比为－的等比数列，得an＝1－(1－a1)(－)n-1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜an＜，故bn＞0．那么，bn+12－bn2＝an+12(3－2an+1)－an2(3－2an)＝()2(3－2×)－an2(3－2an)＝(an－1)2.又由（Ⅰ）知an＞0，且an≠1，故bn+12－bn2＞0，因此bn＜bn+1，为正整数．20．【解】（Ⅰ）由题设：an+1＝(－1)(an＋2)＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋)，＝(－1)(an－)＋，∴an+1－＝(－1)(an－)．所以，数列{an－}a是首项为2－，公比为－1)的等比数列，an－＝(－1)n，即an的通项公式为an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，….（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n＝1时，因＜2，b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，结论成立．（ⅱ）假设当n＝k时，结论成立，即＜bk≤a4k-3，，也即0＜bn－≤a4k-3－，当n＝k＋1时，bk+1－＝－＝＝＞0，又＜＝3－2，所以bk+1－＝＜(3－2)2(bk－)≤(－1)4(a4k-3－)＝a4k+1－也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知＜bn≤a4n-3，n＝1，2，3，….21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f`(x)＝2ax＋b，由于f`(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.，又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图像上，所以Sn＝3n2－2n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（n∈N*）.59/59\n（Ⅱ）由（Ⅰ）得知bn＝＝＝(－)，故Tn＝bi＝[(1－)＋(–)＋…＋(－)]＝(1–），因此，要使(1－）＜（n∈N*）成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.22．【解】（Ⅰ）由于，且．所以当时，得，故．从而．（Ⅱ）数列不可能为等差数列，证明如下：由，得，，．若存在，使为等差数列，则，即，解得．于是，．这与为等差数列矛盾．所以，对任意，都不可能是等差数列．（Ⅲ）记，根据题意可知，且，即且，这时总存在，满足：当时，；当时，．所以由及可知，若为偶数，则，从而当时，；若为奇数，则，从而当时．因此“存在，当时总有”的充分必要条件是：为偶数，记，则满足．故的取值范围是．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com59/59\n专题四：解析几何综合题型分析及解题策略【命题趋向】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，如08年08年江西理7文7题(5分)是基础题，考查与向量的交汇、08年天津文7题(5分)是基础题，考查圆锥曲线间的交汇、08年08徽理22题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与向量、直线与圆锥曲线的综合、08年福建21题(12分)难度中档偏上，考查圆锥曲线与不等式的交汇、08年湖北理19题(12分)中等难度，考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、08年江苏21题(12分)中档偏下题，考查解析几何与三角函数的交汇，等等.预计在高考中解答题仍会重点考查直线与圆锥曲线的位置关系，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的"应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题"的思想.【考试要求】1．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．2．了解线性规划的意义，并会简单的应用．3．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程．4．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．5．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．59/59\n6．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．【考点透视】解析几何是高中数学的重要内容，包括直线和圆与圆锥曲线两部分，而直线和圆单独命为解答题较少，只有极个别的省市高考有出现，而圆锥曲线是解析几何的核心内容，每年在全国及各省市的高考中均出现.主要考查热点：（1）直线的方程、斜率、倾斜角、距离公式及圆的方程；（2）直线与直线、直线与圆的位置关系及对称问题等；（3）圆锥曲线的定义及标准方程；（4）与圆锥曲线有关的轨迹问题；（5）与圆锥曲线有关的最值、定值问题；（6）与平面向量、数列及导数等知识相结合的交汇试题.【典例分析】题型一 直线与圆的位置关系此类题型主要考查：（1）判断直线与圆的三种位置关系是：相离、相切、相交；（2）运用三种位置关系求参数的值或取值范围；（3）直线与圆相交时，求解弦长、弦的中点问题及轨迹问题.【例1】 若直线3x＋4y＋m＝0=0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是_____________.【分析】 利用点到直线的距离来解决.【解】 圆心为(1,－2)，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径，得d＝|3×1＋2×(－4)＋m|32＋42＞r＝1，即|m－5|＞5，m∈(－∞,0)∪(10,＋∞).【点评】 解答此类题型的思路有：①判别式法(即方程法)，②平面几何法(运用d与r的关系)，③数形结合法.由于圆的特殊性(既是中心对称图形又是轴对称)，因此解答直线与圆的位置关系时一般不利用判别式法，而利用平面几何法求解，即利用半径r、圆心到直线的距离d的求解.题型二 圆锥曲线间相互依存抛物线与椭圆、双曲线的依存关系表现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式，只要对三种圆锥曲线的概念与性质掌握得好，处理这类问题的困难不大.【例2】 (2022届大同市高三学情调研测试)设双曲线以椭圆x225＋y29＝1长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）A．±2B．±43C．±34D．±12【分析】 根据椭圆的两个端点坐标确定双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的焦点得到双曲线的准线方程，由此得到关于双曲线关于a、c的值，进而得到b的值，再进一步求得渐近线的斜率.【解】 由椭圆方程知双曲线的焦点为(5，0)，即c＝5，又同椭圆的焦点得a2c＝4，所以a＝25，则b＝c2－a2＝5，故双曲线渐近线的斜率为±ba＝±12，故选D.【点评】 本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程、几何性质及相关几何量之间的相互关系.