专题02函数易错点1换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知，求f（x）的解析式.【错解】令，则x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有f（x）＝2－x2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．1．已知，求．【解析】令，则x=（t+1）2，所以f（t）＝（t＋1）2，故f（x）＝（x＋1）2（x≥－1）．易错点2分段函数的参数范围问题设函数,则满足的a的取值范围是20\nA.B．[0,1]C.D．[1，＋∞）【错解】当a<1时，f（a）＝3a－1，此时f（f（a））＝3（3a－1）－1＝9a－4，，方程无解．当a≥1时，，此时，方程恒成立，故选D.【错因分析】对字母a的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a－1与1的大小进行探讨，即参数a的分界点应该有2个，a＝或a＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f（x0）时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．2．已知函数，若，则x的取值范围是________.20\n【解析】设f（x）＝t，∴f（t）＝2，当t∈[－1,1]时，满足f（t）＝2，此时－1≤f（x）≤1，无解，当t＝2时，满足f（t）＝2，此时f（x）＝2,即－1≤x≤1或x＝2.【答案】{2}∪[－1,1]易错点3对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f（x）＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a的取值范围是________.【错解】函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．3．已知函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈（－2，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，－2）时是减函数，则f（1）等于A．－3 B．13C．7D．由m决定的常数【解析】由f（x）＝2x2－mx＋3，得对称轴x＝，∴＝－2，即m＝－8，代入f（x）＝2x2－mx20\n＋3，有f（x）＝2x2＋8x＋3.将x＝1代入f（x）＝2x2＋8x＋3，得f（1）＝13.【答案】B易错点4忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝（x－1）；（2）f（x）＝.【错解】（1）f（x）＝（x－1）·＝.∵，∴f（x）为偶函数．（2），∵f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），∴f（x）为非奇非偶函数．【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性．20\n∵，∴f（x）为奇函数．根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．函数奇偶性判断的方法（1）定义法：（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．4．已知函数f（x）＝x2－2ax＋b是定义在区间[－2b,3b－1]上的偶函数，则函数f（x）的值域为_________．【答案】[1,5]易错点5因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1－a）[（a－1）－2（－a）]＝________.20\n【错解】 （1－a）[（a－1）－2·（－a）]＝（1－a）（a－1）－1·（－a）＝－（－a）.【错因分析】忽略了题中有（－a），即相当于告知－a≥0，故a≤0，这样，[（a－1）－2]≠（a－1）－1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件．【试题解析】由（－a）知－a≥0，故a－1<0.∴（1－a）[（a－1）－2（－a）]＝（1－a）（1－a）－1·（－a）＝（－a）.在利用指数幂的运算性质时，要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时要注意是否是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中，则必须有－a≥0，即a≤0.5．化简＝A．－B．C．（a－1）4D．【答案】B易错点6忽略了对数式的底数和真数的取值范围20\n对数式log（a－2）（5－a）＝b中，实数a的取值范围是A．（－∞，5）B．（2,5）C．（2，＋∞）D．（2,3）∪（3,5）【错解】由题意，得5－a>0，∴a<5.故选A.【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数．【参考答案】D对数的真数与底数都有范围限制，不可顾此失彼．6．使对数loga（－2a＋1）有意义的a的取值范围为A．a＞且a≠1B．0＜a＜C．a＞0且a≠1D．a＜【解析】由对数概念知使对loga（－2a＋1）有意义须满足解得0＜a＜，故选B.【答案】B易错点7复合函数理解不到位出错已知函数y＝log2（x2－x－a）值域为R，求实数a的取值范围.20\n【错解】设f（x）＝x2－x－a，则y＝log2f（x），依题意，f（x）>0恒成立，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－，即a的范围为（－∞，－）．【错因分析】以上解法错误在于没有准确地理解y＝log2（x2－x－a）值域为R的含义．根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f（x）＝x2－x－a的值能够取遍一切正实数时，y＝log2（x2－x－a）的值域才为R.而当Δ<0时，f（x）>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）．要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与x轴有交点（但此时定义域不再为R）．1．求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分函数；（3）分别求y＝f（u），u＝φ（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性．2．复合函数y＝f[g（x）]及其里层函数μ＝g（x）与外层函数y＝f（μ）的单调性之间的关系（见下表）.函数单调性y＝f（μ）增函数增函数减函数减函数μ＝g（x）增函数减函数增函数减函数y＝f[g（x）]增函数减函数减函数增函数20\n7．已知函数y＝lg（ax2＋2x＋1）的定义域为R，求实数a的取值范围．【解析】由已知，知u＝ax2＋2x＋1的值恒为正，∴解得a＞1，故a的取值范围是a＞1.注意y＝lg（ax2＋2x＋1）的值域为R与u＝ax2＋2x＋1恒为正不一样．前者要求函数u＝ax2＋2x＋1能取遍一切正实数，后者只要求u＝ax2＋2x＋1取正时，对应的x∈R即可．易错点8函数与方程函数的零点个数为A．0B．1C．2D．3【错解】因为，，所以函数有一个零点，故选B.【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.20\n8．已知函数与图象的交点坐标为（），则所在的大致区间为A．B．C．D．，故选B.【答案】B一、函数（1）映射：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.（2）函数：非空数集非空数集的映射，其要素为定义域、对应关系，函数的值域.求函数定义域的主要依据：①分式的分母不为0；②偶次方根的被开方数不小于0；③对数函数的真数大于0；④指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑤正切函数中，的取值范围是，且.