第3讲 空间中的平行与垂直问题例4 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.审题破题 (1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．证明 (1)连结AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，∴在△CPA中，EF∥PA，又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，即PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD，又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.第一步：将题目条件和图形结合起来；第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.跟踪训练4 (2022·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．3\n(1)求证：CE∥平面PAD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.证明 (1)方法一 取PA的中点H，连结EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.所以CE∥平面PAD.方法二 连结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝AB.又CD＝AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD，又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，3\n又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.3