本题主要体现为有相同的焦点、准线重合、准线过焦点等形式的圆锥曲线间交汇，解答时主要根据这两种曲线的相同点建立关于基本量a、b、c、p之间的方程，再通过解方程求出相关基本量值，进而求取相关的问题.题型三 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要考查三种题型：一是判断已知直线与已知曲线的位置关系；二是根据直线与圆锥曲线的位置关系，求直线或曲线方程的参数问题；三是求直线与圆锥曲线相交时所得弦长、弦的中点及轨迹问题等.解答此类题型的一般方法化为二次方程，利用判别式与韦达定理来求解.【例3】 (2022届东城区高中示范校高三质量检测题)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，59/59\n0），实轴长为23．(Ⅰ)求双曲线C的方程；(Ⅱ)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M（0，b），求b的取值范围．【分析】 第(1)小题利用直接法求解；第(Ⅱ)小题将直线与双曲线方程联立消去y，然后利用判别式及韦达定理求解；第(Ⅲ)小题须利用"垂直"与"平分"联系两条直线斜率间的关系及中点坐标公式建立b关于斜率k的表达式，结合第(Ⅱ)小题k的范围求解.【解】 (Ⅰ)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由已知，得a＝3，c＝2，b2＝c2－a2＝1，故双曲线方程为x23－y2＝1.(Ⅱ)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0．由题意知1－3k2≠0△＝36(1－k2)＞0xA＋xB＝62k1－3k2＜0xAxB＝－91－3k2＞0，解得，33＜k＜1．∴当33＜k＜1时，l与双曲线左支有两个交点．（Ⅲ）由（Ⅱ）得：xA＋xB＝62k1－3k2，∴yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋2)＝k(xA＋xB)＋22＝221－3k2．∴AB中点P的坐标为（32k1－3k2，21－3k2）．设l0方程为：y＝－1kx＋b，将P点坐标代入l0方程，得b＝421－3k2．∵33＜k＜1，∴－2＜1－3k2＜0，∴b<－22．∴b的取值范围为：(－，－22)．【点评】 本题主要考查利用直接法求双曲线标准方程、直线与圆锥曲线位置关系不等式的解法等知识，以及考查函数与方程的思想、转化与化归的思想，考查逻辑思维能力及运算能力.直线与圆锥曲线位置关系的主要涉及到交点个数问题、中点问题、弦长问题、最值与定值问题等，解答时往往通过消元最终归结为一元二次方程来进行解决.特别地：(1)如果遇到弦的中点与斜率问题则考虑利用"点差法"较为简单，但须注意对结果进行检验；(2)求最值与参数的范围时注意确定自变量的范围；(3)过焦点的弦长问题一般利用圆锥曲线的统一定义进行转化可大大减少运算量.题型四 圆锥曲线与三角函数的交汇此类试题主要体现在以三角函数为直线方程、圆的方程或圆锥曲线方程的系数，或根据三角函数满足的等式求解解析几何问题，或利用三角为工具研究解析几何问题等，解答时一般要根据所涉及到的解析几何知识及三角知识，将它们有机的结合在一起进行解答.【例4】 (08年高考新课标各地联考考场全真提高测试)已知是三角形的一个内角，且sin＋cos＝15，则方程x2tan－y2cot＝－1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【分析】 首先利用同角三角函数的基本关系可求得正弦函数与余弦函数值，进而具体化圆锥曲线方程，再根据方程进行判断.【解】 由sin＋cos＝15及sin2＋cos2＝1，且0＜＜π，解得sin＝45，cos＝－35，因此x2tan－y2cot＝－1就是4x23－3y24＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，故选A.【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系及双曲线方程的识别.解答的关键是求得sinα与cosα的值，以及会根据圆锥曲线方程识别曲线类型的能力.题型五 圆锥曲线与向量的交汇圆锥曲线与向量知识交汇在一起的综合题，以复杂多变、综合性强、解法灵活，知识覆盖面广，注重考查逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方程应用能力.在解题中需要把握住知识间的联系，注意借助转化的思想、方程思想等.【例5】 (2022届湖南省高考模拟题)在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为59/59\nA(－1，0)、B(1，0)，平面内两点G，M同时满足下列条件：①→GA＋→GB＋→GC＝→0；②|→MA|＝|→MB|＝|→MC|：③→GM∥→AB.(Ⅰ)求△ABC的顶点C的轨迹方程；(Ⅱ)过点P(3，0)的直线l与(Ⅱ)中轨迹交于E，F两点，求→PE·→PF的取值范围.【分析】 由于涉及到的动点有三个，因此采用设而不求思想先设C、G、M三点的坐标，然后将坐标代入①②中的两个等式，同时利用向量平行的条件进行转化，第(Ⅰ)小题就可求解.第(Ⅱ)小题则需利用判别式确定直线与所求轨迹相交的条件，即直线斜率k的范围，然后利用向量的数量积公式及韦达定理建立→PE·→PF关于k的函数式，最后根据求函数值域的方法即可求得结果.【解】 （Ⅰ）设C(x，y)，G(x0，y0)，M(xM，yM)，∵|→MA|＝|→MB|，∴M点在线段AB的中垂线上.由已知A(－1,0)，B(1,0)，∴xM＝0，又∵→GM∥→AB，∴yM＝y0，又→GA＋→GB＋→GC＝→0，∴(－1－x0,y0)＋(1－x0,－y0)＋(x－x0,x－y0)＝(0,0)，∴x0＝x3，y0＝y3，yM＝y3，∵|→MB|＝|→MC|，∴(0－1)2＋(y3－0)2＝(0－x)2＋(y3－y)2，∴x2＋y23＝1(y≠0)，∴顶点C的轨迹方程为x2＋y23＝1(y≠0).（Ⅱ）设直线l方程为：y＝k(x－3)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由y＝k(x－3)x2＋y23＝1，消去y得：(k2＋3)x2－6k2x＋9k2－3＝0…①，∴x1＋x2＝6k2k2＋3，x1x2＝9k2－3k2＋3，而→PE·→PF＝|→PE|·|→PF|·cos0°＝|PE|·|PF|＝1＋k2|3－x1|·1＋k2|3－x2|＝(1＋k2)|9－3(x1＋x2)＋x1x2|＝(1＋k2)|9k2＋27－18k2＋9k2－3k2＋3|＝24(k2＋1)k2＋3＝24－48k2＋3，由方程①知△＝(6k2)2－4(k2＋3)(9k2－3)＞0，k2＜38，∵k≠0，∴0＜k2＜38，∴k2＋3∈(3,278)，∴→PE·→PF∈(8,889).【点评】 本题主要考查向量的坐标运算及几何意义、轨迹的直接求法、不等式的解法，考查"设而不求法"结合二次方程的判别式及韦达定理在解决直线与圆锥曲线位置关系中的应用，同时考查函数与方程的思想、转化的思想以及逻辑推理能力、解题实践能力和数学思想方法应用能力.本题解答有两个关键：(1)对条件中的向量关系的转化；(2)建立→PE·→PF关于直线斜率k的函数.解答本题还有一个易错点：忽视直线与圆锥曲线相交的条件限制，造成所求范围扩大.题型六 圆锥曲线与数列的交汇此类试题主要体现为以解析几何中的点的坐标为数列，或某数列为圆锥曲线方程的系数，或以直线与圆及圆锥曲线的弦长构成数列等.解答时一般须根据解析几何的知识确定数列的通项或递推关系，进而利用数列的知识作答.