【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学8.5椭 圆练习一、选择题1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为( )A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：由题意可设椭圆的方程为＋＝1e＝＝＝∴b2＝32，故选D.答案：D2．设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A. B. C. D.解析：根据题意知|PF2|＝|F1F2|＝2c，直线PF2的倾斜角是60°，所以a－c＝c⇒e＝，所以选C.答案：C3．若点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率e＝( )A.B.C.D.解析：由·＝0得⊥.则tan∠PF1F2＝＝.设|PF2|＝m，则|PF1|＝2m，|F1F2|＝m.所以e＝＝＝.答案：A4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )5\nA.B.C.D.解析：由题意知，因为＝2，则OA＝2OF，∴a＝2c，∴e＝.答案：D5．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )A．2B．3C．6D．8解析：由椭圆＋＝1可得点F(－1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.答案：C6．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )A．必在圆x2＋y2＝2内B．必在圆x2＋y2＝2上C．必在圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能解析：∵e＝，∴＝.∵a2＝b2＋c2，∴b2＝a2.∵x1＋x2＝－，x1·x2＝－，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＝＜2.∴P点在圆x2＋y2＝2内．答案：A二、填空题7．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为______．解析：依题意得|F1F2|2＝|AF1||BF1|，即4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，整理得5c2＝a2，所以e＝＝.5\n答案：8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，∵e＝，∴＝，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，所以椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1.9．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是__________．解析：由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，由＝1，解得k＝－，所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，求得切点A(，)，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y＝－2x＋2.令y＝0得右焦点为(1,0)，令x＝0得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5，故得所求椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝1三、解答题10．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．解析：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得，∵P在圆上，∴x2＋(y)2＝25，即C的方程为＋＝1.5\n(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝，x2＝.∴线段AB的长度为|AB|＝＝＝＝.11．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点．若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．解析：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以＝2c，整理得2()2＋－1＝0.得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c.得方程组的解，，不妨设A(c，c)，B(0，－c)，所以|AB|＝＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c.圆心(－1，)到直线PF2的距离d＝＝.因为d2＋()2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16，整理得7c2＋12c－52＝0，得c＝－5\n(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.12．已知椭圆C1：＋y2＝1椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．解析：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)，其离心率为，故＝，则a＝4，故椭圆C2的方程为＋＝1.(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝又由＝2，得x＝4x，即＝，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，由＝2，得x＝，y＝，将x，y代入＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.5
