专题能力训练7 三角恒等变换与解三角形(时间:60分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知=-,则cosα+sinα等于( ) A.-B.C.D.-2.(2022浙江嘉兴二测,文5)若sinθ+cosθ=,θ∈[0,π],则tanθ=( )A.-B.C.-2D.23.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,则b等于( )A.B.C.D.4.(2022浙江诸暨质检,文4)已知cos,则sin2α=( )A.B.C.±D.±5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA,则角B的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acosC,bcosB,ccosA成等差数列,若b=,则a+c的最大值为( )A.B.3C.2D.97.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )A.5B.C.2D.1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.(2022浙江杭州二中仿真,文10)已知0<α<,-<β<0,cos(α-β)=,且tanα=,则cosα= ,sinβ= . 9.(2022浙江重点中学协作体二适,文14)在△ABC中,若sinA=2cosBcosC,则tanB+tanC= . 10.若α∈,则的最大值为 . 11.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为 . 三、解答题(本大题共3小题,共45分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)12.(本小题满分14分)(2022广东,文16)已知tanα=2.(1)求tan的值;(2)求的值.5\n13.(本小题满分15分)(2022浙江嘉兴教学测试(二),文16)三角形ABC中,已知sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,其中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)求角C的大小;(2)求的取值范围.14.(本小题满分16分)(2022湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA.(1)证明:sinB=cosA;(2)若sinC-sinAcosB=,且B为钝角,求A,B,C.5\n参考答案专题能力训练7 三角恒等变换与解三角形1.D 解析:由=-可得-(sinα+cosα).故cosα+sinα=-.2.C 解析:∵sinθ+cosθ=,∴(sinθ+cosθ)2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=,因此得2sinθcosθ=-<0.又θ∈[0,π],∴sinθ>0,cosθ<0,因此θ∈.∵(sinθ-cosθ)2=sin2θ+cos2θ-2sinθcosθ=,由于sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ=.又sinθ+cosθ=,∴sinθ=,cosθ=-,得tanθ==-2.故选C.3.C 解析:因为cosA=,所以sinA=.所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=.由正弦定理,得b=×sin45°=.4.B 解析:sin2α=cos=2cos2-1=2×-1=.故选B.5.A 解析:由正弦定理及(b-c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac.又因为cosB=,所以cosB=.所以B=30°.6.C 解析:∵acosC,bcosB,ccosA成等差数列,∴2bcosB=acosC+ccosA.∴2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA.∴2sinBcosB=sin(A+C).∴2sinBcosB=sinB.∵sinB≠0,∴cosB=.又∵0<B<π,∴B=.∵b2=a2+c2-2accosB,即a2+c2-ac=3,又ac≤,当且仅当a=c时取等号,∴,即(a+c)2≤12.∴a+c≤2.7.B 解析:由题意知S△ABC=AB·BC·sinB,即×1×sinB,解得sinB=.5\n于是得B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+()2-2×1×=1.此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=12+()2-2×1×=5,解得AC=.符合题意.故选B.8. - 解析:因为tanα=,所以sinα=cosα.①因为sin2α+cos2α=1,②0<α<,由①②联立解得cosα=,所以sinα=.又-<β<0,所以0<α-β<π,sin(α-β)=.所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)==-.9.2 解析:因为在△ABC中,sinA=2cosBcosC,所以sin(B+C)=2cosBcosC,tanB+tanC==2.10. 解析:∵α∈,∴tanα∈(0,+∞).∴,当且仅当tanα=时等号成立.11. 解析:由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cosA=.∴sinA=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=bc·sinA≤,即(S△ABC)max=.12.解:(1)tan==-3.(2)=5\n===1.13.解:(1)由题意结合正弦定理得a2+b2-c2=-ab,于是由余弦定理可得cosC==-,故C=.(2)由正弦定理得(sinA+sinB).∵A+B=,∴B=-A.∴sinA+sinB=sinA+sin=sin.∵0<A<,∴<A+.∴sinA+sinB∈.∴.14.解:(1)由a=btanA及正弦定理,得,所以sinB=cosA.(2)因为sinC-sinAcosB=sin[180°-(A+B)]-sinAcosB=sin(A+B)-sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=cosAsinB,所以cosAsinB=.由(1)sinB=cosA,因此sin2B=.又B为钝角,所以sinB=,故B=120°.由cosA=sinB=知A=30°.从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.5