求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．20\n（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．（3）复合函数问题：①若f（x）的定义域为[a，b]，f（g（x））的定义域应由a≤g（x）≤b解出；②若f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域．[注意] ①f（x）中的x与f（g（x））中的g（x）地位相同；②定义域所指永远是x的范围．二、函数的性质（1）函数的奇偶性如果对于函数y＝f（x）定义域内的任意一个x，都有（或），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）．（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f（x），若对于任意，当时，都有（或），则称f（x）在区间D上为单调增（或减）函数．反映在图象上，若函数f（x）是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的．如果函数f（x）在给定区间（a，b）上恒有f′（x）>0（f′（x）<0），则f（x）在区间（a，b）上是增（减）函数，（a，b）为f（x）的单调增（减）区间．（3）函数的周期性设函数y＝f（x），x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f（x＋T）＝f（x），则函数f（x）为周期函数，T为y＝f（x）的一个周期．（4）最值一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （或f（x）≥M）；②存在，使得，那么称M是函数y＝f（x）的最大值（或最小值）．三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：①会画各种简单函数的图象；②能依据函数的图象判断相应函数的性质；③能用数形结合的思想以图辅助解题．20\n（2）利用函数图象的变换作图①平移变换，.②伸缩变换，.③对称变换，，，.四、函数与方程、函数的应用1．函数的零点（1）函数的零点：对于函数f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数f（x）的零点．（2）函数的零点与方程根的联系：函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的根，即函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象交点的横坐标．（3）零点存在性定理：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b）使得f（c）＝0,这个c也就是方程f（x）＝0的根．2．二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间的长度尽量小；（2），的值比较容易计算，且.3．应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下：20\n与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．[2022新课标I卷理]函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若在R上为单调递增的奇函数，且，则，反之亦成立.2．[2022新课标I卷理]设x、y、z为正数，且，则A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z【答案】D【解析】令，则，，∴，则，，则，故选D.【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.20\n3．[2022北京卷理]已知函数，则A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以该函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.4．[2022北京卷理]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A．1033B．1053 C．1073D．1093【答案】D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.5．[2022天津卷理]已知奇函数在R上是增函数，．若，，20\n，则a，b，c的大小关系为A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以当时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以，，所以，故选C．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．6．[2022山东卷理]设函数的定义域A，函数的定义域为,则A．（1,2）B．C．（−2,1）D．[−2,1）【答案】D【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7．[2022山东卷理]已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，，单调递减，且，单调递增，且，此时有且仅有一个交点；当时，，在上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路20\n（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．已知函数则=A．B．9C．D．【答案】A【解析】,所以，故选A．9．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是A．（1，3]B．（1，3）C．（0，1）D．[3，+∞）【答案】A【名师点睛】不论还是，都有为减函数，又在（0，2）上为减函数，则，这是求解本题的关键.10．若函数存在零点，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】本题可转化为20\n两函数图象存在交点，因为这两个函数互为反函数，图象关于直线对称，本题又可转化为的图象与直线存在公共点.当的图象与直线有一个公共点时，满足，，，，，；当的图象与直线有两个公共点时，满足，故的取值范围为，所以选A.11．[2022上海卷理]设、、是定义域为R的三个函数，对于命题：①若、、均是增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题【答案】D12．若幂函数的图象不过原点，则的取值是_________.【答案】1【解析】由幂函数的定义及幂函数的图象不过原点，可得，解得.13．[2022新课标III卷理]设函数，则满足的x的取值范围是_________.20\n【答案】【解析】令，当时，；函数在区间三段区间内均单调递增，且，可知x的取值范围是.【名师点睛】（1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值.（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14．[2022浙江卷]已知aR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】20\n【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或，解得：或综上可得，实数的取值范围是．【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝_______.【答案】________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20\n________________________________________________________________________________________20
