专题03导数及其应用易错点1不能正确识别图象与平均变化率的关系A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量与时间t(天)的关系如图所示，则一定有A．两机关单位节能效果一样好B．A机关单位比B机关单位节能效果好C．A机关单位的用电量在上的平均变化率比B机关单位的用电量在上的平均变化率大D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大【错解】选C.因为在(0，t0)上，的图象比的图象陡峭，所以在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．【错因分析】识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．【参考答案】B1．平均变化率30\n函数从到的平均变化率为，若，，则平均变化率可表示为.2．瞬时速度一般地，如果物体的运动规律可以用函数来描述，那么，物体在时刻的瞬时速度v就是物体在到这段时间内，当无限趋近于0时，无限趋近的常数.1．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，，则三者的大小关系为A．B．C．D．【答案】C易错点2求切线时混淆“某点处”和“过某点”若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为A．B．C．或D．或【错解】设，由定义得f′(2)=12，30\n∴所求切线方程为，即.【错因分析】曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．【参考答案】D1．导数的几何意义函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率.2．曲线的切线的求法若已知曲线过点，求曲线过点P的切线，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解：（1）当点是切点时，切线方程为；（2）当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过的切线方程为；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程，可得过点的切线方程．30\n2．已知曲线，过点M(0,32)作曲线f(x)的切线，则切线的方程为.【答案】故切线方程为.在求曲线的切线方程时，要注意区分是求某点处的切线方程，还是求过某点（不在曲线上）的切线方程，前者的切线方程为，其中切点，后者一般先设出切点坐标，再求解.易错点3不能准确把握导数公式和运算法则求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.30\n【错因分析】（1）求导是对自变量求导，要分清表达式中的自变量.本题中的自变量是x，a是常量；（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.本题把分数的导数类同于分数的乘方运算了.【参考答案】（1）；（2）.1．导数计算的原则先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．2．导数计算的方法①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；3．函数在处的切线方程为A．B．C．D．或【答案】B【解析】∵，∴，又x=1时，y=2，∴切线方程为，即.30\n（1）要准确记忆导数公式表和导数的运算法则，不要将幂函数与指数函数的导数公式，与的导数，与的导数及积与商的导数公式记混弄错．（2）本题中是指数函数，而不是幂函数，常将幂函数与指数函数且的导数公式记混而导致错误．易错点4区分复合函数的构成特征求下列函数的导数：（1）；（2）.【错解】（1）；（2）.【错因分析】这是复合函数的导数，若，则.如（1）中，，，遇到这种类型的函数求导，可先整理再求导，或用复合函数求导公式求导．解法二：（1）．（2）.【参考答案】（1）；（2）.30\n1．求复合函数的导数的关键环节：①中间变量的选择应是基本函数结构；②正确分析出复合过程；③一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；④善于把一部分表达式作为一个整体；⑤最后结果要把中间变量换成自变量的函数.2．求复合函数的导数的方法步骤：①分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；②求每一层基本初等函数的导数；③每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.4．函数的导函数是A．B．C．D．【答案】A易错点5审题不细致误设函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）若在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．30\n【错解】（1）∵，∴，∴.∴，令，得或，令，得，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）∵在定义域上为增函数，∴恒成立，∵，∴恒成立，∴，∴，即实数a的取值范围是.【错因分析】错解有多处错误：一是忽视了定义域的限制作用，研究函数一定要注意函数的定义域；二是将单调区间取并集，函数的单调区间不要随意取并集；三是对不等式恒成立处理不当，对于自变量取值有限制条件的恒成立问题要和自变量在R上取值的恒成立问题加以区分．（2）若在定义域上是增函数，则对x>0恒成立，∵，∴需x>0时恒成立，即对x>0恒成立．30\n∵，当且仅当x=1时取等号，∴，即实数a的取值范围是.【参考答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.用导数求函数的单调区间的“三个方法”：1．当不等式(或)可解时，①确定函数的定义域；②求导数；③解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；④解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2．当方程可解时，①确定函数的定义域；②求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；③把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；④确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．3．当不等式(或)及方程均不可解时，①确定函数的定义域；②求导数并化简，根据的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定的符号；30\n③得单调区间．5．若函数在上为单调减函数，则a的取值范围是________．【答案】【解析】，由已知在区间上恒成立，所以时，恒成立),所以若的单调减区间为，则在的两侧函数值异号，且；若在区间上单调递减，则在上恒成立．易错点6极值的概念理解不透彻已知在处有极值，则________.【错解】或由题得，，由已知得解得或，所以等于或.【错因分析】极值点的导数值为0，但导数值为0的点不一定为极值点，错解忽视了“是f(x)的极值点”的情况．30\n当时，在x=1两侧的符号相反，符合题意.当时，在x=1两侧的符号相同，所以不合题意，舍去.综上可知，，所以.【参考答案】对于给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑，又要考虑在两侧的导数值符号不同，否则容易产生增根．1．函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．2．求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，如果在这个根的左右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．30\n3．利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.6．已知在时有极值0，则常数a、b的值分别为A．B．C．D．或【答案】C【解析】因为在时有极值0，且.所以，即，解得，或.当时，，因此常数a、b的值分别为.（1）在处有极值时，一定有，可能为极大值，也可能为极小值，应检验在两侧的符号后才可下结论；（2）若，则未必在处取得极值，只有确认时，，才可确定在处取得极值．30\n易错点7被积函数与积分上、下限确定不准致误由抛物线与直线及y=0所围成图形的面积为A．B．C．D．【错解】D由得，由得，由得或(舍去)．∴所求面积，故选D.【错因分析】错解没有画图分析曲线之间的位置关系，没有弄清平面图形的形状，以致弄错被积函数和积分区间致误．【试题解析】由题意，所围成平面图形如图所示，由得或(舍去)，所以抛物线与直线的交点坐标为(2,4)，方法一：(选y为积分变量)30\n.方法二：(选x为积分变量).【参考答案】C用定积分求较复杂的平面图形的面积时：一要根据图形确定x还是y作为积分变量，同时，由曲线交点确定好积分上、下限；二要依据积分变量确定好被积函数，积分变量为x时，围成平面图形的上方曲线减去下方曲线为被积函数，积分变量为y时，围成平面图形的右方曲线减去左方曲线为被积函数；三要找准原函数．1．利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．2．定积分与曲边梯形的面积的关系定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则30\n(1)；(2)；(3)；(4).7．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】面积为，从而图中阴影部分的面积为.