高考理科数学教学统一质量检测题数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效．4．参考公式：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数是虚数单位的实部是（）A．B．C．D．2．已知等差数列的公差为，且，若，则为（）A．12B．8C．6D．43．已知直线⊥平面，直线平面，下面有三个命题：①∥⊥；②⊥∥；③∥⊥；则真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．34．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图11/11\n都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．5．设点，则为坐标原点的最小值是（）元频率组距20304050600.010.0360.024A．B．C．5D．36．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在元的同学有人，则的值为（）A．100B．1000C．90D．9007．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为（）A．5B．10C．20D．40开始①否是输出结束8．若右面的程序框图输出的是，则①应为（）A．？ B．？C．？D．？9．已知，则“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11/11\n10．设函数，则下列结论正确的是（）A．的图像关于直线对称B．的图像关于点对称C．把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像D．的最小正周期为，且在上为增函数11．已知点、分别为双曲线：的左焦点、右顶点，点满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知直线及与函数图像的交点分别为，与函数图像的交点分别为，则直线AB与CD（）A．相交，且交点在第I象限B．相交，且交点在第II象限C．相交，且交点在第IV象限D．相交，且交点在坐标原点第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．；14．已知，则的值为；15．已知集合,从集合中任选三个不同的元素组成集合，则能够满足的集合的概率为=；16．定义：区间的长度为.已知函数的定义域为11/11\n，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在中，分别是的对边长，已知.（I）若,求实数的值;（II）若,求面积的最大值.18．（本小题满分12分）在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，设为坐标原点，点的坐标为，记．（I）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；（II）求随机变量的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）11/11\n已知函数且,求函数的极大值与极小值.20．（本小题满分12分）在四棱锥中，平面，底面为矩形，.（I）当时，求证：；ABQDCP（II）若边上有且只有一个点，使得，求此时二面角的余弦值.21．（本小题满分12分）已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.（I）求椭圆的方程;11/11\n（II）设P是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.22．（本小题满分14分）已知等比数列的前项和为（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，为数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论．11/11\n参考答案一、选择题：ABCCAABBCCDD二、填空题：13．；14.；15.；16.；17．解：（I）由两边平方得:即解得:…………………………3分而可以变形为即，所以…………………………6分（II）由（Ⅰ）知,则…………………………7分又…………………………8分所以即…………………………10分故………………………………12分18．解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，，，，且当或时，．因此，随机变量的最大值为…………………………4分有放回抽两张卡片的所有情况有种，…………………6分11/11\n（II）的所有取值为．时，只有这一种情况．时，有或或或四种情况，时，有或两种情况．，，…………………………8分则随机变量的分布列为：………………10分因此，数学期望…………………………12分19．解：由题设知令……………………………2分当时，随的变化，与的变化如下：0+0-0+极大极小，………6分当时，随的变化，与的变化如下：11/11\n-0+0-极小极大∴，…………11分总之，当时，，；当时，，……12分20．解：（I）当时，底面为正方形，又因为,面…………………………2分又面…………………………3分（II）因为两两垂直，分别以它们所在直线为轴、轴、轴建立坐标系，如图所示，令，可得则…………………4分设，则要使，只要yABQDCPxz即………6分由，此时。所以边上有且只有一个点，使得时，为的中点，且…………………………8分设面的法向量则即解得…………………………10分取平面的法向量11/11\n则的大小与二面角的大小相等所以因此二面角的余弦值为…………………………12分21．解：（Ⅰ）因为，所以有所以为直角三角形；…………………………2分则有所以，…………………………3分又，………………………4分在中有即，解得所求椭圆方程为…………………………6分（II）从而将求的最大值转化为求的最大值…………………………8分是椭圆上的任一点，设，则有即又，所以………………………10分而,所以当时，取最大值故的最大值为…………………………12分11/11\n22．解：（Ⅰ）由得:时，………………………2分是等比数列，，得……4分（Ⅱ）由和得……………………6分……10分………………………11分当或时有，所以当时有那么同理可得：当时有，所以当时有………………………13分综上：当时有；当时有………………………14分本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供！11/11
