【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题29坐标系与参数方程（含解析）一、填空题1．(2022·北京理，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．[答案] 1[解析] 考查极坐标与直角坐标的互化；点到直线距离．先把点极坐标化为直角坐标(1，)，再把直线的极坐标方程ρ＝6化为直角坐标方程x＋y－6＝0，利用点到直线距离公式d＝＝1.2．(2022·湖南理，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．[答案] ρsin(θ－)＝－[解析] 曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，因为弦长|AB|＝2，所以直线l过圆心(2,1)，所以直线l的方程为y＝x－1，化为极坐标方程为ρsinθ＝ρcosθ－1，即ρsin(θ－)＝－.3．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ＋)＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．[答案] [解析] 椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，直线l的普通方程为x＋y－m＝0，圆O的普通方程为＝b，即x2＋y2＝b2.8\n若l过右焦点(c,0)，则c－m＝0且＝b，∴c＝b，c2＝2b2，c2＝2(a2－c2)∴＝，同理l过左焦点(－c,0)时，也求得e＝.4．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为(4，)，曲线C的参数方程为(α为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为________．[答案] 5－[解析] 依题意，点M的直角坐标是(4,4)，曲线C：(x－1)2＋y2＝2，圆心C(1,0)，|CM|＝＝5>，因此所求的距离的最小值是5－.5．(2022·湖北理，16)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.[答案] 2[解析] 考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化及两点间的距离公式．由极坐标与直角坐标的关系可得直线l的直角坐标方程为y＝3x；①由曲线C的参数方程可得其直角坐标方程为y2－x2＝4；②联立①②可解得直线l与曲线C的交点坐标A(，)，B(－，－)或A(－，－)，B(，)，因此可解得|AB|＝2.故本题正确答案为2.二、解答题6．(文)(2022·福建理，21)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．[解析] 考查1.参数方程和普通方程的互化；2.极坐标方程和直角坐标方程的互化；3.点到直线距离公式．(1)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得(x－1)2＋(y＋2)2＝9，利用x＝ρcosθ，8\ny＝ρsinθ，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)利用点到直线距离公式求解．(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，由ρsin(θ－)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即＝2，解得m＝－3±2.(理)(2022·太原市模拟)已知平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，－2)的直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2a(a>0)，直线l与曲线C相交于不同的两点M，N.(1)求曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|＝|MN|，求实数a的值．[解析] (1)∵(t为参数)．∴直线l的普通方程为x－y－1＝0，∵ρsinθtanθ＝2a，∴ρ2sin2θ＝2aρcosθ，由得曲线C的普通方程为y2＝2ax；(2)∵y2＝2ax，∴x≥0，设直线l上点M，N对应的参数分别是t1，t2(t1>0，t2>0)，则|PM|＝t1，|PN|＝t2，∵|PM|＝|MN|，∴|PM|＝|PN|，∴t2＝2t1，将代入y2＝2ax得t2－2(a＋2)t＋4(a＋2)＝0，∴又∵t2＝2t1，∴a＝.7．(文)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为(φ为参数)．(1)求过椭圆的右焦点，且与直线m：(t为参数)平行的直线l的普通方程．(2)求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值．[分析] (1)由直线l与直线m平行可得l的斜率，将椭圆C的方程消参可得普通方程求出焦点坐标(也可直接由参数方程求)可得l方程．(2)用参数方程表示面积转化为三角函数最值求解．[解析] (1)由C的参数方程可知，a＝5，b＝3，∴c＝4，∴右焦点F2(4,0)，将直线m的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0，所以k＝8\n，于是所求直线方程为x－2y－4＝0.(2)由椭圆的对称性，取椭圆在第一象限部分(令0≤φ≤)，则S＝4|xy|＝60sinφcosφ＝30sin2φ，∴当2φ＝时，Smax＝30，即矩形面积的最大值为30.(理)在平面直角坐标xOy中，已知直线l的参数方程(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，求线段AB的长．[解析] 解法1：将l的方程化为普通方程得l：x＋y＝3，∴y＝－x＋3，代入抛物线方程y2＝4x并整理得x2－10x＋9＝0，∴x1＝1，x2＝9.∴交点A(1,2)，B(9，－6)，故|AB|＝＝8.解法2：将l的参数方程代入y2＝4x中得，(2＋t)2＝4(1－t)，解之得t1＝0，t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝8.8．(2022·商丘市二模)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：ρsin＝，曲线C的参数方程为：(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．[解析] (1)∵ρsin＝，∴ρ＝，∴y－x＝，即l：x－y＋1＝0.