【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题9等差数列与等比数列一、选择题1．(文)(2022·东北三省三校联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a6＝12，则S7的值是( )A．21 B．24 C．28 D．7[答案] C[解析] ∵a2＋a4＋a6＝3a4＝12，∴a4＝4，∴2a4＝a1＋a7＝8，∴S7＝＝＝28.[方法点拨] 1.熟记等差、等比数列的求和公式．2．形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系用累加法可求出通项；3．形如an＋1＝anf(n)的递推关系可考虑用累乘法求通项an；4．形如an＋1＝kan＋b(k、b为常数)可通过变形，设bn＝an＋构造等比数列求通项an.(理)在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn等于( )A．an＋1－a B．n(a＋1)C．naD．(a＋1)n－1[答案] C[解析] 利用常数列a，a，a，…判断，则存在等差数列a＋1，a＋1，a＋1，…或通过下列运算得到：2(aq＋1)＝(a＋1)＋(aq2＋1)，∴q＝1，Sn＝na.2．(文)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1＝1，＝4，则的值为( )A. B. C. D．4[答案] A[解析] 由等差数列的性质可知S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，由＝4得11\n＝3，则S6－S4＝5S2，所以S4＝4S2，S6＝9S2，＝.(理)(2022·全国大纲文，8)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝( )A．31B．32C．63D．64[答案] C[解析] 解法1：由条件知：an>0，且∴∴q＝2.∴a1＝1，∴S6＝＝63.解法2：由题意知，S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即122＝3(S6－15)，∴S6＝63.[方法点拨] 下标成等差的等差、等比数列的项或前n项和的问题，常考虑应用等差、等比数列的性质求解．3．(2022·浙江理，3)已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则( )A．a1d>0，dS4>0B．a1d<0，dS4<0C．a1d>0，dS4<0D．a1d<0，dS4>0[答案] B[解析] 考查等差数列的通项公式及其前n项和；等比数列的概念．∵{an}为等差数列，且a3，a4，a8成等比数列，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)⇒a1＝－d，∴S4＝2(a1＋a4)＝2(a1＋a1＋3d)＝－d，∴a1d＝－d2＜0，dS4＝－d2＜0，故选B.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )11\nA.B．－C.D．－[答案] C[解析] ∵S3＝a2＋10a1，∴a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，a3＝9a1＝a1q2，∴q2＝9，又∵a5＝9，∴9＝a3·q2＝9a3，∴a3＝1，又a3＝9a1，故a1＝.[方法点拨] 求基本量的问题，熟记等差、等比数列的定义、通项及前n项和公式，利用公式、结合条件，建立方程求解．5．(2022·江西省质检)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an(n∈N*)，则数列{an}的前2022项的和S2022等于( )A．31008－2B．31008－3C．32022－2D．32022－3[答案] A[解析] 因为a1＝1，a2＝3，＝3，所以S2022＝(a1＋a3＋…＋a2022)＋(a2＋a4＋…＋a2022)＝＋＝31008－2.6．(文)(2022·新乡、许昌、平顶山调研)设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为( )A．2B．200C．－2D．0[答案] A[解析] 设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，∴S101＝＝＝2.(理)(2022·哈三中二模)等比数列{an}，满足a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a＋a＋a＋a＋a＝15，则a1－a2＋a3－a4＋a5的值是( )A．3B.C．－D．5[答案] D11\n[解析] 由条件知，∴＝5，∴a1－a2＋a3－a4＋a5＝＝＝5.7．(文)在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和等于( )A．290B．300C．580D．600[答案] B[解析] 由a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87得，a1＋a20＝30，∴S20＝＝300.(理)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝( )A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2[答案] C[解析] 由条件知a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∵q>0，∴q＝1＋，∴＝q2＝3＋2.8．(2022·福建理，8)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．6B．7C．8D．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a＋b＝p，a·b＝q，因为p>0，q>0，则a＞0，b＞0，当a，b，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a·b＝(－2)2＝4，故q＝4，b＝.当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a是等差中项时，2a＝－2，解得a＝1，11\nb＝4，；当b是等差中项时，＝a－2，解得a＝4，b＝1，综上所述，a＋b＝p＝5，所以p＋q＝9，选D.9．已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，则数列{ban}的前10项的和为( )A.(49－1)B.(410－1)C.(49－1)D.(410－1)[答案] D[解析] 由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，由＝2，b1＝1得bn＝2n－1，∴ban＝2an－1＝22(n－1)＝4n－1，∴数列{ban}前10项和为＝(410－1)．10．(文)若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝＋＋…＋等于( )A．1－B.(1－)C．1－D.(1－)[答案] B[解析] 因为an＝1×2n－1＝2n－1，所以an·an＋1＝2n－1·2n＝2×4n－1，所以＝×()n－1，所以{}也是等比数列，所以Tn＝＋＋…＋＝×＝(1－)，故选B.(理)(2022·唐山市一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则( )A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－111\n[答案] C[解析] 设公比为q，则a1(1＋q2)＝，a2(1＋q2)＝，∴q＝，∴a1＋a1＝，∴a1＝2.