第5讲 功能关系在力学中的应用一、选择题(共9小题，每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确．)1．如图2－5－16甲所示，电梯中将重物放在压力传感器上，电梯竖直向上运行，传感器测出支持力F随高度h变化的图象如图乙所示，则0～4m的这一过程支持力对重物做的总功为( )图2－5－16A．135JB．160JC．180JD．200J解析 支持力对重物做的总功为W总＝40×1J＋45×2J＋50×1J＝180J．只有选项C正确．答案 C2．(2022·安徽卷，15)如图2－5－17所示，有一内壁光滑的闭合椭圆形管道，置于竖直平面内，MN是通过椭圆中心O点的水平线．已知一小球从M点出发，初速率为v0，沿管道MPN运动，到N点的速率为v1，所需时间为t1；若该小球仍由M点以初速率v0出发，而沿管道MQN运动，到N点的速率为v2，所需时间为t2.则( )图2－5－17A．v1＝v2，t1＞t2B．v1＜v2，t1＞t2C．v1＝v2，t1＜t2D．v1＜v2，t1＜t2解析 由机械能守恒定律得，小球两次到达N点速率相同，即v1＝v2，画出小球由M→P→N及由M→Q→N的速率－时间图象如右图中Ⅰ、Ⅱ9\n所示．则图线与坐标轴所围成的“面积”表示小球的路程，两次的路程相等，故t1>t2，选项A正确．答案 A3．(2022·长春调研)如图2－5－18所示，水平地面上固定一个光滑轨道ABC，该轨道由两个半径均为R的圆弧、平滑连接而成，O1、O2分别为两段圆弧所对应的圆心，O1O2的连线竖直，现将一质量为m的小球(可视为质点)由轨道上A点静止释放，则小球落地点到A点的水平距离为( )图2－5－18A．2RB.RC．3RD.R解析 由题意结合机械能守恒定律，可得小球下滑至第二个四分之一圆轨道顶端时的速度大小为v＝，方向水平向右．在第二个四分之一圆轨道顶端的临界速度v0＝，由于v＞v0，所以小球将做平抛运动，结合平抛运动规律，可得小球落地点到A点的水平距离为3R，所以选项C正确．答案 C4．(2022·广东卷，16)如图2－5－19所示，是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( )图2－5－19A．缓冲器的机械能守恒B．摩擦力做功消耗机械能C．垫板的动能全部转化为内能D．弹簧的弹性势能全部转化为动能9\n解析 由于楔块与弹簧盒、垫板间有摩擦力，即摩擦力做负功，则机械能转化为内能，故A错误，B正确；垫板动能转化为内能和弹性势能，故C错误；而弹簧弹性势能也转化为动能和内能，故D错误．答案 B5．(2022·山东齐鲁名校联测)如图2－5－20所示为与水平地面夹角为θ的斜面，从斜面底端a向上有三个等间距点b1、b2和b3，即ab1＝b1b2＝b2b3.小滑块P以初速度v0从a出发，沿斜面向上运动．若斜面与滑块间无摩擦，则滑块到达b3位置刚好停下，而后下滑．若斜面ab1部分与滑块间有摩擦，其余部分与滑块间无摩擦，则滑块上滑到b2位置刚好停下，而后下滑，此后滑块( )图2－5－20A．下滑到b1位置时速度大小等于v0B．下滑到b1位置时速度大小等于v0C．回到a端时速度大小等于v0D．回到a端时速度大小等于v0解析 设每段距离为x，则斜面与滑块间无摩擦时，滑块从a到b3有，mgsinθ·3x＝mv，有摩擦力时，滑块从b2到b1有，mgsinθ·x＝mv，则v1＝v0，选项A正确；有摩擦力时，滑块从a到b2有，mgsinθ·2x＋f·x＝mv，则f＝mgsinθ，滑块从b1到a做匀速直线运动，选项C正确．答案 AC6．(2022·贵州六校联考)一个质量为m的物体以某一速度从固定斜面底端冲上倾角α＝30°的斜面，其加速度为g，该物体在斜面上上升的最大高度为h，则此过程中正确的是( )A．动能增加mghB．重力做负功mgh9\nC．机械能损失了－mghD．物体克服摩擦力做功mgh解析 假设物体受到的摩擦力为Ff，根据牛顿第二定律可得Ff＋mgsin30°＝ma，将a＝g代入求得Ff＝mg.当此物体在斜面上上升的最大高度为h时，根据动能定理可得，物体动能增加为负值，选项A错误；物体竖直上升高度h时，重力做负功mgh，选项B正确；机械能的损失等于物体克服摩擦力做的功，为mgh，选项C错误；物体克服摩擦力做功mgh，选项D正确．答案 BD7．(2022·合肥模拟)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时速率为1m/s.从此刻开始在与速度平行的方向上对其施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2－5－21甲和乙所示，则(两图取同一正方向，取重力加速度g＝10m/s2)( )图2－5－21A．滑块的质量为0.5kgB．滑块与水平地面间的动摩擦因数为0.5C．第1s内摩擦力对滑块做功为－1JD．第2s内力F的平均功率为1.5W解析 由图甲得F1＝1N，F2＝3N，由图乙知2s内滑块的加速度不变，即为a＝m/s2＝1m/s2，根据牛顿第二定律有F1＋f＝ma，F2－f＝ma，而f＝μmg，解得f＝1N，μ＝0.05，m＝2kg，选项A、B均错误；由v－t图象面积法得第1s内滑块的位移s1＝×(－1)×1m＝－0.5m，第1s内摩擦力对滑块做功为W1＝－f·|s1|＝－0.5J，选项C错误；第2s内力F的平均功率为F2·＝3×W＝1.5W，选项D正确．9\n答案 D8.如图2－5－22所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的竖直高度差为h，速度为v，则( )图2－5－22A．小球在B点动能小于mghB．由A到B小球重力势能减少mv2C．由A到B小球克服弹力做功为mghD．