【走向高考】2022届高三数学一轮基础巩固第1章第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”北师大版一、选择题1．(文)(2022·湖南高考改编)设命题p：任意x∈R，x2＋1>0，则非p为( )A．存在x0∈R，x＋1>0B．存在x0∈R，x＋1≤0C．任意x0∈R，x＋1<0 D．任意x∈R，x2＋1≤0[答案] B[解析] 全称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“存在x0∈R，x＋1≤0”，所以选B.(理)(2022·湖南高考改编)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(非q)；④(非p)或q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③ D．②④[答案] C[解析] 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p且q为假命题，②p或q为真命题，③非q为真命题，则p且(非q)为真命题，④非p为假命题，则(非p)或q为假命题，所以选C.2．(文)若p是真命题，q是假命题，则( )A．p且q是真命题 B．p或q是假命题C．非p是真命题 D．非q是真命题[答案] D[解析] 根据命题真值表知，q是假命题，非q是真命题．(理)命题p：x2＋y2<0；q：x2＋y2≥0.下列命题为假命题的是( )A．p或qB．p且qC．q D．非p[答案] B[解析] 命题p为假，命题q为真，故p且q为假．3．如果命题“非(p或q)”是假命题，则下列命题中正确的是( )A．p、q均为真命题B．p、q中至少有一个为真命题C．p、q均为假命题D．p、q中至多有一个为真命题[答案] B[解析] “非(p或q)”是假命题，则命题“p或q”为真，所以p、q中至少有一个为真命题．4．(2022·新课标Ⅰ)已知命题p：任意x∈R,2x<3x；命题q：存在x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )A．p且qB．非p且qC．p且非q D．非p且非q[答案] B-5-\n[解析] 本题考查由“且”构成的复合命题的真假．由函数y＝2x与y＝3x的图像可判断，当x<0时，2x>3x，p为假，非p为真；由函数y＝x3与y＝1－x2的图像可判断q为真命题，所以非p且q为真命题，选B.5．(2022·天津高考)已知命题p：任意x>0，总有(x＋1)ex>1，则非p为( )A．存在x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．存在x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．任意x>0，总有(x＋1)ex≤1D．任意x≤0，总有(x＋1)ex≤1[答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.6．下列各组命题中，满足“p或q为真”，且“非p为真”的是( )A．p：0＝∅；q：0∈∅B．p：在△ABC中，若cos2A＝cos2B，则A＝B；q：y＝sinx在第一象限是增函数C．p：a＋b≥2(a，b∈R)；q：不等式|x|>x的解集为(－∞，0)D．p：圆(x－1)2＋(y－2)2＝1的面积被直线x＝1平分；q：椭圆＋＝1的离心率为e＝[答案] C[解析] A中，p、q均为假，故“p或q为假”，排除A；B中，cos2A＝cos2B⇔1－2sin2A＝1－2sin2B⇔sin2A－sin2B＝0⇔(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝0⇒A－B＝0，故p为真，从而“非p”为假，排除B；C中，p为假，从而“非p”为真，q为真，从而“p或q”为真；D中，p为真，故非p为假．二、填空题7．(文)“若a∉M或a∉P，则a∉M∩P”的逆否命题是__________________________．[答案] 若a∈M∩P，则a∈M且a∈P[解析] 命题“若p则q”的逆否命题是“若非q则非p”，本题中“a∉M或a∉P”的否定是“a∈M且a∈P”．(理)命题“如果＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆否命题为________．[答案] 如果x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠08．命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是________．(填上你认为正确的所有序号)[答案] ①④⑤⑥[解析] p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}，p假q真，故①④⑤⑥正确．9．(文)命题“存在x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．[答案] [－2，2][解析] 由题意知命题“任意x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，所以只需Δ＝9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.(理)已知命题p：任意x∈R，ax2＋2x＋3>0，如果命题非p是真命题，那么实数a的取值范围是________．[答案] a≤-5-\n[解析] 因为命题非p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2＋2x＋3>0对一切x∈R恒成立，这时应有，解得a>，因此当命题p是假命题，即命题非p是真命题时实数a的取值范围是a≤.三、解答题10．已知命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；命题q：存在实数m，使方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．[分析] 利用已知条件构造关于m的不等式组，进而求得m的取值范围，注意命题真假的要求．