∴an＝a1qn－1＝2×()n－1，Sn＝＝4[1－()n]，∴＝＝2(2n－1－)＝2n－1.[点评] 用一般解法解出a1、q，计算量大，若注意到等比数列的性质及求，可简明解答如下：∵a2＋a4＝q(a1＋a3)，∴q＝，∴＝＝＝＝2n－1.11．给出数列，，，，，，…，，，…，，…，在这个数列中，第50个值等于1的项的序号是( )A．4900B．4901C．5000D．5001[答案] B[解析] 根据条件找规律，第1个1是分子、分母的和为2，第2个1是分子、分母的和为4，第3个1是分子、分母的和为6，…，第50个1是分子、分母的和为100，而分子、分母的和为2的有1项，分子、分母的和为3的有2项，分子、分母的和为4的有3项，…，分子、分母的和为99的有98项，分子、分母的和为100的项依次是：，，，…，，，…，，第50个1是其中第50项，在数列中的序号为1＋2＋3＋…＋98＋50＝＋50＝4901.[点评] 本题考查归纳能力，由已知项找到规律，“1”所在项的特点以及项数与分子、分母的和之间的关系，再利用等差数列求和公式即可．二、填空题11\n12．(文)(2022·广东理，10)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.[答案] 10[解析] 本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.(理)(2022·湖南理，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________.[答案] 3n－1[解析] 考查等差数列与等比数列的性质．∵3S1,2S2，S3成等差数列，∴4S2＝3S1＋S3，∴4(a1＋a2)＝3a1＋a1＋a2＋a3⇒a3＝3a2⇒q＝3.又∵{an}为等比数列，∴an＝a1qn－1＝3n－1.[方法点拨] 条件或结论中涉及等差或等比数列中的两项或多项的关系时，先观察分析下标之间的关系，再考虑能否应用性质解决，要特别注意等差、等比数列性质的区别．13．(文)(2022·安徽理，14)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．[答案] 2n－1[解析] 考查1.等比数列的性质；2.等比数列的前n项和公式．由题意，∴解得a1＝1，a4＝8或者a1＝8，a4＝1，而数列{an}是递增的等比数列，所以a1＝1，a4＝8，即q3＝＝8，所以q＝2，因而数列{an}的前n项和Sn＝＝＝2n－1.(理)(2022·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．[答案] [解析] 考查数列通项，裂项求和．由题意得：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝，所以＝2(－)，Sn＝2(1－)＋2(－)＋…＋2(－)＝2(1－)＝，S10＝.11\n三、解答题14．(文)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－p(n∈N*)，其中p是不为零的常数．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)当p＝3时，若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，b1＝2，求数列{bn}的通项公式．[解析] (1)证明：因为Sn＝4an－p(n∈N*)，则Sn－1＝4an－1－p(n∈N*，n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.由Sn＝4an－p，令n＝1，得a1＝4a1－p，解得a1＝.所以{an}是首项为，公比为的等比数列．(2)因为a1＝1，则an＝()n－1，由bn＋1＝an＋bn(n＝1,2，…)，得bn＋1－bn＝()n－1，当n≥2时，由累加法得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3()n－1－1，当n＝1时，上式也成立．∴bn＝3·()n－1－1.[方法点拨] 证明数列是等差(等比)数列时，应用定义分析条件，结合性质进行等价转化．(理)(2022·河南高考适应性测试)已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝2，an＝a＋4an＋1＋2.(1)令bn＝log2(an＋2)，证明：数列{bn}是等比数列．(2)设cn＝nbn，求数列{cn}的前n项和Sn.[解析] (1)由an＝a＋4an＋1＋2，得an＋2＝a＋4an＋1＋4＝(an＋1＋2)2.因为an>0，所以＝an＋1＋2.因为＝＝＝，11\n又b1＝log2(a1＋2)＝2，所以数列{bn}是首项为2，公比为的等比数列．(2)由(1)知，bn＝2·n－1，则cn＝2nn－1.Sn＝2×0＋4×1＋…＋2(n－1)n－2＋2nn－1，①Sn＝2×1＋4×2＋…＋2(n－1)n－1＋2nn.②①－②得：Sn＝2×0＋2×1＋2×2＋…＋2×n－1－2n·n＝－2n·n＝4－(4＋2n)n.所以Sn＝8－(n＋2)n－2.15．(2022·南昌市一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6，正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λbn>an对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．[解析] (1)等差数列{an}，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n，(1)÷(2)得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n(2)设λbn>an恒成立⇒λ>恒成立，设cn＝⇒＝当n≥2时，cn<1，{cn}单调递减，∴(cn)max＝c1＝，故λ>.16．(文)(2022·湖北理，18)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．[分析] (1)设数列{an}的公差为d，利用等比数列的性质得到a＝a1·a5，并用a1、d11\n表示a2、a5，列等式求解公差d，进而求出通项，注意对公差d分类讨论；(2)利用(1)的结论，对数列{an}的通项分类讨论，分别利用通项公式及等差数列的前n项和公式求解Sn，然后根据Sn>60n＋800列不等式求解．[解析] (1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)．化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2，令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，解得n>40或n<－10(舍去)．此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.[方法点拨] 存在型探索性问题解答时先假设存在，依据相关知识(概念、定理、公式、法则、性质等)，结合所给条件进行推理或运算，直到得出结果或一个明显成立或错误的结论，从而断定存在与否．(理)(2022·新课标Ⅰ理，17)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．[分析] (1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a1，a2，a3应成等差数列求出λ的值，然后依据an＋2－an＝λ推证{an}为等差数列．[解析] (1)由题设：anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得11\n{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.11
