【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题2函数的概念、图象与性质一、选择题1．(文)(2022·新课标Ⅰ文，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选C.[方法点拨] 函数奇偶性判定方法：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．(理)(2022·安徽理，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1[答案] A[解析] 考查函数的奇偶性和函数零点的概念．由选项可知，B，C项均不是偶函数，故排除B，C；A，D项是偶函数，但D项与x轴没有交点，即D项的函数不存在零点，故选A.2．(文)函数f(x)＝＋的定义域为( )A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1][答案] A11\n[解析] 本题考查了定义域的求法．由题意知即即∴－3<x≤0，∴f(x)定义域为(－3,0]．(理)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为( )A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案] C[解析] 本题考查函数定义域的求法．由题设得x2－x>0，解得x<0或x>1，选C.[方法点拨] 1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数；②f(x)是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③f(x)为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2．高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查，这时一般应从外到内逐层剥离解决．例如，y＝，从总体上看是分式，故先由分母不为0得到≠0，再由偶次方根下非负得到2－log3x>0，即log3x<2，最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到0<x<9.3．(2022·山东理，10)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )A.B．[0,1]C.D．[1，＋∞)[答案] C[解析] 当a≥1时，f(a)＝2a＞1，∴f(f(a))＝2f(a)，当a＜1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1，综上a≥.∴选C.11\n[方法点拨] 1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性．2．形如f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则．4．(2022·湖北理，6)已知符号函数sgnx＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则( )A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]C．sgn[g(x)]＝－sgnxD．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)][答案] C[解析] 考查新定义问题及函数单调性的应用．因为f(x)是R上的增函数，a＞1，所以当x＞0时，ax＞x，f(x)＜f(ax)，g(x)＜0；x＝0时，ax＝x，f(x)＝f(ax)＝f(0)，g(0)＝0；x＜0时，ax＜x，f(x)＞f(ax)，g(x)＞0.因此sgn[g(x)]＝所以sgn[g(x)]＝－sgnx.故本题正确答案为C.5．(文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )[答案] A[解析] ∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，排除C.∵x2＋1≥1，则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，所以排除B、D，选A.(理)若函数f(x)＝则当k>0时，函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为( )A．1B．2C．3D．4[答案] D[解析] 结合图象分析．当k>0时，f[f(x)]＝－1，则f(x)＝t1∈(－∞，－)或f(x)＝t2∈(0,1)．对于f(x)＝t1，存在两个零点x1、x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3、x411\n，共存在4个零点，故选D.6．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)[答案] D[解析] 本题考查复合函数的单调性，f(x)＝log(x2－4)由y＝logu及u＝x2－4复合而成，y＝logu在定义域内为减函数，而u＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间(－∞，－2)，选D.7．(文)已知函数f(x)＝g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为( )A．4B．3C．2D．1[答案] C[解析] 画出两函数的图象知，当0<x<1时，有一个交点，又f(1)＝g(1)＝0；当x>1时，f(x)＝0<g(x)恒成立，故选C.(理)函数f(x)＝logcosx(－<x<)的图象大致是( )11\n[答案] C[解析] 解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，排除A，B；又x∈[0，]时，cosx∈(0,1]，f(x)＝logcosx>0，排除D，故选C.解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u＝cosx在区间(－，0)、(0，)上分别为增函数和减函数，而y＝logu为减函数，故复合函数f(x)＝logcosx在区间(－，0)、(0，)上分别为减函数和增函数，故选C.8．(文)如果我们定义一种运算：g⊗h＝已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是( )[答案] B[解析] 由定义知，当x≥0时，2x≥1，∴f(x)＝2x，当x<0时，2x<1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位得到，故选B.[方法点拨] 1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义，发掘出其隐含条件．11\n2．恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用．3．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别讨论．(理)定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝为( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又为偶函数D．非奇函数且非偶函数[答案] A[解析] 本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法，难度中等．根据所给的运算定义得函数f(x)＝＝，求出函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，且x－2≤0，所以函数f(x)＝＝＝，易知f(－x)＝－f(x)，所以原函数为奇函数，故选A.[易错分析] 本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将－x代入，导致选择错误答案D.9．(文)已知f(x)＝，则f(2022)等于( )A．－1B．2C．0D．1[答案] D[解析] ∵2022＝403×5－2，∴f(2022)＝f(－2)＝log22＝1.(理)(2022·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A．－3B．－1C．1D．3[答案] C[解析] 本题考查函数的奇偶性．