[解析] 存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则，解得m>2，即m>2时，p真．存在实数m，使方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，解得1<m<3，即1<m<3时，q真．因“p或q”为真，所以命题p、q至少有一个为真，又“p且q”为假，所以命题p、q至少有一个为假，因此，命题p、q应为一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真．∴或，解得m≥3或1<m≤2.所以m的取值范围是m≥3或1<m≤2.一、选择题1．下列命题：①任意x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则>”的逆否命题是真命题；④若命题p：任意x∈R，x2＋1≥1，命题q：存在x∈R，x2－x－1≤0，则命题p且(非q)是真命题．其中真命题为( )A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④[答案] A[解析] 由x2＋2x>4x－3推得x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立，故①正确；根据基本不等式可知要使不等式log2x＋logx2≥2成立需要x>1，故②正确；由a>b>0得0<<，又c<0，可得>，则可知其逆否命题为真命题，故③正确；④命题p是真命题，命题q是真命题，所以p且(非q)为假命题．所以选A.2．(2022·乐平模拟)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是( )A．任意a∈R,f(x)在(0，＋∞)上是增函数-5-\nB．任意a∈R,f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．存在a∈R,f(x)是偶函数D．存在a∈R,f(x)是奇函数[答案] C[解析] 对于A，只有当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，当a≤0时不成立；对于D，不存在a(a∈R)，使f(x)是奇函数，因此只有C是正确的，即当a＝0时，有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．二、填空题3．给定下列几个命题：①“x＝”是“sinx＝”的充分不必要条件；②若“p或q”为真，则“p且q”为真；③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题．其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序列号)[答案] ①③[解析] ①中，若x＝，则sinx＝，但sinx＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．故“x＝”是“sinx＝”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p为假命题，q为真命题，有“p或q”为真命题，而“p且q”为假命题，故②为假命题；③为真命题．4．命题：“任意x∈R，存在m∈Z，m2－m<x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)[答案] 真[解析] 由于任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋≥，因此只需m2－m<，即－<m<，所以当m＝0或m＝1时，任意x∈R，m2－m<x2＋x＋1成立，因此命题是真命题．三、解答题5．判断下列命题的真假．(1)对任意的x，y都有x2＋y2≥2xy；(2)所有四边形的两条对角线都互相平分；(3)存在实数a≠2且b≠－1，使a2＋b2－4a＋2b≤－5；(4)存在实数x使函数f(x)＝x＋(x>0)取得最小值4.[解析] (1)是真命题，因为对任意实数x，y，都有x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0，∴x2＋y2≥2xy.(2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件．(3)是假命题，因为a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2≥0，当且仅当a＝2，b＝－1时等号成立，所以不存在实数a，b，使(a－2)2＋(b＋1)2<0，即不存在实数a≠2且b≠－1使a2＋b2－4a＋2b≤－5.(4)是真命题，因为存在实数x＝2>0，使函数f(x)＝x＋(x>0)取得最小值4.6．(文)设命题p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增；q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．-5-\n[解析] 当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，所以Δ＝4－4loga<0，解得1<a<.由于p或q为真，则p和q中至少有一个为真；又由于p且q为假，则p和q中至少有一个为假，所以p和q中一真一假，当p假q真时，不存在符合条件的实数a；p真q假时，a≥.综上所述，实数a的取值范围是a≥.(理)已知c>0，设p：函数y＝cx在R上递减；q：不等式x＋|x－2c|>1的解集为R，如果“p或q”为真，且“(非p)或(非q)”也为真，求c的范围．[分析] [解析] 由p知0<c<1；设f(x)＝x＋|x－2c|＝所以f(x)的最小值为2c，即2c>1⇔c>，由于p或q为真，所以p和q中至少有一个为真，又“(非p)或(非q)”也为真，所以非p和非q中至少有一个为真，即p和q中至少有一个为假，故p和q中一真一假，所以p真q假或p假q真；若p真q假，则c的范围是(0,1)∩＝；若p假q真，则c的范围是[1，＋∞)∩＝[1，＋∞)；因此c的范围是∪[1，＋∞)．-5-
