普通高中课程标准实验教科书—数学[人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座4）—根本初等函数一．课标要求1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。20/20\n二．命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考察，大多以根本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法那么，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进展变形处理。预测2022年对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，那么难度会加大。三．要点精讲1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：假设一个数的次方等于，那么这个数称的次方根。即假设，那么称的次方根，1）当为奇数时，次方根记作；2）当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作。②性质：1）；2）当为奇数时，；20/20\n3）当为偶数时，。（2）．幂的有关概念①规定：1）N*；2）；n个3）Q，4）、N*且。②性质：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性质对r、R均适用。（3）．对数的概念①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，记作；2）以无理数为底的对数称自然对数，，记作；②根本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）；3）；4）对数恒等式：。③运算性质：如果那么20/20\n1）；2）；3）R）。④换底公式：1）；2）。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；3）对于相同的，函数的图象关于轴对称。①，②，③①，②，③，③函数值的变化特征：（2）对数函数：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为；2）函数的值域为R；20/20\n3）当时函数为减函数，当时函数为增函数；4）对数函数与指数函数互为反函数。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）；4）对于相同的，函数的图象关于轴对称。③函数值的变化特征：①，②，③.①，②，③.四．典例解析题型1：指数运算例1．（1）计算：；（2）化简：。解：（1）原式=；20/20\n（2）原式=。点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保存；一般的进展指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。例2．已知，求的值。解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴。点评：此题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。题型2：对数运算20/20\n例3．计算（1）；（2）；（3）。解：（1）原式；（2）原式；（3）分子=；分母=；原式=。点评：这是一组很根本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的根本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法那么，以及学习数式变换的各种技巧。例4．设、、为正数，且满足（1）求证：；（2）假设，，求、、的值。20/20\n证明：（1）左边；解：（2）由得，∴……………①由得………………………②由①②得……………………………………③由①得，代入得，∵，∴………………………………④由③、④解得，，从而。点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法那么为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。题型3：指数、对数方程例5．设关于的方程R），（1）假设方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。解：（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.20/20\n的解为；令的解为；综合①、②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。点评：具有一些综合性的指数、对数问题，问题的解答涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等各种根本能力，这也是指数、对数问题的特点，题型非常广泛，应通过解题学习不断积累经历。例6．（2022辽宁文13）方程的解为。解：考察对数运算。原方程变形为，即，得。且有。从而结果为。点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质例7．设（）20/20\nA．0 B．1C．2D．3解：C；，。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值。例8．已知试求函数f(x)的单调区间。解：令，那么x=，t∈R。所以即，（x∈R）。因为f(－x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，故只需讨论f(x)在[0，+∞）上的单调性。任取，，且使，那么（1）当a>1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。（2）当0<a<1时，由，有，，所以，即f(x)在[0，+∞]上单调递增。综合所述，[0，+∞]是f(x)的单调增区间，（－∞，0）是f(x)的单调区间。点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分两种情况来处理。题型5：指数函数的图像与应用例9．假设函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（）A．m≤－1B．－1≤m<0C．m≥1D．0<m≤120/20\n解：，画图象可知－1≤m<0。答案为B。点评：此题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征。例10．设函数的取值范围。解：由于是增函数，等价于 ①1)当时，，①式恒成立；2)当时，，①式化为，即；3)当时，，①式无解；综上的取值范围是。点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理。题型6：对数函数的概念与性质例11．（1）函数的定义域是（）A．B．C．D．20/20\n（2）（2022湖北）设f(x)＝，那么的定义域为（）A．B．(－4,－1)(1，4)C．(－2,－1)(1，2)D．(－4,－2)(2，4)解：（1）D（2）B。点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法那么的对应关系。例12．对于，（1）函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；（2）结合“实数a的取何值时在上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；（3）结合（1）（2）两问，说明实数a的取何值时的值域为（4）实数a的取何值时在内是增函数。解：记，那么；（1）不一样；定义域为R恒成立。得：，解得实数a的取值范围为。20/20\n值域为R：值域为R至少取遍所有的正实数，那么，解得实数a的取值范围为。（2）实数a的取何值时在上有意义：命题等价于对于任意恒成立，那么或，解得实数a得取值范围为。实数a的取何值时函数的定义域为：由已知得二次不等式的解集为可得，那么a=2。故a的取值范围为{2}。区别：“有意义问题”正好转化成“恒成立问题”来处理，而“定义域问题”刚好转化成“取遍所有问题”来解决（这里转化成了解集问题，即取遍解集内所有的数值）（3）易知得值域是，又得值域是，得，故a得取值范围为{－1，1}。（4）命题等价于在上为减函数，且对任意的恒成立，那么，解得a得取值范围为。点评：该题主要考察复合对数函数的定义域、值域以及单调性问题。解题过程中遇到了恒成立问题，“恒为正”与“取遍所有大于零的数”20/20\n不等价，同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况，解题过程中结合三个“二次”的重要结论来进展处理。题型7：对数函数的图像及应用例13．当a>1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()解：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数。答案：B点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种根本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性。例14．设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D。（1）求点D的坐标；（2）当△ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围。解：（1）易知D为线段AB的中点,因A(a,log2a),B(a+4,log2(a+4))，所以由中点公式得D(a+2,log2)。（2）S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B-S梯形AA′B′B=…=log2,其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影。由S△ABC=log2>1,得0<a<2－2。20/20\n点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。题型8：指数函数、对数函数综合问题例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)假设对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),假设a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由。解：(1)由题意知：an=n+,∴bn=2000()。(2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2。那么以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn，即()2+()－1>0，解得a<－5(1+)或a>5(－1)。∴5(－1)<a<10。(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7∴bn=2000()。数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,Bn=bnBn－1。于是当bn≥1时，Bn<Bn－1，当bn<1时，Bn≤Bn－1，因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1，20/20\n由bn=2000()≥1得：n≤20。∴n=20。点评：此题题设从函数图像入手，表达数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。例16．已知函数为常数）（1）求函数f(x)的定义域；（2）假设a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。（3）假设函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。解：（1）由∵a＞0，x≥0∴f(x)的定义域是。（2）假设a=2，那么设，那么故f(x)为增函数。（3）设①20/20\n∵f(x)是增函数，∴f(x1)＞f(x2)即②联立①、②知a＞1，∴a∈(1，+∞)。点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可。题型9：课标创新题例17．对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的，均有，那么称f(x)与g(x)在上是接近的，否那么称f(x)与g(x)在上是非接近的，现有两个函数与，给定区间。（1）假设与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论与在给定区间上是否是接近的。解：（1）两个函数与在给定区间有意义，因为函数给定区间上单调递增，函数在给定区间上恒为正数，故有意义当且仅当；20/20\n（2）构造函数，对于函数来讲，显然其在上单调递减，在上单调递增。且在其定义域内一定是减函数。由于，得所以原函数在区间内单调递减，只需保证当时，与在区间上是接近的；当时，与在区间上是非接近的。点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进展研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。例18．设，，且，求的最小值。解：令，∵，，∴。20/20\n由得，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴当时，。点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生的变形能力。五．思维总结1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进展它们之间的相互转化，选择最好的形式进展运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进展数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经历；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法那么及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；20/20\n4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识构造表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要到达滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最根本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。20/20