分别令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则⇒⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C.10．(2022·浙江嘉兴测试一)偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f(ax－1)<f(2＋x2)恒成立，则实数a的取值范围为( )A．(－2，2)B．(－2,2)C．(－2，2)D．(－2,2)11\n[答案] B[解析] 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，如何利用单调性构造不等式是解答本题的关键所在，难度中等．由于函数为偶函数，故f(ax－1)＝f(|ax－1|)，因此f(ax－1)<f(2＋x2)⇔f(|ax－1|)<f(2＋x2)，据已知单调性可得f(|ax－1|)<f(2＋x2)⇔|ax－1|<2＋x2，据题意可得不等式|ax－1|<2＋x2恒成立，即－(2＋x2)<ax－1<2＋x2⇔恒成立，据二次函数知识可知解得－2<a<2，故选B.[易错分析] 考生多因为分类讨论而使解答过程复杂化，且讨论过程出错率也较高．利用整体思想将偶函数的条件拓展，利用整体性思想解决问题可以回避分类讨论的过程．11．(文)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间(1,2)上都是减函数，则实数a的取值范围是( )A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1][答案] D[解析] 由f(x)在(1,2)上为减函数得a≤1；由g(x)＝在(1,2)上为减函数得a>0，∴0<a≤1.(理)函数f(x)＝()－x2＋2mx－m2－1的单调增区间与值域相同，则实数m的取值为( )A．－2B．2C．－1D．1[答案] B[解析] ∵－x2＋2mx－m2－1＝－(x－m)2－1≤－1，∴()－x2＋2mx－m2－1≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞)，∵y＝()x单调递减，y＝－(x－m)2－1的单调减区间为[m，＋∞)，∴f(x)的单调增区间为[m，＋∞)．由条件知m＝2.[方法点拨] 函数单调性判定方法11\n一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．三是利用导数研究．对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．12．(2022·浙江宁波期末)设函数y＝f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)＝f(x)－2x在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g(x)在[－2022,2022]上的值域为( )A．[－2,6]B．[－4030,4024]C．[－4020,4034]D．[－4028,4016][答案] C[解析] 本题考查函数性质与归纳推理的应用，考查对抽象函数的理解和应用，难度较大．求出几个区间的值域，再进行归纳推理．当x∈[3,4]时，x－1∈[2,3]，g(x－1)＝f(x－1)－2(x－1)，且g(x－1)∈[－2,6]，又f(x)的周期为1，所以f(x)－2x＝f(x－1)－2x＝g(x－1)－2∈[－4,4]，所以g(x)在[2,4]内的值域为[－4,6]．同理，当x∈[4,5]时，g(x)的值域是[－6,2]，所以g(x)在[2,5]内的值域为[－6,6]，…，g(x)在[2,2022]内的值域为[－4020,6]．g(x)在[1,2]内的值域为[0,8]，g(x)在[1,2022]内的值域为[－4020,8]，…，所以g(x)在[－2022,2022]内的值域为[－4020,4034]，故选C.[易错分析] 抽象函数值域的求解是一个难点，尤其是与年份相关的周期函数的值域问题，难度更大．利用函数的周期性及整体思想将函数进行变换，使函数g(x)能够特殊化，从而归纳得出结论．13．(文)已知f(x＋1)为偶函数，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，a＝f(2)、b＝f(log32)、c＝f()，则有( )A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．a<c<b[答案] D[解析] ∵f(x＋1)为偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，∵f(2)＝f(0)，且0<<log32，∴f(2)<f()<f(log32)，∴a<c<b.(理)已知函数f(x)＝，若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a11\n的取值范围是( )A．[，＋∞)B．[，]C．(0，]D．{2}[答案] B[解析] 当a＝2时，f(x)＝x5－3x＋2，k≤x≤2，f(2)＝28不合题意，∴a≠2，排除A、D；当a＝时，∵k≤x≤a，∴k≤，当k＝时，－1≤x<，<1－x≤2，∴log2<log2(1－x)≤1，又log2<0，∴不合题意，排除C，故选B.二、填空题14．(文)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝，则实数a的取值范围是________．[答案] (－1，)[解析] f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即<－1，解得－1<a<.(理)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案] ②④[解析] 对于①，方程＝＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝，显然存在x使等式成立，故填②④.15．如图所示，f(x)是定义在区间[－c，c](c>0)上的奇函数，令g(x)＝af(x)＋b，并有关于函数g(x)的四个论断：11\n①若a>0，对于[－1,1]内的任意实数m、n(m<n)，>0恒成立；②函数g(x)是奇函数的充要条件是b＝0；③∀a∈R，g(x)的导函数g′(x)有两个零点；④若a≥1，b<0，则方程g(x)＝0必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________．[答案] ①②③[解析] ①∵g(x)＝af(x)＋b，∴＝，由图知对于f(x)在[－1,1]上任意两点A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB＝>0，又a>0，∴>0恒成立，故①正确；②g(x)为奇函数⇔g(－x)＝－g(x)⇔af(－x)＋b＝－af(x)－b⇔2b＝－a[f(－x)＋f(x)]，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0，故g(x)为奇函数⇔b＝0，故②正确；③g′(x)＝af′(x)，由图知f(x)在[－c，c]上减、增、减，∴f′(x)在[－c，c]上取值为负、正、负，从而当a≠0时，g′(x)＝0在[－c，c]上与x轴必有两个交点，又a＝0时，g′(x)＝0在[－c，c]上恒成立，∴∀a∈R，g′(x)在[－c，c]上有两个零点，故③正确；④取a＝1，b＝－5，则g(x)＝f(x)－5与x轴无交点，∴方程g(x)＝0无实根，∴④错误．三、解答题16．已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f()＝0，当x>时，f(x)>0.(1)求f(1)；(2)判断f(x)的增减性并证明．11\n[解析] (1)令x＝y＝，得f(1)＝f()＋f()＋＝.(2)f(x)为增函数，证明：任取x1、x2∈R，且x2>x1，Δx＝x2－x1>0，则：Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝f(Δx)＋f(x1)＋－f(x1)＝f(Δx)＋＝f(Δx)＋f()＋＝f(Δx＋)，又∵Δx>0，∴Δx＋>，∴f(Δx＋)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在R上是增函数．[方法点拨] 抽象函数的求值与性质讨论，常结合条件式通过赋值转化解决，赋值时要紧扣目标进行．如判断奇偶性要创设条件产生f(－x)与f(x)的关系式；判断单调性，则要在设出x1<x2的条件下，构造产生f(x1)－f(x2)(或)，朝着可判断正负(或可与1比较大小)的方向转化．解抽象函数的不等式，则要将原不等式利用条件转化产生f(x1)<f(x2)的形式.11
