第7讲解三角形应用举例A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )．A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析 如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理得＝，∴AD＝AB·＝＝2cos10°.答案 C2．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为( )．A.B．2C.或2D．3解析 如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.答案 C3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )．A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里解析 如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝6\n，解得BC＝10(海里)．答案 A4.(2022·吉林部分重点中学质量检测)如图，两座相距60m的建筑物AB、CD的高度分别为20m、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( )．A．30°B．45°C．60°D．75°解析 依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为________千米．解析 由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理得＝，即＝，解得AC＝(千米)．答案 6.(2022·云阳模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.解析 设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理得：＝，∴v＝32nmile/h.答案 32三、解答题(共25分)7．(12分)6\n某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度．解 在△ABC中，由余弦定理得cosC＝＝，在△ABD中，由余弦定理得cosD＝＝.由∠C＝∠D，得cos∠C＝cos∠D，解得AB＝7，所以AB长度为7米．8．(13分)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解 如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，故BC＝20(海里)．由正弦定理得＝，所以sin∠ACB＝sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.易知θ＝∠ACB＋30°，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )．A．50mB．100mC．120mD．150m解析 设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC6\n＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.答案 A2.(2022·榆林模拟)如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)( )．A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析 在△ACE中，tan30°＝＝.∴AE＝(m)．在△AED中，tan45°＝＝，∴AE＝(m)，∴＝，∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3.在2022年7月12日伦敦奥运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A，B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．解析 由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，在Rt△AMN中，MN＝20sin60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案 304.(2022·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．6\n解析 由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足mcosαcosβ＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．答案 mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答题(共25分)5．(12分)(2022·肇庆二模)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1百米．(1)求△CDE的面积；(2)求A，B之间的距离．解 (1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝150°，S△CDE＝DC·CE·sin150°＝×sin30°＝×＝(平方百米)．(2)连接AB，依题意知，在Rt△ACD中，AC＝DC·tan∠ADC＝1×tan60°＝(百米)，在△BCE中，∠CBE＝180°－∠BCE－∠CEB＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理＝，得BC＝·sin∠CEB＝×sin45°＝(百米)．∵cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝×＋×＝，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，可得AB2＝()2＋()2－2××＝2－，∴AB＝百米．6\n6．(13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇．解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝＝＝.故当t＝时，Smin＝10(海里)，此时v＝＝30(海里/时)．即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.又t＝时，v＝30海里/时．故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.6
