【师说高中全程复习构想】（新课标）2022届高考数学7.3合情推理与演绎推理练习一、选择题1．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2D．3答案：B2．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是( )(1) (2) (3) (4)(A) (B)A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D答案：B3．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{xn}的正周期最小时，该数列的前2022项的和是( )A．669B．670C．1339D．1340答案：D4．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是( )A．P(2022)＝403B．P(2022)＝404C．P(2022)＝403D．P(2022)＝404答案：D5．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗，各元素间运算结果如下：5\n那么d⊗(a⊕c)＝( )A．aB．bC．cD．d答案：A6．下列推理是归纳推理的是( )A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案：B二、填空题7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都是成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n＋1列的数是__________.答案：n2＋n8．已知函数f(x)＝(x＞0)．观察下列计算：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝，f3(x)＝f[f2(x)]＝，f4(x)＝f[f3(x)]＝，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝__________.解析：依题意得，f1(x)＝，f2(x)＝＝＝，f3(x)＝＝＝，5\nf4(x)＝＝＝，…，由此归纳可得fn(x)＝(x＞0)．答案：(x＞0)9．观察下列等式：(x2＋x＋1)0＝1；(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；(x2＋x＋1)3＝x6＋3x2＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；可以推测(x2＋x＋1)4的展开式中，系数最大的项是__________．答案：19x4三、解答题10．先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而a＋a≥.(1)若a1，a2，a3，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，试写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．解析：(1)若a1，a2，a3，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，求证：a＋a＋…＋a≥.(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，∵对一切x∈R恒有f(x)≥0.∴Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，a＋a＋…＋a≥.11．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，且当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解析：类似的性质为：若M、N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．证明如下：5\n设点M、P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)．因为点M(m，n)在已知双曲线上，所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．12．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．图①解析：如图①所示，由△ABD∽△CAD及射影定理知AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴＝＝＝.又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋.∴＝＋.类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想：四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则＝＋＋.图②证明：如图②，连接BE并延长交CD于点F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴＝＋.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋.5\n∴＝＋＋.5