例6 (2022届渭南市高三教学质量检测)已知双曲线an1y2－anx2＝an1an的一个焦点为(0，cn)，一条渐近线方程为y＝2x，其中{an}是以4为首项的正数数列.(Ⅰ)求数列{cn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{ncn3}的前n项和Sn.【分析】 将焦点坐标与双曲线实轴与短轴的关系建立cn与an、an1的等式，再利用渐近线的斜率与实轴与短轴的可判断数列{an}为等比数列，由此可求得an的表达式，进而求得{cn}的通项公式，由此解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用第(Ⅰ)的结果确定数列{ncn3}的通项公式，根据公式特点选择利用错位相减法求解.【解】 (Ⅰ)∵双曲线方程y2an－x2an1＝1的焦点为(0，cn)，∴cn＝an＋an1，又∵一条渐近线方程为y＝2x，即anan1＝2，∴anan1＝2，又a1＝4，∴an＝4·2n1＝2n+1，即cn＝2n+1＋2n＝3·2n.59/59\n(Ⅱ)∵ncn3＝n·2n，∴Sn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n+1②由①－②得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n+1，∴S＝－2(1－2n)1－2＋n·2n+1＝2－2n+1＋n·2n+1.【点评】 本题主要考查双曲线的几何性质、等比数列的定义和通项公式及利用错位相减法，同时考查转化思想及解答综合处理交汇试题的能力.本题是一道与数列相结合的一道综合题，但难度并不大.解答本题注意两点基本知识及方法的应用：（2）通过双曲线的焦点坐标与渐近线方程建立等式；（2）利用错位相减法求解求和.【专题训练】一、选择题1．设x，y∈R，且2y是1＋x和1－x的等比中项，则动点(x，y)的轨迹为除去轴上点的（）A．一条直线B．一个圆C．双曲线的一支D．一个椭圆2．已知△ABC的顶点A（0，－4），B（0，4），且4(sinB－sinA)＝3sinC，则顶点C的轨迹方程是（）A．x29－y27＝1(x＞3)B．x27－y29＝1(x＞7)C．y29－x27＝1(y＞3)D．y27－x29＝1(y＜－7)3．现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米，形状为椭圆的玻璃镜子，欲从此镜中划块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为（）A．10平方分米B．20平方分米C．40平方分米D．41平方分米4．设A(x1，y1)，B(4，95)，C(x2，y2)是右焦点为F的椭圆x225＋y29＝1上三个不同的点，则"|AF|，|BF|，|CF|成等差数列"是"x1＋x2＝8"的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既非充分也非必要5．直线l：y＝k(x－2)＋2与圆C：x2＋y2－2x－2y＝0相切，则直线l的一个方向向量→v＝（）A．（2，－2）B．（1，1）C．（－3，2）D．（1，12）6．已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值为（）A．33B．32C．22D．637．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆相交于A、B59/59\n两点。若∠AF1F2＝60，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为（）A．3＋1B．3－1C．2－3D．4－38．如图一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则点P形成的图形是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆9．如图，P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，F是椭圆的左焦点，且→OQ＝12(→OP＋→OF)，|OQ→|＝4，则点P到该椭圆左准线的距离为（）A．6B．4C．3D．5210．(理科)设x1，x2∈R，a＞O，定义运算"*"：x1*x2＝(x1＋x2)2－(x1－x2)2，若x≥O，则动点P(x，x*a)的轨迹方程为（）A．y2＝4axB．y2＝4ax(y≥0)C．y2＝－4axD．y2＝－4ax(y≥0)11．设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分）是()A．B．C．D．12．在平面直线坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆x225＋y29＝1上，则sinA＋sinCsinB＝（）A．45B．－45C．54D．－54二、填空题13．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆x28＋y24＝1的右焦点重合，则的值为_____________.14．若点(1，1)到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是_______.15．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线与椭圆相交于A、B两点.若∠AF1F2＝60，且→AF1·→AF2＝0，则椭圆的离心率为______．16．设A(1，0)，点C是曲线y＝1－x2(0≤x≤1)上异于A的点，CD⊥y轴于D，∠CAO＝θ(其中O为原点)，将|AC|＋|CD|表示成关于θ的函数f(θ)，则f(θ)＝_________.三、解答题17．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求→PA·→PB59/59\n的取值范围．18．(08届麻城博达学校高三数学综合测试四)设⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圆心在抛物线y＝x2上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别记为a1，a2，…，an，已知a1＝14，a1＞a2＞…＞an＞0，⊙Ck(k＝1，2，…n)都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切(Ⅰ)求由a1，a2，…，an构成的数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求证：a21＋a22＋…＋a2n＜14.19．（08年泰兴市3月调研）已知⊙O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由⊙O外一点P(a，b)向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求实数a，b间满足的等量关系；(Ⅱ)求线段PQ长的最小值；(Ⅲ)若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程.20．已知定点A(－2，－4)，过点A作倾斜角为45的直线l，交抛物线y2＝2px(p＞0)于B、C两点，且|BC|＝210．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|＝|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．21．