计算题32分练(5)1.(12分)某电视台闯关竞技节目的第一关是雪滑梯，其结构可以简化为下图模型。雪滑梯顶点距地面高h＝15m，滑梯斜面部分长l＝25m，在水平部分距离斜道底端为x0＝20m处有一海绵坑。比赛时参赛运动员乘坐一质量为M的雪轮胎从赛道顶端滑下，在水平雪道上翻离雪轮胎滑向海绵坑，运动员停在距离海绵坑1m范围内算过关。已知雪轮胎与雪道间的动摩擦因数μ1＝0.3，运动员与雪道间的动摩擦因数μ2＝0.8，假设运动员离开雪轮胎的时间不计，运动员落到雪道上时的水平速度不变。求质量为m的运动员(可视为质点)在水平雪道上的什么区域离开雪轮胎才能闯关成功。图1解析 设运动员乘坐轮胎沿斜槽滑动时的加速度为a0，滑到底端时的速度大小为v，有(M＋m)gsinθ－μ1(M＋m)gcosθ＝(M＋m)a0，v2＝2a0l，(2分)解得：v＝6m/s。(1分)在水平轨道上运动时，运动员乘坐轮胎加速度为a1，翻下后加速度为a2，由牛顿第二定律得：μ1(M＋m)g＝(M＋m)a1，μ2mg＝ma2，(2分)设在距离海绵坑x1处翻下时刚好滑到海绵坑边停下，翻下时速度为v1，则有：v2－v＝2a1(x0－x1)，v＝2a2x1，(2分)联立解得x1＝6m。(1分)设在距离海绵坑x2处翻下时刚好滑到距离海绵坑边1m处停下，翻下时速度为v2，则有：v2－v＝2a1(x0－x2)，v＝2a2(x2－1)，(2分)联立解得x2＝7.6m，(1分)故选手应该在距离海绵坑7.6m～6m之间的区域离开雪轮胎，才能闯关成功。(1分)答案 见解析2.(20分)如图2所示，在xOy平面坐标系中，直线MN与y轴成30°角，M点的坐标为(0，a)，在y轴与直线MN之间的区域内，存在垂直xOy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。电子束以相同速度v0从y轴上－a≤y≤0的区间垂直于y轴和磁场射入磁场。已知从O点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹恰好与直线MN相切，忽略电子间的相互作用和电子的重力。3\n图2(1)求电子的比荷；(2)若在xOy坐标系的第Ⅰ象限y>0区域内加上沿y轴正方向大小为E＝Bv0的匀强电场，在x0＝a处垂直于x轴放置一荧光屏，计算说明荧光屏上发光区的形状和范围。解析 (1)从O点射入磁场的电子在磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系有：r＋＝a①(2分)解得：r＝②(1分)电子在磁场中运动时，洛伦兹力等于向心力，即eBv0＝m③(2分)联立解得电子比荷＝④(2分)(2)由电子的轨道半径可判断，在O点射入磁场的电子从(0，a)的位置进入匀强电场，电子进入电场后做类平抛运动，有2r＝t2⑤(2分)x＝v0t⑥(1分)将E＝Bv0代入，联立解得：x＝a⑦(2分)设该电子穿过x轴时速度与x轴正方向成θ角，则vy＝t⑧(2分)tanθ＝⑨(1分)解得：tanθ＝2⑩(1分)设该电子打在荧光屏上的Q点，Q点离x轴的距离为L，则L＝(x0－x)tanθ＝a⑪(2分)即电子打在荧光屏上离x轴的最远距离为L＝a而从(0，－a)位置进入磁场的电子恰好由O点过y轴，不受电场力，沿x3\n轴正方向做匀速直线运动，打在荧光屏与x轴相交的点上，所以荧光屏上在y坐标分别为0、－a的范围内出现一条长亮线(2分)答案 (1) (2)在y坐标分别为0、－a的范围内出现一条长亮线3
