§2.1 数列(二) 一、基础过关1．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是________．2．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.3．若a1＝1，an＋1＝，则给出的数列{an}的第7项是______．4．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝abn－1，则b6的值是________．5．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N*，则实数λ的最小值是________．6．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，则通项公式an＝________.7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．8．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．二、能力提升9．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a20＝________.10．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是________和________．11．在数列{an}中，a1＝1，a－an＋1－1＝0，则此数列的前2013项之和为________．12．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．三、探究与拓展13．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求{an}的通项公式．答案1. 2. 3. 4.33 5.－36．－7．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.8．(1)解 因为f(x)＝2x－2－x，-2-\nf(log2an)＝－2n，所以2log2an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.因为an>0，所以an＝－n.(2)证明 ＝＝<1.又因为an>0，所以an＋1<an，所以数列{an}是递减数列．9．－10．a10 a911．－100512．解 ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋＝n＋1.∴＝n＋1，∴an＝.13．解 ∵(n＋1)a－na＋anan＋1＝0，∴[(n＋1)an＋1－nan]·(an＋1＋an)＝0，∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.＝.∴····…·＝····…·，∴＝.又∵a1＝1，∴an＝a1＝.-2-
