【高考领航】2022高考数学总复习2-2函数的单调性与最值练习苏教版【A组】一、填空题1．(2022·高考辽宁卷)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为________．解析：令函数g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，因此，g(x)在R上是增函数，又因为g(－1)＝f(－1)＋2－4＝2＋2－4＝0.所以，原不等式可化为：g(x)＞g(－1)，由g(x)的单调性，可得x＞－1.答案：(－1，＋∞)2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x取值范围是________．解析：由题意可知|2x－1|＜，解得＜x＜.答案：3．函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调减区间是_______．解析：∵0＜a＜1，∴u＝logax在(0，＋∞)上为减函数，根据复合函数的单调性及图象知，若f(x)为增函数，则g(x)为减函数，故0≤logax≤，∴≤x≤1，∴单调减区间为[，1]．答案：[，1]4．(2022·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为________．①y＝cos2x，x∈R②y＝log2|x|，x∈R且x≠0③y＝，x∈R6\n④y＝x3＋1，x∈R解析：由偶函数及增函数定义及性质可知，应填②.答案：②5．函数f(x)＝的最大值为________．解析：当x>0时，＝＝＝＋，当且仅当＝即x＝1时取“＝”，故≥2，所以0<f(x)≤；当x＝0时，f(x)＝0，所以0≤f(x)≤.答案：6．(2022·江阴市重点高中高考数学模拟试题)函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f(x)在[a，b]上的值域为[－b，－a]，那么y＝f(x)叫做对称函数，现有f(x)＝－k是对称函数，那么k的取值范围是________．解析：由于f(x)＝－k在(－∞，2]上是减函数，所以⇒关于x的方程－k＝－x在(－∞，2]上有两个不同实根．通过换元结合图象可得k∈[2，)答案：[2，)7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，对正实数x，y都有：f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．则不等式f(log2x)<0的解集为________．解析：令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝0，则f(log2x)<0，即为f(log2x)<f(1)，于是0<log2x<1，解集为{x|1<x<2}，故填{x|1<x<2}．答案：{x|1<x<2}二、解答题8．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．(1)如果函数y＝x＋在(0,4]上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；(2)设常数c∈[1,4]，求函数f(x)＝x＋(1≤x≤2)的最大值和最小值．解：(1)b＝4.(2)∵c∈[1,4]，∴∈[1,2]，6\n又∵f(x)＝x＋在(0，]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数，∵在x∈[1,2]上，当x＝时，函数取得最小值2.又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，f(2)－f(1)＝1－.∴当c∈[1,2)时，f(2)－f(1)＞0，∴f(2)＞f(1)，∴f(x)的最大值为f(2)＝2＋；当c∈(2,4]时，f(2)－f(1)＜0，f(2)＜f(1)，∴f(x)的最大值为f(1)＝1＋c；当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)，∴f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.9．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x－2)．(1)求f(－1)，f(2.5)的值；(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f(x)在[－3,3]上的单调性；(3)求出f(x)在[－3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．解：(1)f(－1)＝kf(1)＝－k，∵f(0.5)＝kf(2.5)，∴f(2.5)＝f(0.5)＝(0.5－2)×0.5＝－.(2)∵对任意实数x，f(x)＝kf(x＋2)，∴f(x－2)＝kf(x)，∴f(x)＝f(x－2)．当－2≤x<0时，0≤x＋2<2，f(x)＝kf(x＋2)＝kx(x＋2)；当－3≤x<－2时，－1≤x＋2<0，f(x)＝kf(x＋2)＝k2(x＋2)(x＋4)；当2≤x≤3时，0≤x－2≤1，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)(x－4)．故f(x)＝∵k<0，6\n∴f(x)在[－3，－1]与[1,3]上为增函数，在[－1,1]上为减函数．(3)由函数f(x)在[－3,3]上的单调性可知，f(x)在x＝－3或x＝1处取得最小值f(－3)＝－k2或f(1)＝－1，而在x＝－1或x＝3处取得最大值f(－1)＝－k或f(3)＝－.故有①k<－1时，f(x)在x＝－3处取得最小值f(－3)＝－k2，在x＝－1处取得最大值f(－1)＝－k；②k＝－1时，f(x)在x＝－3与x＝1处取得最小值f(－3)＝f(1)＝－1，在x＝－1与x＝3处取得最大值f(－1)＝f(3)＝1；③－1<k<0时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝－1，在x＝3处取得最大值f(3)＝－.【B组】一、填空题1．(2022·宿迁质检)函数y＝x－|1－x|的单调增区间为________．答案：(－∞，1]2．(2022·徐州调研)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调减区间为________．答案：(－∞，－1)3．(2022·孝感调研)函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________，最大值为________．答案：，14．(2022·高考安徽卷)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.解析：∵f(x)＝∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，∴－＝3，∴a＝－6.答案：－65．(2022·高考上海卷)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝e|x－a|＝∴f(x)在[a，＋∞)上为增函数，则[1，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤1.答案：(－∞，1]6．(2022·高考江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．6\n解析：要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，当x>－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是.答案：7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．解析：y＝－(x－3)|x|＝作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：二、解答题8．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：任设x1<x2<－2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2)任设1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.6\n∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1]．9．(2022·南京模拟)已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝.(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．最小值为f(1)＝a＋3.要使f(x)>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3>0，即a>－3，∴－3<a≤0.②当0<a≤1时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，f(x)min＝f(1)＝a＋3.∴a＋3>0，a>－3.∴0<a≤1.③当a>1时，f(x)在[1，]上为减函数，在(，＋∞)上为增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上的最小值是f()＝2＋2，2＋2>0，显然成立．综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3，＋∞)．6
