[第9讲 三角恒等变换与解三角形](时间：5分钟＋40分钟)基础演练1．计算sin47°cos17°－cos47°cos73°的结果为( )A．B．C．D．2．在△ABC中，“A<B”是“sin2A<sin2B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．计算的结果为( )A．－2B．2C．－1D．14．在△ABC中，若tanA·tanB<1，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝60°，b＝，则△ABC周长的最大值为________.提升训练6．若tanα＝3，则sin的值为( )A．－B．C．D．7．已知sin(π－2x)－1＝cos2x(0<x<π)，则tan2x的值是( )A．－B．C．－D．8．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向的水平直线上选择A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β.已知AB＝a，0＜β＜α＜，则水塔CD的高度为( )A．B．C．-5-\nD．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )A．30°B．60°C．120°D．150°10．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝sinAsinC，则B＝________.11．在△ABC中，C＝60°，AB＝，AB边上的高为，则AC＋BC＝________.12．三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin＝，b＝1，S△ABC＝，则＝________.13．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π).(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值.14．已知向量a＝(2sinx，sinx)，b＝(sinx，2cosx)，函数f(x)＝a·B．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB＝bcosC＋ccosB，若对任意满足条件的A，不等式f(A)＋m＞0恒成立，求实数m的取值范围.15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC＝(2a－c)cosB．(1)求角B的大小；(2)求sinA＋sinC的取值范围.-5-\n专题限时集训(九)【基础演练】1．A [解析]sin47°cos17°－cos47°cos73°＝sin47°cos17°－cos47°sin17°＝sin30°＝.2．C [解析]根据三角形边角关系知“A<B”即“a<b”，根据正弦定理知，“a<b”即“sinA<sinB”，又在三角形中sinA，sinB都恒大于0，所以“sin2A<sin2B”；反之也成立，所以，“A<B”是“sin2A<sin2B”的充要条件．3．D [解析]＝＝＝1.4．C [解析]由tanA·tanB<1得1－tanA·tanB>0，当tanA<0或tanB<0时，三角形ABC为钝角三角形，当tanA>0且tanB>0，即角A，B都是锐角时，tanC＝tan＝－tan(A＋B)＝－<0，则角C为钝角，所以三角形ABC为钝角三角形．5．3 [解析]在△ABC中，由题意()2＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac≥(a＋c)2－3(当a＝c时取等号)，则a＋c≤2.又b＝，所以△ABC周长的最大值为3.【提升训练】6．A [解析]sin＝sin2αcos＋cos2αsin＝·＝·＝×＝－.7．A [解析]由sin(π－2x)－1＝cos2x得sin2x＝1＋cos2x，即sinxcosx＝2cos2x，得tanx＝2，所以tan2x＝＝－.8．B [解析]如图所示，△ABD中，∠ADB＝α－β，由正弦定理得＝，所以AD＝.在Rt△ACD中，CD＝ADsinα＝.9．A [解析]由正弦定理得c＝2b，则cosA＝＝＝＝.-5-\n∴A＝30°.10． [解析]由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac，所以＝，即cosB＝，所以B＝.11． [解析]三角形ABC的面积S＝××＝，又S＝AC·BC·sinC，得AC·BC＝，所以AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝(AC＋BC)2－3AC·BC，即(AC＋BC)2＝3＋3×＝11，所以AC＋BC＝.12．2 [解析]由sin＝，0＜A＜π得2A＋＝π，所以A＝.又S△ABC＝，即bcsinA＝×1×c×＝，得c＝2，所以a2＝c2＋b2－2cbcosA＝3，解得a＝，所以＝＝＝2.13．解：(1)由cosβ＝，β∈(0，π)，得sinβ＝，所以tanβ＝2，于是tan(α＋β)＝＝＝1.(2)因为tanα＝－，α∈(0，π)，所以sinα＝，cosα＝－故f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)＝sinxcosα－cosxsinα＋cosxcosβ－sinxsinβ，即f(x)＝－sinx－cosx＋cosx－sinx＝－sinx，所以f(x)的最大值为.14．解：(1)f(x)＝a·b＝2sin2x＋2sinx·cosx＝sin2x－cos2x＋1＝2sin＋1，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z，(2)2acosB＝bcosC＋ccosB，由正弦定理得2cosBsinA＝sinBcosC＋cosBsinC，2cosBsinA＝sin(B＋C)＝sinA.∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴cosB＝，-5-\n又∵0＜B＜π，∴B＝，∴0＜A＜.∴－<2A－＜，∴－＜sin≤1，0＜2sin＋1≤3，∴f(A)＝2sin＋1∈(0，3]，不等式f(A)＋m＞0恒成立，∴m＞－f(A)恒成立，又∵－f(A)＜0，∴m≥0，m的取值范围是[0，＋∞)．15．解：(1)在△ABC中，∵bcosC＝(2a－c)cosB，由正弦定理，得sinBcosC＝(2sinA－sinC)cosB.∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sinA.∵0<A<π，∴sinA≠0，∴cosB＝.∵0＜B＜π，∴B＝.(2)由(1)得C＝－A，且0<A<，∴sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋cosA＝sin.∵<A＋<，∴sin∈.∴sinA＋sinC的取值范围是.-5-