小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－解析 小球由A到B，高度减小h，重力做功mgh，重力势能减少mgh，弹簧伸长，弹性势能增加，故小球在B点动能小于mgh，由机械能守恒得mgh＝mv2＋Ep，可得Ep＝mgh－mv2，小球克服弹力做功应小于mgh，故B、C错误，A、D正确．答案 AD9.(2022·山东潍坊市一模)如图2－5－23所示，足够长粗糙斜面固定在水平面上，物块a通过平行于斜面的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块b相连，b的质量为m.开始时，a、b均静止且a刚好不受斜面摩擦力作用．现对b施加竖直向下的恒力F，使a、b做加速运动，则在b下降h高度过程中( )图2－5－239\nA．a的加速度为B．a的重力势能增加mghC．绳的拉力对a做的功等于a机械能的增加D．F对b做的功与摩擦力对a做的功之和等于a、b动能的增加解析 由a、b均静止且a刚好不受斜面摩擦作用知：FT＝mg，FT＝magsinθ.即：mg＝magsinθ①ΔEpa＝maghsinθ②由①②得：ΔEpa＝mgh选项B正确．当有力F作用时，物块a与斜面之间有滑动摩擦力的作用，即绳子的拉力增大，所以a的加速度小于，选项A错误；对物块a、b分别由动能定理得：WFT－magsinθ·h＋Wf＝ΔEka③WF－WFT＋mgh＝ΔEkb④由①③④式可知，选项C错、D对．答案 BD二、非选择题10．(2022·山东青岛质检)如图2－5－24所示，质量为m的小物块从高为h的坡面顶端由静止释放，滑到粗糙的水平台上，滑行距离l后，以v＝1m/s的速度从边缘O点水平抛出，击中平台右下侧挡板上的P点．以O为原点在竖直面内建立如图所示的平面直角坐标系，挡板形状满足方程y＝x2－6(单位：m)，小物块质量m＝0.4kg，坡面高度h＝0.4m，小物块从坡面上滑下时克服摩擦力做功1J，小物块与平台表面间的动摩擦因数μ＝0.1，g＝10m/s2.求：图2－5－24(1)小物块在水平台上滑行的距离l；(2)P点的坐标．解析 (1)对小物块，从释放到O点过程中由动能定理可得：9\nmgh－Wf－μmgl＝mv2则：l＝代入数据解得：l＝1m(2)小物块从O点抛出后做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则由平抛运动的规律可得：y＝－gt2①x＝vt②由①②解得小物块的轨迹方向y＝－5x2③又因为y＝x2－6④由③④得：x＝1m，y＝－5m所以P点坐标为(1m，－5m)答案 (1)1m (2)(1m，－5m)11．如图2－5－25所示为某种弹射装置的示意图，光滑的水平导轨MN右端N处与水平传送带理想连接，传送带长L＝4.0m，电动机带动皮带轮沿顺时针方向转动，传送带以速率v＝3.0m/s匀速运动．质量为m＝1.0kg的滑块置于水平导轨上，将滑块向左移动压缩弹簧，后由静止释放滑块，滑块脱离弹簧后以速度v0＝2.0m/s滑上传送带，并从传送带右端滑落至地面上的P点．已知滑块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.20，g＝10m/s2.图2－5－25(1)如果水平传送带距地面的高度为h＝0.2m，求滑块从传送带右端滑出点到落地点的水平距离是多少？(2)如果改变弹簧的压缩量，重复以上的实验，要使滑块总能落至P点，则弹簧弹性势能的最大值是多少？在传送带上最多能产生多少热量？解析 (1)滑块滑上传送带后由μmg＝ma，得加速度a＝μg＝2m/s2设滑块从滑上传送带到速度达到传送带的速度v所用的时间为t.由v＝v0＋at，得t＝0.5s9\n在时间t内滑块的位移为x＝v0t＋at2＝1.25m＜L故滑块在传送带上加速到与传送带速度相等后匀速从右端滑出根据平抛运动规律有h＝gt′2，xP＝vt′，解得xP＝0.6m.(2)滑块滑上传送带的初速度如果增大，要使滑块从传送带右端平抛的水平位移不变，而滑块滑上传送带的速度达到最大，则应满足滑块经过传送带减速运动到右端时，速度恰好为v＝3m/s由v2－v0′2＝2(－a)L，解得v0′＝5m/s故弹簧的最大弹性势能为Epm＝mv0′2＝12.5J在这种情况下滑块与传送带的相对路程最大，产生的热量最多，设相对路程为L′，则L′＝L－v·＝1m则最多能产生的热量为Qm＝μmgL′＝2J.答案 (1)0.6m (2)2J12．(2022·福建卷，21)图2－5－26为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切．点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面．一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力．图2－5－26(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程轨道摩擦力对其所做的功Wf；(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h.(提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m)9\n解析 (1)游客从B点做平抛运动，有：2R＝vBt，①R＝gt2②联立①②式，解得：vB＝③从A到B，根据动能定理，有mg(H－R)＋Wf＝mv－0④解得：Wf＝－(mgH－2mgR)⑤(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受支持力为N，从B到P由机械能守恒可得：mg(R－Rcosθ)＝mv－0⑥过P点时，根据向心力公式，有：mgcosθ－N＝m⑦N＝0，⑧cosθ＝⑨联立⑥⑦⑧⑨解得：h＝R⑩答案 (1) －(mgH－2mgR) (2)R9
