《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第一讲集合一．课标要求：1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2．集合间的根本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3．集合的根本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向有关集合的高考试题，考察重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考察，并向无限集开展，考察抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。17/17\n预测2022年高考将继续表达本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的根本概念、运算和工具作用。三．要点精讲1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，假设a是集合A的元素，记作；假设b不是集合A的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，那么或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N；17/17\n正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R。2．集合的包含关系：（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。假设AB且BA，那么称A等于B，记作A=B；假设AB且A≠B，那么称A是B的真子集，记作AB；（2）简单性质：1）AA；2）A；3）假设AB，BC，那么AC；4）假设集合A是n个元素的集合，那么集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）假设S是一个集合，AS，那么，=称S中子集A的补集；（3）简单性质：1）()=A；2）S=，=S。4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。。17/17\n注意：求集合的并、交、补是集合间的根本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去提醒、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5．集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）；（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。四．典例解析题型1：集合的概念例1．设集合，假设，那么以下关系正确的选项是（）A．B．C．D．解：由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。那么。选项为D；17/17\n点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。例2．设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，那么以下关系中成立的是（）A．PQB．QPC．P=QD．P∩Q=Q解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}。答案为A。点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合中含有参数m，需要对参数进展分类讨论，不能忽略m=0的情况。题型2：集合的性质例3．（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A．15B．16C．3D．4解：根据子集的计算应有24－1=15（个）。选项为A；点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时，A不是A的真子集。变式题：同时满足条件：①②假设，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。答案：这样的集合M有8个。17/17\n例4．已知全集，A={1,}如果，那么这样的实数是否存在？假设存在，求出，假设不存在，说明理由。解：∵；∴，即＝0，解得当时，，为A中元素；当时，当时，∴这样的实数x存在，是或。另法：∵∴，∴＝0且∴或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，17/17\n解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，那么M∩N＝（）A．B．｛x|0＜x＜3C．｛x|1＜x＜3D．｛x|2＜x＜3解：由对数函数的性质，且2>1，显然由易得。从而。应选项为D。点评：该题考察了不等式和集合交运算。例6．（06安徽理，1）设集合，，那么等于（）A．B．C．D．解：，，所以，应选B。点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例7．（2022上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，那么实数a图的取值范围是_____。解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系：如以下图，因此有a≤－2。17/17\n点评：此题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。例8．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，那么（）A．I＝A∪BB．I＝（A）∪BC．I＝A∪（B）D．I＝（A）∪（B）解：方法一：A中元素是非2的倍数的自然数，B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.图方法二：因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案为Ｃ.方法三：因BA，所以（）A（）B，（）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。方法四：根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。点评：此题考察对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考察，提高了对逻辑思维能力的要求。题型5：集合的应用例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U17/17\n，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x,那么对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。此题主要强化学生的这种能力。解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。此题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5)－(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)＋(200÷30)＝146所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型7：集合综合题例11．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，假设AB，求实数a的取值范围。解：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。17/17\n由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。因为AB，所以，于是0≤a≤1。点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考察集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的根本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.表达了数形结合的思想方法。例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)|x2－y2=1,x,y∈R}。试问以下结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）假设以集合A中的元素作为点的坐标，那么这些点都在同一条直线上；（2）A∩B至多有一个元素；（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。解：（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=,那么(a1+an),这说明点(an,)的坐标适合方程y(x+a1),于是点(an,)均在直线y=x+a1上。（2）正确；设(x,y)∈A∩B,那么(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a1x+a12=－4(*)，当a1=0时，方程(*)无解，此时A∩B=；当a1≠0时，方程(*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解17/17\n,故上述方程组至多有一解。∴A∩B至多有一个元素。（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+(n－1)d=n>0,>0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0如果A∩B≠，那么据(2)的结论，A∩B中至多有一个元素(x0,y0),而x0=＜0,y0=＜0，这样的(x0,y0)A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（Ⅰ）设集合，,求实数m的取值范围.分析：关键是准确理解的具体意义，首先要从数学意义上解释的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：17/17\n的取值范围是UM={m|m<-2}.（解法三）设这是开口向上的抛物线，，那么二次函数性质知命题又等价于注意，在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用，否那么解答没有这么简单。（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},、B.分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的根本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，（Ⅲ）17/17\n分析：正确理解要使,由当k=0时，方程有解,不合题意；当①又由由②，由①、②得∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型6：课标创新题例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，那么有多少不同的排法？解：设集合A={甲站在最左端的位置}，B={甲站在最右端的位置}，C={乙站在正中间的位置}，D={丙站在正中间的位置}，17/17\n那么集合A、B、C、D的关系如以下图，∴不同的排法有种.点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的根本功，容易错，假设考虑运用集合思想解答，那么比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经历。例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意，都有；②存在常数，使得对任意的，都有（1）设，证明：（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;（3）设,任取,令证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式。解：对任意,,,,所以对任意的，，17/17\n，所以0<,令=，，所以反证法：设存在两个使得,。那么由，得，所以，矛盾，故结论成立。，所以+…。点评：函数的概念是在集合理论上开展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。五．思维总结17/17\n集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1．学习集合的根底能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。③假设集合A中有n个元素，那么集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1,所有非空真子集的个数是。④区分集合中元素的形式：如；；；17/17\n；；；。⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的表达点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的表达面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，开展学生的思维能力。17/17