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1，2)，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点是坐标原点.(Ⅰ)求这三条曲线的方程；(Ⅱ)已知动直线l过点P(3，0)，交抛物线于A、B两点，是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.22．椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.(Ⅰ)求此时椭圆C的方程；(Ⅱ)设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，33）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．59/59\n【专题训练】参考答案一、选择题1．D【解析】 由题意得(2y)2＝(1＋x)(1－x)，即x2＋4y2＝1.2．C【解析】 由条件c＝|AB|＝8.由正弦定理：4(b－a)＝3c＝24，b－a＝6，即|CA|－|CB|＝6.点C的轨迹是焦点在y轴的双曲线上支，∵a＝3，c＝4，b＝7，其方程y29－x27＝1(y＞3).3．C【解析】 设椭圆方程为x225＋y216＝1，P(5cos，4sin)，Q(－5cos，4sin)，R(5cos，－4sin)是矩形的三顶点，则S矩形＝|10cos|·|8sin|＝40|sin2|≤40.4．S【解析】 a＝5，b＝3，c＝4，e＝45，F(4，0)，由焦半径公式可得|AF|＝5－45x1，|BF|＝5－45×4＝95，|CF|＝5－45x2，故|AF|，|BF|，|CF|成等差数列(5－45x1)＋(5－45x2)＝2×95x1＋x2＝8.5．A【解析】 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心C(1，1)，半径r＝2，直线l：kx－y－2k＋2＝0，由直线与圆相切的条件知|k－1－2k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－1.6．A【解析】 过P作抛物线的准线的垂线，垂足为H，则抛物线准线为x＝－3c，|PF1||PF2|＝e，又|PF2|＝|PH|，∴|PF1||PH|＝e，∴x＝－3c也为椭圆E的准线．∴－a2c＝－3ce＝33．7．B【解析】 →AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F,∵∠AF1F2＝60,∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1.8．椭圆【解析】 |PO|＋|PF|＝|PM|＋|PO|＝R(半径)＞|OF|，根据椭圆定义知P形成的图形是以O、F为焦点的椭圆.9．D【解析】 由→OQ＝12(→OP＋→OF)，得Q是PF的中点.又∵|OQ→|＝4，所以P点到右焦点F'的距离为8，∴|PF|＝2×5－8＝2，又|PF|d＝e＝ca＝45(d表示P到椭圆左准线的距离)，∴d＝52.10．B【解析】 设P(x，y)，则y＝x*a＝(x＋a)2－(x－a)2＝4ax，即y2＝4ax(y≥0).11．A【解析】 由构成三角形的条件知x＋y＞1－x－yx＋1－x－y＞yy＋1－x－y＞x，即2x＋2y＞12y＜12x＜1，易知选A.12．C【解析】 由双曲线方程及定义|BC|＋|AB|＝10，|AC|＝8，根据正弦定理知sinA＋sinCsinB＝|BC|＋|AB||AC|＝54.二、填空题13．4【解析】 抛物线的焦点为(p2，0)，椭圆的右焦点为(2，0)，则由p2＝2，得p＝4.14．2＋2【解析】 d＝|cosα＋ysinα|＝|2sin(α＋4)－2|，当sin(α＋4)＝－1时，d的最大值是2＋2.15．3－1【解析】 →AF1·→AF2＝0，∴AF1⊥A2F，∵∠AF1F2＝60，∴|F1F2|＝2|AF1|，|AF2|＝3|AF1|，∴2a＝|AF1|＋|AF2|，2c＝|F1F2|，e＝ca＝|F1F2||AF1|＋|AF2|＝3－1.59/59\n16．－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈(4，2)【解析】 根据条件知∠COA＝180－2θ，且θ∈(4，2)，则点C(cos(180－2θ)，sin(180－2θ))，即C(－cos2θ，sin2θ)，则|AC|＋|CD|＝(1＋cos2θ)2＋sin22θ－cos2θ＝－2cos2θ＋2cosθ＋1，θ∈(4，2).三、解答题17．【解析】 (Ⅰ)依题知圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝41＋3＝2，∴圆O的方程为x2＋y2＝4．(Ⅱ)不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，x1＜x2，由x2＝4即得A(－2，0)，B(2，0)，设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2，→PA·→PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于点P在圆O内，故x2＋y2＜4x2－y2＝2，由此得y2＜1，又∵y2≥0，所以→PA·→PB的取值范围为－2，0．18．【解析】 (1)设相邻两圆心为Ck(xk，x2k)，Ck+1(xk，x2k+1)，相应的半径为rk，rk+1，则rk＝x2k，rk+1＝x2k+1，rk＞rk+1，如图，作Ck+1Bk⊥AkCk于Bk，则|CkCk+1|2－|CkBk|2＝|AkAk+1|2，即(rk＋rk+1)2－(rk－rk+1)2＝(xk－xk+1)2，∴1xk+1－1xk＝2，∴{1xk}是首项为4，且公差为2的等差数列，∴xk＝12(k＋1).(2)∵1(k＋1)2＜1k(k＋1)＝1k－1k＋1，∴x21＋x22＋…＋x2n＝14[122＋132＋1(n＋1)2]＜14(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14(1－1n＋1)＜14.19．【解析】 （1）连OP，∵Q为切点，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2，化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a＋b－3＝0.(Ⅱ)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45，故当a＝65时，|PQ|min＝255，即线段PQ长的最小值为255.(Ⅲ)设⊙P的半径为R，OP设⊙O有公共点，⊙O的半径为1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1.而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95，故当a＝65时，|PQ|min＝355，此时b＝－2a＋3＝35，Rmin＝355－1，得半径取最小值⊙P的方程为(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.20．【解析】 (Ⅰ)直线l方程为y＝x－2，将其代入y2＝2px，并整理，得x2－2(2＋p)x＋4＝0…①，∵p＞0，∴△＝4(2＋p)2－16＞0，设B(x1,y1)、C(x2,y2)，∴x1＋x2＝4＋2p，x1·x2＝4，∵|BC|＝210，而|BC|＝1＋k2|x1－x2|，∴22p2＋4p＝210，解得p＝1，∴抛物线方程y2＝2x．