第6讲 圆锥曲线中的定点、定值问题例7 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)利用待定系数法求E的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得解得所以b2＝a2－c2＝1.所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，所以·＝－m·＋m2－＝.因为对于任意的k值，·为定值，所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.所以M，此时·＝－.②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，由m＝，得·＝－.2\n综上，符合条件的点M存在，且坐标为.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，y)＝0与g(x，y)＝0的交点；第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练7 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．(1)解 由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F到直线l的距离为，所以＝，解得k＝±，所以直线l的斜率为±.(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，联立方程得消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝，因为N为线段AB的中点，所以＝y0，即＝y0，所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.2