(2)解法一：由已知可得，曲线上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，所以，曲线C上的点到直线l的距离d＝＝≤.所以最大距离为.解法二：曲线C为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．圆心到直线的距离为，8\n所以，最大距离为＋2＝.9．(文)(2022·唐山市二模)在极坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，l：ρcos＝，C与l有且仅有一个公共点．(1)求a；(2)O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB＝，求|OA|＋|OB|的最大值．[解析] (1)曲线C是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆；l的直角坐标方程为x＋y－3＝0.由直线l与圆C相切可得＝a，解得a＝1.(2)不妨设A的极角为θ，B的极角为θ＋，则|OA|＋|OB|＝2cosθ＋2cos＝3cosθ－sinθ＝2cos，当θ＝－时，|OA|＋|OB|取得最大值2.(理)(2022·石家庄市一模)已知曲线C1的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2.(1)分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程．(2)已知M，N分别为曲线C1的上、下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|＋|PN|的最大值．[解析] (1)曲线C1的普通方程为＋＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4.(2)法一：由曲线C2：x2＋y2＝4，可得其参数方程为，所以P点坐标为(2cosα，2sinα)，由题意可知M(0，)，N(0，－)．因此|PM|＋|PN|＝＋＝＋(|PM|＋|PN|)2＝14＋2.所以当sinα＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28，因此|PM|＋|PN|的最大值为2.8\n法二：设P点坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4，由题意可知M(0，)，N(0，－)．因此|PM|＋|PN|＝＋＝＋(|PM|＋|PN|)2＝14＋2.所以当y＝0时，(|PM|＋|PN|)2有最大值28，因此|PM|＋|PN|的最大值为2.10．(文)(2022·新课标Ⅰ理，23)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．[解析] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数)直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为d＝|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.(理)(2022·太原市一模)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足＝2.(1)求曲线C2的普通方程；(2)以原点O为原点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ＝与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|.[解析] (1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵＝2，∴∵点M在曲线C1上，∴∴(x′－1)2＋y′2＝3，8\n将x′＝，y′＝代入得，曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12；(2)∵曲线C1的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝3，∴曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－2＝0，将θ＝代入得ρ＝2，∴A的极坐标为，曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－8＝0，将θ＝代入得ρ＝4，∴B的极坐标为，∴|AB|＝4－2＝2.11．(文)在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M(2，)对应的参数φ＝，θ＝与曲线C2交于点D(，)(1)求曲线C1、C2的方程；(2)A(ρ1，θ)，Β(ρ2，θ＋)是曲线C1上的两点，求＋的值．[解析] (1)将M(2，)及对应的参数φ＝，代入得所以所以C1的方程为＋＝1.设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ＝2Rcosθ，将点D(，)代入得R＝1，∴圆C2的方程为：ρ＝2cosθ(或(x－1)2＋y2＝1)．(2)曲线C1的极坐标方程为：＋＝1，将A(ρ1，θ)，Β(ρ2，θ＋)代入得：＋＝1，＋＝1所以＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝即＋的值为.(理)在直角坐标系xOy中，过点P(，)作倾斜角为α的直线l与曲线C：x2＋y2＝1相交于不同的两点M、N.(1)写出直线l的参数方程；8\n(2)求＋的取值范围．[解析] (1)(t为参数)．(2)将(t为参数)代入x2＋y2＝1中，消去x，y得，t2＋(cosα＋3sinα)t＋2＝0，由Δ＝(cosα＋3sinα)2－8＝12sin2(α＋)－8>0⇒sin(α＋)>，＋＝＋＝－＝＝sin(α＋)∈(，]．[方法点拨] 1.在将参数方程化为普通方程时，为消去参数，常用的方法是加、减消元、代入消元、平方相加等，要注意观察参数方程特点，选择恰当的消元法．2．在椭圆的参数方程(φ为参数)中，可直接求得c＝；在圆的参数方程(α为参数)中可直接由参数方程得圆心(x0，y0)，半径r；在直线的参数方程(t为参数)中，也可以直接得到直线的斜率k＝.3．给出曲线的极坐标方程，讨论曲线的位置关系或求相交弦等，一般先化为直角坐标方程再求解．4．一般地给出极坐标方程，求两曲线交点的极坐标，可先化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再化为极坐标．5．在参数方程(t为参数)中，设M(x0，y0)，N(x，y)，则MN＝·t，|MN|＝|t|.(其中MN表示有向线段的数量)8
