第2讲 常考的数列综合问题数列通项公式的求解问题例2 设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．审题破题 (1)可令n＝1，n＝2得关系式联立求a1；(2)由已知可得n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减．解 (1)当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，②又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)，③由①②③解得a1＝1.(2)∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减得an＋1－3an＝2n，则－·＝1，即＋2＝.又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，∴an＝3n－2n.第一步：令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的两个方程，和已知a1，a2，a3的关系联立求a1；第二步：令n≥2得关系式后，利用作差得an＋1，an的关系；第三步：构造等比数列，并求出通项；第四步：求出数列{an}的通项．跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．(1)解 在Sn＝2an＋(－1)n，n≥1中分别令n＝1,2,3，得解得(2)证明 由Sn＝2an＋(－1)n，n≥1，得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2.两式相减得an＝2an－1－2(－1)n，n≥2.4\nan＝2an－1－(－1)n－(－1)n＝2an－1＋(－1)n－1－(－1)n，∴an＋(－1)n＝2(n≥2)．故数列是以a1－＝为首项，公比为2的等比数列．所以an＋(－1)n＝×2n－1，∴an＝×2n－1－×(－1)n.数列求和问题例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn.审题破题 (1)由Sn的最大值，可根据二次函数性质求k，因而确定an；(2)利用错位相减法求和．解 (1)当n＝k∈N*时，Sn＝－n2＋kn取最大值，即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，从而an＝Sn－Sn－1＝－n(n≥2)．又a1＝S1＝，所以an＝－n.(2)设bn＝＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－＝4－－＝4－.第一步：利用条件求数列{bn}的通项公式；第二步：写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式；4\n第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)；第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易忽视对n＝1，n≥2时的讨论.跟踪训练3 已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的前n项和为f(n)－c.数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？解 (1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.由题意知，a1＝f(1)－c＝－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.又数列{an}是等比数列，∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.又公比q＝＝，∴an＝－·n－1＝－2·n(n∈N*)．∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)＝＋(n≥2)．又bn>0，>0，∴－＝1.∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．∴bn＝2n－1(n∈N*)．(2)Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝×＋×＋×＋…＋×＝×＝.由Tn＝>，得n>，4\n∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.4