(Ⅱ)假设在抛物线y2＝2x上存在点D(x3,y3)，使得|DB|＝|DC|成立，记线段BC中点为E(x0,y0)，则|DB|＝|DC|DE⊥BCkDE＝－1k1＝－1，当p＝1时，①式成为x2－6x＋4＝0，∴x0＝x1＋x22＝3，y0＝x0－2＝1，∴点D(x3,y3)应满足y23＝2x3y3－1x3－3＝－1，解得x3＝2y3＝2或x3＝8y3＝－4．∴存在点D(2，2)或(8，－4)，使得|DB|＝|DC|成立．21．【解析】 (Ⅰ)设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，将点M(1，2)坐标代入方程得p＝2，59/59\n所以抛物线方程为y2＝4x.由题意知椭圆、双曲线的焦点为F1（－1，0），F2（1，0），所以c＝1，c＝1，对于椭圆，2a＝|MF1|＋|MF2|＝(1＋1)2＋22＋(1－1)2＋22＝22＋2，所以a＝1＋2，所以a2＝(1+2)2＝3＋22，所以b2＝a2－c2＝2＋22，所以椭圆方程为x23＋22＋y22＋22＝1，对于双曲线，2a＝||MF1|－|MF2||＝22－2，所以a＝2－1，所以a2＝3－22，所以b＝c2－a2＝22－2，所以双曲线方程为x23－22－y222－2＝1，(Ⅱ)设AP的中点为G，l的方程为x＝t，以AP为直径的圆交l于D、E两点，DE中点为H，令A(x1，y1)，所以G(x1＋32，y12)，所以|DG|＝12|AP|＝12(x1－3)2＋y12，|GH|＝|x1＋32－t|＝12|(x1－2t)＋3|，所以|DH|2＝|DG|2－|GH|2＝14[(x1－3)2＋y12]－14[(x1－2t)＋3]2＝(t－2)x1－t2＋3t，当t＝2时，|DH|2＝－4＋6＝2为定值，所以|DE|＝2|DH|＝22为定值，此时l的方程为x＝2.22．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心，故该椭圆中a＝2b＝2c，即椭圆方程可为x2＋2y2＝2b2.设H（x,y）为椭圆上一点，则|HN|2＝x2＋(y－3)2＝－(y＋3)2＋2b2＋18，其中－b≤y≤b，若0＜y＜3，则y＝－b时，|HN|2有最大值b2＋6b＋9，由b2＋6b＋9＝50，得b＝－3±52(舍去)，若b≥3，当y＝－3时，|HN|2有最大值2b2＋18.由2b2＋18＝50，得b2＝16，故所示椭圆的方程为x232＋y216＝1.（Ⅱ）设E(x1，y1)，F(x2，y2)，Q(x0，y0)，则由x1232＋y1216＝1与x2232＋y2216＝1二式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)32－(y1＋y2)(y1－y2)16＝0，又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，且k＝y1－y2x1－x2，则x0＋2ky0＝0，又直线PQ⊥直线m，∴直线PQ方程为y＝1kx＋33，将点Q(x0，y0)代入上式得，y0＝1kx0＋33……④，由③④得Q(233k，－33)Q，而Q点必在椭圆内部，x0232＋y0216＜1，由此得k2＜472，又k≠0，∴－942＜k＜0或0＜k＜942，故当k∈(－942，0)∪(0，942)时，E、F两点关于点P、Q的直线对称.专题五：概率与统计综合性题型分析及解题策略【命题趋向】59/59\n概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，在展现分类讨论、化归思想与同时，培养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是1道小题以及1道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了90年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，如08年重庆理5题(5分)为容易题，考查正态分布的计算及密度曲线性质、08年湖南文12题(12分)为中档题，考查样本的识别与抽样、08年安徽高考理科第19题(12分)是中档题，考查几种事件的交汇、08年福建理20题(12分)中等难度，考查概率的计算与离散随机变量的分布列及期望，等等.预计在高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率，互斥事件的概率，独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；理科重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能有所提升，考生应有心理准备.文科一般两个问题都考查概率问题，而理科一般第1问考概率的计算，第2问考分布列、期望的计算.【考试要求】1．了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．2．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．3．了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．4．了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差．5．会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．6．会用样本频率分布去估计总体分布，了解正态分布的意义与主要性质及线性回归的方法和简单应用．【考点透视】主要考点：（1）等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力.（2）求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社会热点为载体.（3）抽样方法的确定与计算、总体分布的估计.【典例分析】题型一 几类基本概型之间的综合在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.【例1】 （08·安徽高考）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（Ⅰ）59/59\n现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.【分析】 第（Ⅰ）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第（Ⅱ）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算.【解】 （Ⅰ）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为××＝.（Ⅱ）设Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P(Ai)，则P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，因而所求概率为P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.【点评】 本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要混淆了互斥事件与相互独立事件，第（Ⅱ）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算.【例2】（08·福建高考）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为，，，且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.