第5练 如何用好基本不等式题型一 利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1 (1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为________．(2)函数y＝的最大值为________．破题切入点 (1)利用基本不等式确定取得最小值时x，y，z之间的关系，进而可求得x＋2y－z的最大值．(2)可采用换元法，将函数解析式进行变形，利用基本不等式求解最值．答案 (1)2 (2)解析 (1)＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t>0，即x>1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．题型二 利用基本不等式求最值的综合性问题例2 如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．-6-\n(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d＝，求d的最大值．破题切入点 (1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值．解 (1)y2＝2px(p>0)的准线x＝－，∴1－(－)＝，p＝，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t,1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1,1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)．且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝·|y1－y2|＝·＝2∴d＝＝2≤m＋(1－m)＝1，当且仅当m＝1－m，即m＝时，上式等号成立．又m＝满足Δ＝4m－4m2>0，∴d的最大值为1.总结提高 (1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．-6-\n(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则a，，v的大小关系为________．答案 a<v<解析 设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝＝＝<＝.又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.2．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.答案 3解析 ∵x>2，∴f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，即a＝3，f(x)min＝4.3．(2022·南通模拟)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________．答案 4解析 因为3a·3b＝3，所以a＋b＝1.＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立．4．已知m＝a＋(a>2)，n＝x－2(x≥)，则m与n之间的大小关系为________．答案 m≥n解析 m＝a＋＝(a－2)＋＋2≥4(a>2)，当且仅当a＝3时，等号成立．由x≥得x2≥，-6-\n∴n＝x－2＝≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.5．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．答案 2解析 ∵x>0，y>0，∴x＋2y≥2(当且仅当x＝2y时取等号)．又由x＋2≤λ(x＋y)可得λ≥，而≤＝2，∴当且仅当x＝2y时，max＝2.∴λ的最小值为2.6．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________．答案 16解析 因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得m≤(＋)(3a＋b)＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.7．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．答案 18解析 ∵x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，∴2＋6≤xy，即xy－2－6≥0，解得xy≥18.∴xy的最小值是18.8．已知a>0，b>0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．答案 16解析 根据函数f(x)是偶函数可得ab－a－4b＝0，函数f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为ab.由ab－a－4b＝0，得ab＝a＋4b≥4，解得ab≥16(当且仅当a＝8，b＝2时等号成立)，即f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为16.9．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．答案 解析 ∵a≥＝对任意x>0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥-6-\n恒成立即可．∵x>0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知0<≤，∴a≥.10．(1)已知0<x<，求y＝2x－5x2的最大值；(2)求函数y＝(x>－1)的最小值．解 (1)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)．∵0<x<，∴5x<2,2－5x>0，∴5x(2－5x)≤()2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，ymax＝.(2)设x＋1＝t，则x＝t－1(t>0)，∴y＝＝t＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当t＝，即t＝2，且此时x＝1时，取等号，∴ymin＝9.11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，又k>0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标⇔存在k>0，-6-\n使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇔0<a≤6.所以当a不超过6千米时，可击中目标．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解 (1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1000＝720000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1000＝20000(元)＝2(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y＝f(x)＝72x＋×2＋100＝x2＋71x＋100，综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝＝＝＝10x＋＋710≥2＋710＝910.当且仅当10x＝，即x＝10时等号成立．综上，可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．-6-
