赣马高级中学解答题专题训练6数列（一）命题：张宜体审核：王怀学1．已知数列｛an｝满足。求数列｛an｝的通项公式。2．已知数列{an}满足a1=1,且an+1=+2,求。3．已知数列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式。4．已知数列｛an｝满足求an。5．已知数列求an。15/15\n6．观察下列三角形数表1-----------第一行22-----------第二行343-----------第三行4774-----------第四行51114115…… … ……… … ……假设第行的第二个数为，（Ⅰ）依次写出第六行的所有个数字；（Ⅱ）归纳出的关系式并求出的通项公式；7．附加题：设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；15/15\n赣马高级中学解答题专题训练7数列（二）命题：张宜体审核：王怀学1．已知等差数列的前n项和为Sn，且（），求数列的通项公式an；2．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项。练习：在数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n，求=3．已知数列的前项和．求数列｛｝的通项公式；15/15\n4．已知数列的前n项和为，当时，点在的图像上,且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的最大值及相应的n值.练习1：已知是一个等差数列，且，．（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前n项和Sn的最大值．练习2：设，则=15/15\n赣马高级中学解答题专题训练8数列（三）命题：张宜体审核：王怀学1．设等比数列的公比为,前项和为,若成等差数列,求的值.2．数列{an}的前n项和记为Sn，。（I）求{an}的通项公式;（II）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn3．数列的前项和为。（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和。15/15\n4．在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）附加题：若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．5．已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．（1）求公差的值；（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；（3）附加题：若对任意的，都有成立，求的取值范围．赣马高级中学解答题专题训练915/15\n数列（三）命题：张宜体审核：王怀学1．设数列的前项和为，其中，为常数，且、、成等差数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）附加题：设，问：是否存在，使数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．2．设数列满足，若是等差数列，是等比数列.（1）分别求出数列的通项公式；（2）求数列中最小项及最小项值；（3）附加题：是否存在，使，若存在，求满足条件的所有值；若不存在，请说明理由.3．已知递增数列满足：，，且、、成等比数列。（I）求数列的通项公式；15/15\n（II）附加题：若数列满足：，。①用数学归纳法证明：；②记，证明：。赣马高级中学解答题专题训练6答案1．已知数列｛an｝满足。求数列｛an｝的通项公式。15/15\n解析：由已知得：=.2．已知数列{an}满足a1=1,且an+1=+2,求。解析：设，则，，为等比数列，，3．已知数列{an}中，a1=1，且an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式。解析：设，，解得，。容易得到，数列{an}的通项公式。4．已知数列｛an｝满足求an。解：两边同时除以，得数列是以1为首项、1为公差的等差数列，,所以，5．已知数列求an。解析：设。解得。所以，。数列是首项为公比为2的等比数列。因此，，所以。6．观察下列三角形数表1-----------第一行22-----------第二行343-----------第三行4774-----------第四行51114115…… … ……… … ……假设第行的第二个数为，（Ⅰ）依次写出第六行的所有个数字；（Ⅱ）归纳出的关系式并求出的通项公式；解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6；（2）依题意，15/15\n，所以7．附加题：设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上．求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；解：因为点在函数的图象上，故，所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．用数学归纳法证明如下：①当时，有上面的求解知，猜想成立．②假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到，故，．两式相减，得，所以．由归纳假设得，，故．这说明时，猜想也成立．由①②知，对一切，成立．赣马高级中学解答题专题训练7答案1．已知等差数列的前n项和为Sn，且（），求数列的通项公式an；解：由题意，当n=1时，a1=S1=－2当时，有15/15\n∴2．已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项。解析：(n≥2)，（n≥3）两式相减，得推广当n=2时,a2=a1。练习：在数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝2n，求=3．已知数列的前项和．求数列｛｝的通项公式；解：时，;当． 4．已知数列的前n项和为，当时，点在的图像上,且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设的最大值及相应的n值.解：（Ⅰ）∵点在的图像上,公差为2的等差数列当当（Ⅱ）由已知得。当且仅当n=1时，。练习1：已知是一个等差数列，且，．（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前n15/15\n项和Sn的最大值．解：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，解出，．所以．（Ⅱ）．所以时，取到最大值．练习2：设，则=；赣马高级中学解答题专题训练8答案1．解:若,则,,不合要求;若,则,,综上,.2．数列{an}的前n项和记为Sn，（I）求{an}的通项公式;（II）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn（I）由可得，两式相减得又∴，故{an}是首项为1，公比为3得等比数列∴.（II）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，故可设又由题意可得解得∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴…∴3．数列的前项和为。（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和。解：（1），，即数列从第2项起构成以3为公比的等比数列，又又不符合上式，所以，数列的通项（（2）=又3=15/15\n两式相减得=4．解：（Ⅰ）证明：由题设（），得，即，．又，，所以是首项为1，公比为的等比数列．（Ⅱ）解法：由（Ⅰ），，……，，（）．将以上各式相加，得（）．所以当时，上式对显然成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当时，显然不是与的等差中项，故．由可得，由得， ①整理得，解得或（舍去）．于是．另一方面，，．由①可得，．所以对任意的，是与的等差中项．5．解：（1）∵，∴，解得；（2）∵，∴数列的通项公式为，∴∵函数在和上分别是单调减函数，∴当时，∴数列中的最大项是，最小项是（2）由得又函数在和上分别是单调减函数，且时；时.∵对任意的，都有，∴∴∴的取值范围是赣马高级中学解答题专题训练9答案15/15\n1．解：（Ⅰ）依题意，得．于是，当时，有．两式相减，得（）．又因为，，所以数列是首项为、公比为3的等比数列．因此，（）；（Ⅱ）因为，所以．要使为等比数列，当且仅当，即．2．设数列满足，若是等差数列，是等比数列.（1）分别求出数列的通项公式；（2）求数列中最小项及最小项的值；（3）是否存在，使，若存在，求满足条件的所有值；若不存在，请说明理由.解：（1）由成等差数列知其公差为1，故由等比数列知，其公比为，故=+6==＝+6=2+(2)由(1)题知,=,所以当或时，取最小项，其值为3（3）假设存在，使-2-=-则-即∵是相邻整数∴，这与矛盾，所以满足条件的不存在3．已知递增数列满足：，，且、、成等比数列。（I）求数列的通项公式；15/15\n（II）若数列满足：，。①用数学归纳法证明：；②记，证明：。解：（I），∴数列为等差数列，设公差为。、、成等比数列，∴（II）①即证，用数学归纳法证明如下：（1）当时，，原不等式成立；（2）假设时原不等式成立，即，那么当时，∴当时原不等式也成立由（1）（2）可知②证明：由，而，∴∴，，，，，∴，∴∴∴∴。15/15