【分析】 第（Ⅰ）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算；第（Ⅱ）小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再利用对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小.【解】记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1，2，3)，依题意有P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，且A1，A2，A3相互独立.(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1A2＋A1A3＋A2A3，且A1A2、A1A3、A2A3彼此互斥于是P(B)＝P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝××＋××＋××＝.答：恰好二人破译出密码的概率为.20220318(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝··，且、、相互独立，则P(D)＝P()·P()·P()＝××＝.而P(C)＝1－P(D)＝，故P(C)＞P(D).答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.【点评】 本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（Ⅰ）小题正确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（Ⅱ）的解答则充分利用对立59/59\n事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑计算对立事件的概率来解答.【例3】 （08·重庆高考）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(Ⅰ)恰有两道题答对的概率；(Ⅱ)至少答对一道题的概率.【分析】 第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第(Ⅱ)小题可以考虑利用正确解答，也可以考虑其对立事件进行解答.【解】 “选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为.由独立重复试验的概率计算公式得：（Ⅰ）恰有两道题答对的概率为P4(2)＝C()2()2＝.（Ⅱ）解法一：至少有一道题答对的概率为1－P4(0)＝1－C()0()4＝1－＝.解法二：至少有一道题答对的概率为分为4类情形：P4(1)＝C()1()3＝，P4(2)＝C()2()2＝，P4(3)＝C()3()1＝，P4(4)＝C()4()0＝.所以至少答对一道的概率为P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝＋＋＋＝.【点评】 本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第(Ⅱ)小题的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的快.题型二 求离散型随机变量的分布列、期望与方差此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理信息的能力.主要题型：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的分布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根离散型随机变量分布列、期望与方差性质的求参数.【例4】 (08·湖北理)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的分布列，期望和方差；(Ⅱ)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值.【分析】 第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求ξ取0、1、2、3、4时的概率，从而得分布列；第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.【解】 （Ⅰ）ξ的分布列为：ξ01234P∴Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5.Dξ＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.（Ⅱ）由Dη＝a2Dξ，Eη＝aEξ＋b，得，解得或.【点评】（1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②59/59\n计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.（2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解或通过建立方程来解决来解决.【例5】 （08全国Ⅱ高考）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－0.999.(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【分析】 第（Ⅰ）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出险的概率p；第（Ⅱ）小题首先求投保的10000人中出险的人数ξ的期望，再利用期望的线性关系的性质求取盈利期望Eη的值.【解】 各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)又P(A)＝1－0.999，故p＝0.001．（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000，盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，20220318盈利的期望为Eη＝10000a－10000Eξ－50000，由ξ～B(104，10-3)知，Eξ＝104×10-3，Eη＝104a－104Eξ－5×104＝104a－104×104×10-3－5×104.Eη≥0Û104a－104×104×10-3－5×104≥0Ûa≥15(元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元．【点评】 本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计算一般不利用求解离散型随机变量X的期望与方差的方法求解，因计算较为繁琐，而是根据其自身的期望与方差的计算公式，常可使问题得到快速的解决.【例6】 （08·江西高考）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令ξi(i＝1，2)表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（Ⅰ）写出ξ1、ξ2的分布列；（Ⅱ）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【分析】 第(Ⅰ)小题将首先根据两年后增长倍数确定ξ1、ξ2的取值，同时由相应的概率积可即可得分布列；第(Ⅱ)小题根据分布列将满足条件的数据相加即可比较得结果；第(Ⅲ)小题根据第(Ⅰ)小题的分布列确定关于两个方案带来的效益ηi(i＝1、2)的分布列，59/59\n再通过计算期望进行比较.