专题升级训练27 解答题专项训练(三角函数及解三角形)1．已知f(x)＝m·n，其中m＝(sinωx＋cosωx，cosωx)，n＝(cosωx－sinωx，2sinωx)(ω＞0)，若f(x)图象中相邻的两条对称轴间的距离不小于π.(1)求ω的取值范围；(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a＝，S△ABC＝.当ω取最大值时，f(A)＝1，求b，c的值．2．已知向量m＝，n＝.记f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝，求cos的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，若f(A)＝，试判断△ABC的形状．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且sinAsinC＝.(1)求角B的大小；(2)若x∈[0，π)，求函数f(x)＝sin(x－B)＋sinx的值域．4．已知锐角△ABC的三个内角为A，B，C，向量p＝(cosA－sinA,1＋sinA)，向量q＝(cosA＋sinA，2－2sinA)，且p⊥q.(1)求角A；(2)设AC＝，sin2A＋sin2B＝sin2C，求△ABC的面积．5．已知A为锐角△ABC的一个内角，满足2sin2－cos2A＝＋1.(1)求角A的大小．(2)若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值．6．设函数f(x)＝sin＋2cos2－.(1)求f(x)的最小正周期．(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈时，求函数y＝g(x)的最小值与相应自变量x的值．7．已知函数f(x)＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若0＜α＜，0＜β＜，且f＝，f＝，求sin(α－β)的值．8．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．-5-\n参考答案1．解：(1)f(x)＝m·n＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin.∵f(x)图象中相邻的对称轴间的距离不小于π，∴≥π.∴≥π.∴0＜ω≤.(2)当ω＝时，f(x)＝2sin，∴f(A)＝2sin＝1.∴sin＝.∵0＜A＜π，∴＜A＋＜，A＝.由S△ABC＝bcsinA＝，得bc＝2.①又a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＋bc＝7.②由①②，得b＝1，c＝2；或b＝2，c＝1.2．解：(1)f(x)＝m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋.∵f(x)＝，∴sin＝1.∴cos＝1－2sin2＝－1，cos＝－cos＝1.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0.∴cosB＝.又∵B∈(0，π)，∴B＝.由f(x)＝sin＋，且f(A)＝，∴sin＝，＋＝或＋＝，A＝或A＝π(舍去)，∴A＝，C＝，∴△ABC为正三角形．3．解：(1)因为a，b，c成等比数列，则b2＝ac.由正弦定理得sin2B＝sinAsinC.-5-\n又sinAsinC＝，所以sin2B＝.因为sinB＞0，则sinB＝.因为B∈(0，π)，所以B＝或.又b2＝ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故B＝.(2)因为B＝，则f(x)＝sin＋sinx＝sinxcos－cosxsin＋sinx＝sinx－cosx＝sin.因为x∈[0，π)，则－≤x－＜，所以sin∈.故函数f(x)的值域是.4．解：(1)∵p⊥q，∴(cosA＋sinA)(cosA－sinA)＋(2－2sinA)(1＋sinA)＝0，∴sin2A＝.而A为锐角，∴sinA＝A＝.(2)由正弦定理得a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，且C＝.∴BC＝AC×tan＝×＝3.∴S△ABC＝AC·BC＝××3＝.5．解：(1)由2sin2－cos2A＝1－cos－cos2A＝1＋2sin＝1＋，所以sin＝.∵A∈，2A－∈，∴2A－＝，得A＝.(2)由题意得|＋|＝6，设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则b2＋c2＋2bccosA＝36.又b2＋c2≥2bc，∴bc≤12.∴S△ABC＝bcsinA＝bc≤3，等号当b＝c＝2时取到．∴△ABC面积的最大值为3.-5-\n6．解：(1)f(x)＝sin＋2cos2－＝sincos－cossin＋＝sin－cos＋cos＝sin＋cos＝sin，∴T＝＝＝12.(2)方法一：由题意知：g(x)＝f(2－x)＝sin＝sin＝－sin.∵x∈，∴－≤－≤.∴g(x)min＝－，此时－＝，即x＝.方法二：可以求x∈关于x＝1的对称区间x∈上函数f(x)的最值．7．解：(1)∵f(x)＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＝cos2x－sin2x＝cos2x，∴函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由(1)得f(x)＝cos2x.∵f＝，f＝，∴cosα＝，cosβ＝.∵0＜α＜，0＜β＜，∴sinα＝＝，sinβ＝＝.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝×－×＝.8．解：(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－.∴＝＝＝－.(2)在△ABC中，A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理知：sinC＝2sinA·sinC，∴sinA＝，可解得A＝.-5-\n又△ABC为锐角三角形，于是＜B＜.∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sinx＋cosx,2)·(sinx，－1)＝sin2x＋sinxcosx－2＝＋sin2x－2＝sin－，∴f＝sin－＝sin2B－.由＜B＜，得＜2B＜π，∴0＜sin2B≤1，得－＜sin2B－≤－，即f∈.-5-
