七、选修3－5计算题(2022·新课标全国Ⅰ·35(2))(11分)如图15所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间．A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态．现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性的．图15规范解析 设A运动的初速度为v0，A向右运动与C发生碰撞，由动量守恒定律得mv0＝mv1＋Mv2①由机械能守恒定律得mv＝mv＋Mv②可得v1＝v0③v2＝v0④要使A与B能发生碰撞，需要满足v1＜0，即m＜MA反向向左运动与B发生碰撞过程，有mv1＝mv3＋Mv4mv＝mv＋Mv整理可得v3＝v1，v4＝v1⑤由于m＜M，所以A还会向右运动，根据要求不发生第二次碰撞，需要满足v3≤v2⑥即v0≥v1＝()2v0整理可得m2＋4Mm≥M2⑦解方程可得m≥(－2)M⑧另一解m≤－(＋2)M舍去所以使A只与B、C各发生一次碰撞，须满足(－2)M≤m＜M⑨3\n答案 (－2)M≤m＜M评分细则 1.①②式各2分，③④⑤⑥⑦⑧⑨式各1分．2．①②式任缺一式，③④式即使正确也不得分．3．若没有⑤式以后的各式，能写出要使得A与B发生碰撞，需要满足v1<0，即m<M的得1分．4．若没有⑤式，能写出mv1＝mv3＋Mv4，mv＝mv＋Mv可得1分，⑤式只写出v3＝v1也可得1分．5．若没有⑦式，只要⑧式正确，⑧式可得2分．6．另一解m≤－(＋2)M舍去，不占分，但若不写则扣1分．答题规则 1.审题要规范：能使A只与B、C各发生一次碰撞的临界条件是A与C碰后被反弹，A与B碰后，A的速度小于C的速度．2．思维要规范：由于A的初速度向右，A和C先碰，然后A和B再碰，两次都是弹性碰撞，动量守恒、机械能也守恒，不要遗漏；初速度v0的物体与静止的物体弹性碰撞后，二者速度的表达式要熟记，以节约考场上的计算时间．3．解答要规范：书写方程式要有理有据，每个关系式或以物理规律为依据，或以题中给出的关系为依据，避免主观臆想的关系式；对计算结果进行合理性分析，是否符合实际情况，不合理的结果要说明情况后舍去，避免在结果上无谓失分；对最后的结果要考虑全面，同时满足两种情况时要注意取交集．(2022·绥化市二模)如图16所示，光滑水平面上有一平板车，车上固定一竖直直杆，杆的最高点O通过一长为L的轻绳拴接一个可视为质点的小球，小球的质量为小车(包括杆的质量)质量的一半，悬点O距离地面的高度为2L，轻绳水平时，小球与小车速度均为零．释放小球，当小球运动到最低点时，轻绳断开．重力加速度为g.求：图16(1)小球运动到最低点时的速度大小；(2)小球从释放到落地的过程中，小车向右移动的距离．3\n学生用书答案精析七、选修3－5计算题规范体验(1) (2)L解析 (1)小球下落过程中，小球与车组成的系统，水平方向动量守恒，系统机械能守恒，设小球到最低点时的速率为v1，小车的速率为v2，由机械能守恒定律和动量守恒可得：mv1＝2mv2mgL＝mv＋2mv得v1＝，v2＝(2)设小球下落的过程中，车向右移动的距离为x2，小球向左移动的距离为x1，则有：mx1＝2mx2且x1＋x2＝L设小球从最低点到落到地面经历的时间为t，则有L＝gt2从绳断到小球落地，车向右运动的距离为x2′＝v2t＝L所以，小车向右移动的总距离为x＝x2＋x2′＝L.3