【解】（Ⅰ）ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.∴ξ1、ξ2的分布列分别为：ξ10.80.91.01.1251.25P0.20.150.350.150.15ξ20.80.961.01.21.44P0.30.20.180.240.08（Ⅱ）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P(A)＝0.15＋0.15＝0.3，P(B)＝0.24＋0.08＝0.32,可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.（Ⅲ）令η1表示方案所带来的效益，则η1101520P0.350.350.3η2101520P0.50.180.32所以Eη1＝10×0.35＋15×0.35＋20×0.3＝14.75，Eη2＝10×0.35＋15×0.18＋20×0.32＝14.75，可见，方案一所带来的平均效益更大.【点评】 本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，以及根据期望进行比较方案优劣.此题比较有新意，表现在一个分布列的建立须根据前一个分布列的数据，解答此题的易错之处：由于本题涉及到的数据较多，交叉性也较强，因此容易把对应的数据搞错.题型三 抽样方法的识别与计算此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型，搜集数据，处理材料等研究性学习的能力，主要考查题型：(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法；(2)根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据.【例7】 (08·陕西)某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30B．25C．20D．15【分析】 利用分层抽样的特点，按比较进行计算即可.【解】 设样本中松树苗的数量为，则＝，解得x＝20.点评：确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断：总体中的个体数较少时，宜用简单随机抽样；总体由差异明显的几部分组成时，宜用分层抽样.而关于抽样方法的计算主要集中在分层抽样上，一般按比例进行计算.题型四 总体分布的估计59/59\n此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力.主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率分布表或直方图的完善.【例8】 (08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45，55]，[55，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)，的人数是________.【分析】 利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可.【解】 20×(0.040×10＋0.025×10)＝13.点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用频率分布图中相关数据；④利用频率分布表绘制频率分布直方图.【专题训练】一、选择题1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则|a－b|等于（）A．hmB．C．D．与m，n无关2．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为59/59\nb，向量＝(a，b)，＝（1，－2），则向量与向量垂直的概率是（）A．B．C．D．3．中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人为()A．81B．152C．182D．2025．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是()A．B．C．D．6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为()A．B．C．D．6．2022年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是（）A．B．C．D．7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A．B．C．D．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为()A．1B．2C．3D．49．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b。，c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的期望为2，则＋的最小值为()信号源A．B．C．D．10．右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是A．B．59/59\nC．D．11．已知随机变量X分布列如下表(n∈N*)：X12…n－1nP…x则表中x为()A．B．C．D．12．已经一组函数y＝2sin(ωx＋j)(ω＞0，0＜j≤2π)，其中在集合中任取一个数，j在集合{，，，π，，，2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后得到函数y＝2sinωx的图象的概率是()A．B．C．D．二、填空题13．已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均数是_____.14．某校高中研究性学习小组对本地区2022年至2022年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．15．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为________．16．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．59/59\n三、解答题17．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为，.问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。18．将两颗骰子先后各抛一次，a，b表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a，b)落在不等式组表示的平面区域内的事件记为A，求事件A的概率；(Ⅱ)若点(a，b)落在直线x＋y＝m上，且使此事件的概率最大，求m的值.19．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝．(Ⅰ)求文娱队的人数；(Ⅱ)写出ξ的概率分布列并计算Eξ．20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.59/59\n（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ.21．某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试.甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是和.假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；(Ⅱ)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；(Ⅲ)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格.求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.22．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.【针对训练】参考答案一、选择题1．C【解析】频率分布的直方图中＝高度，∴|a－b|＝.59/59\n2．B【解析】掷骰子是独立事件，∵·＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b=1，2，3，所求概率为.3．A【解析】依题意，各层次数量之比为4︰3︰2︰1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个.4．C【解析】设总共有x人教师，由于抽样采用的是系统抽样，所以每一层次抽到的概率是相等的，所以可得＝，解得x＝182.5．C【解析】设事件A：从0到10岁，事件B：10岁到15岁，A与B互斥，C：0到15岁，所以P(C)＝P(A)·P(B)，∴P（B）＝＝.6．C【解析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为P＝1－＝.6．B【解析】 3个月中恰有1个月有30天的情况有两种：①两个月31天，1个月30天；②31天，30天，28天，各有1个月，故所求概率.7．B【解析】古典概型问题，基本事件总数为C＝＝17×16×3，能组成以3为公差的等差数列有(1，4，7)、（2，5，8）、…、（12，15，18）共12组，因此概率P＝＝.8．D【解析】由题意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出｜x－y｜，设x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4.9．D解析：由题3a＋2b＝2，其中0＜a＜，0＜b＜1，所以＋＝·(＋)＝3＋＋＋≥＋2＝.(当且仅当a＝2b＝时取等)．10．D【解析】将六个接线点随机地平均分成三组，共有＝15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有C·C·C＝8种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是.11．C【解析】根据分布列的性质：x＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n－1)]＝1－[＋＋…＋]＝＝1－[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝.∵n∈N*，∴表格中概率P(X)均为非负，满足分布列的第一条性质：Pi≥0，i＝1，2,…,n.59/59\n12．C【解析】这一组函数共有3×9＝21个，从中任意抽取个共有种不同的方法，其中从这些函数中任意抽取两个，向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象有三种情形，则有C＝3种取法；向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有三种情形，则有C＝3种取法；向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象有两种情形，则有C＝1种取法；向右平移个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有两种情形，则有C＝1种取法；故所求概率是＝.二、填空题13．3a＋2【解析】∵xi＝a，∴(3xi＋2)＝[(3xi)＋2]＝[3xi＋2n＝3·xi＋2＝3a＋2.14．85【解析】每年平均销售盒饭为(30×1＋45×2＋90×1.5)＝85(万盒).15．【解析】由已知得3a＋2b＋0×c＝0，即3a＋2b＝2，∴ab＝·3a·2b≤()＝.16．160【解析】：直方图中，所有矩形面积之和为1，等差数列公差为a1，等差数列各项和为10a1＝1，所以a1＝0.1，最大的矩形为0.4，频数为400*0.4＝160三、解答题17．【解】设先答A、B所得奖金分别为ξ和η，则P(ξ＝0)＝1－＝，P(ξ＝a)＝(1－)＝，P(ξ＝3a)＝×＝，∴Eξ＝a.P(η＝0)＝1－＝，P(ξ＝2a)＝(1－)＝，P(ξ＝3a)＝×＝，∴Eη＝a.由此知，先答哪题获奖金的期望一样大.18．【解】(Ⅰ)x＋y＝4上有3个点，x＋y＝3上有2个点，x＋y＝2上有1个点，事件总数为36，故事件A的概率为＝.(Ⅱ)当点P(a，b)落在直线x＋y＝m上，所以a＋b＝m，当a＋b＝2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12时，点P(a，b)的个数分别为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，所以当a＋b＝7时事件的概率最大为，所以m＝7.19．【解】设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．(Ⅰ)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，∴P(ξ＝0)＝，即＝，∴＝，解得x＝2，故文娱队共有5人．59/59\n(Ⅱ)的概率分布列为ξ012PP(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝．20．【解】(Ⅰ)设A、B两项技术指标达标的概率分别为P1、P2由题意得：，解得P1＝，P2＝或P1＝，P2＝，∴P＝P1P2＝，即一个零件经过检测为合格品的概率为.(Ⅱ)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为1－C()4－C()5＝(Ⅲ)依题意知ξ～B(4，)，Eξ＝4×＝2，Dξ＝4××＝1.21．【解】(Ⅰ)记“甲工人连续3个月参加技能测试，至少有1次未通过”为事件A1，P(A1)＝1－＝1－()3＝.(Ⅱ)记“连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次”为事件A2，“连续3个月参加技能测试，乙工人恰好通过1次”为事件B1，则P(A2)＝C()2(1－)＝，P(B1)＝C()2(1－)＝C··(1－)2＝.∴P(A2B1)＝P(A2)·P(B1)＝×＝两人各连续3月参加技能测试，甲工人恰好2次通过且乙工人恰好1次通过的概率为.(Ⅲ)记“乙恰好测试4次后，被撤销上网资格”为事件A3，P(A2)＝()2·()2＋··()2＝.22．【解】用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是1－P()＝1－P()P()P()＝1－()3＝.（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.＝＝59/59\n＝=所以，ξ的分布列是ξ0123Pξ的期望w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.comw.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com59/59
