第2讲 数列的求和及综合应用一、选择题1.已知数列1，3，5，7，…，则其前n项和Sn为( )A.n2＋1－B.n2＋2－C.n2＋1－D.n2＋2－解析 因为an＝2n－1＋，则Sn＝n＋＝n2＋1－.另解：用特值验证.答案 A2.(2022·青岛模拟)数列{an}满足a1＝2，an＝，其前n项积为Tn，则T2015＝( )A.B.－C.3D.－3解析 由an＝⇒an＋1＝，所以a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，因此可推知数列{an}的项具有周期性，且一个周期内的四项之积为1.因为2015＝4×503＋3，且a2013＝a1＝2，a2014＝a2＝－3，a2015＝a3＝－.则T2015＝2×(－3)×＝3.答案 C3.(2022·南昌模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝( )A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn解析 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnn－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋lnn.答案 A4.(2022·临汾模拟)＋＋＋…＋的值为( )A.B.－5\nC.－D.－＋解析 ∵＝＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝＝－.答案 C5.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn＝anan＋1，则a2k＝( )A.B.C.D.解析 当n＝1时，3S1＝a1a2，即3a1＝a1a2，∴a2＝3，当n≥2时，由3Sn＝anan＋1，可得3Sn－1＝an－1an，两式相减得：3an＝an(an＋1－an－1).∵an≠0，∴an＋1－an－1＝3，∴{a2n}为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴a2k＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝3n＋×3＝，选B.答案 B二、填空题6.(2022·全国Ⅱ卷)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝____________.解析 由题意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，所以Sn≠0，所以＝1，即－＝－1，故数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－.答案 －5\n7.(2022·江苏卷)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.解析 ∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.答案 8.设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，则(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.解析 (1)当n＝1时，S1＝(－1)a1－，得a1＝－.当n≥2时，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.当n为偶数时，Sn－1＝－，当n为奇数时，Sn＝Sn－1－，从而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，则S3＝S2＋a3＝a3＝－.(2)由(1)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－，又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，故S1＋S2＋…＋S100＝.答案 (1)－ (2)三、解答题9.(2022·湖北卷)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；5\n(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.解 (1)由题意有即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.10.(2022·四川卷)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值.解 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，所以q＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n.5\n(2)由(1)得＝，所以Tn＝＋＋…＋＝＝1－.由|Tn－1|＜，得＜，即2n＞1000，因为29＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.11.(2022·石家庄模拟)已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和.解 (1)∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，当n≥2时，Sn＝2an－，Sn－1＝2an－1－，两式相减得：an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，所以数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，即an＝×2n－1＝2n－2.(2)∵bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)＝(log222n＋1－2)×(log222n＋3－2)＝(2n－1)(2n＋1)，∴＝×＝，∴数列的前n项和Tn＝＋＋＋…＋＝＝＝.5