又易知等腰梯形的面积为，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为.30\n在利用定积分求曲边梯形的面积时，要注意结合图形分析，否则易造成对实际情况的考虑不全而失误.本题主要考查的是抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是．一、导数的概念及计算1．导数的定义：.2．导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，即.求曲线的切线方程的类型及方法（1）已知切点，求过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k，求的切线方程：设切点，通过方程解得x0，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求的切线方程：设切点，利用导数求得切线斜率，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由求出切点坐标，最后写出切线方程．（5）①在点处的切线即是以为切点的切线，一定在曲线上.②过点的切线即切线过点，不一定是切点．因此在求过点30\n的切线方程时，应首先检验点是否在已知曲线上．3．基本初等函数的导数公式函数导数f(x)=C(C为常数)=f(x)=sinxf(x)=cosxf(x)=lnx4．导数的运算法则（1）.（2）.（3）.5．复合函数的导数复合函数的导数和函数的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．二、导数的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，在某个区间(a,b)内：①如果，函数f(x)在这个区间内单调递增;30\n②如果，函数f(x)在这个区间内单调递减;③如果，函数f(x)在这个区间内是常数函数．（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数在(a,b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a,b)内恒成立，且在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有,不影响函数在区间内的单调性.2．函数的极值与导数的关系一般地，对于函数，①若在点x=a处有f′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f(x)的极小值点；叫做函数f(x)的极小值.②若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f(x)的极大值点，叫做函数f(x)的极大值．③极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.3．函数的最值与极值的关系①极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；②在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；30\n③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；④对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.求函数在[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数在(a,b)内的极值；②将函数的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．三、定积分与微积分基本定理1．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi−1,xi]上任取一点，作和式；当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作，即=.（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质（1）(k为常数)；（2）；（3）(其中a<c<b)．3．定积分的几何意义（1）当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=30\na，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程：做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即.（2）变力做功：一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.4．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，且F′(x)=f(x)，那么=F(b)−F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)−F(a)记作，即=F(b)−F(a)．常见的原函数与被积函数的关系30\n（1）为常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.1．[2022浙江卷]函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．2．[2022山东卷理]若函数30\n的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是A．y=sinxB．y=lnxC．y=exD．y=x3【答案】A3．[2022新课标全国Ⅱ卷理]若是函数的极值点，则的极小值为A．B．C．D．1【答案】A【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．4．[2022新课标全国Ⅲ卷理]已知函数有唯一零点，则a=A．B．C．D．1【答案】C30\n设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足，则f′(1)=A．−eB．−1C．1D．e【答案】B【解析】∵，∴，∴，即.选B.【名师点睛】利用导数公式和导数的运算法则求函数的导数是高考考查的基础内容，直接考查的较少，常体现在导数应用中，也是学好导数，会做导数相关问题的前提.本题注意对f′(1)的正确理解，在求导时作为常数，才能得出正确结果.6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为30\n，则点P横坐标的取值范围为A．B．C．[0,1]D．【答案】A7．设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且，则不等式的解集是A．B．C．D．【答案】D【解析】设F(x)=f(x)g(x)，当x<0时，，∴F(x)在x<0时为增函数．∵，∴F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，+∞)上亦为增函数．已知，必有.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈．故选D.8．设a∈R，若函数，x∈R有大于零的极值点，则A． B．C．D．【答案】C30\n【解析】，由题意知a<0.∵函数有大于零的极值点，x=x0为其极值点，∴，又x0>0，∴，故选C.9．若方程在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是A．B．[0,2]C．D．【答案】A10．两曲线，与两直线，所围成的平面区域的面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】作出曲线，与两直线，所围成的平面区域，如图.根据对称性，可知曲线，与两直线，所围成的平面区域的面积为曲线，与直线，30\n所围成的平面区域的面积的两倍，所以，故选D.11．[2022新课标全国Ⅲ卷理]已知f(x)为偶函数，当时，,则曲线y=f(x)在点(1,−3)处的切线方程是_______________.【答案】12．[2022福建卷理]如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于．【答案】【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,阴影部分的面积S阴影=,根据几何概型的概率计算公式得,所求的概率P=.13．[2022新课标全国Ⅰ卷理]已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.30\n（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零点；③当时，，即.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.30\n14．设函数.（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围.【答案】（1），；（2）.（2）由（1）得，,令，由，解得.当时，<0,,故为减函数；当时，>0,,故为增函数；当时，<0,,故为减函数；由在上为减函数，知，解得，故a的取值范围为.30\n15．已知函数，为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：.【答案】（1）函数的最小值为；（2）；（3）见解析.（2）对任意的恒成立，即在上，．由（1），设，所以．由得．易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴在处取得最大值，而．因此的解为，∴.（3）由（2）得，即，当且仅当时，等号成立，令，则即，所以，累加得.30\n________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________30
