第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题四 概率与统计第一讲 概率、随机变量及其分布列(理科)\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题，中低档难度．2．概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等；对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”，常考查独立事件的概率、正态分布，超几何分布和二项分布的期望等．高考导航\n高频考点卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷10古典概型5全国卷乙卷8几何概型求概率52020Ⅰ卷19独立事件、对立事件的概率求法及其应用12Ⅱ卷3概率的应用5Ⅲ卷18(1)古典概型42019Ⅰ卷6，5，21古典概型，独立重复试验，随机变量的分布列、等比数列22Ⅱ卷18互斥事件、独立事件、离散型随机变量的分布列12Ⅲ卷\n自主先热身•真题定乾坤\n真题热身C\n\n\nB\n\nA\n4．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A．10名B．18名C．24名D．32名B\n5．(2021·全国新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等D\n【解析】对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．故选D.\n\n\n\n7．(2021·全国新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．\n(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【解析】(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P(X＝0)＝1-0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1-0.6)＝0.32P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为：X020100P0.20.320.48\n(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1-0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1-0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，因为E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．\n1．概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题．2．选择或填空题常出现在第4～10题或第13～15题的位置，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型，难度一般．3．近几年概率的解答题的难度有所增加，位置有时在20或21题．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n考点一 古典概型与几何概型\n典例1B\n\n(2)(2021·未央区校级模拟)甲乙两人相约10天内在某地会面，约定先到的人等候另一个人，经过三天后方可离开．若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此二人会晤的概率是()A．0.5B．0.51C．0.75D．0.4B\n\n1．古典概型求解的关键点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识；(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏．2．解决几何概型问题的关键寻找构成试验全部结果的区域和事件发生的区域是关键，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．\nD\n\nA\n\n考点二 互斥事件、相互独立事件和独立重复试验\n\n(1)(2021·福建高三三模)根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()A．0.8B．0.625C．0.5D．0.1A典例2\n\nB\n\nC\n\nC\n\n求相互独立事件的概率的两种方法(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解．(2)间接法：当复杂事件正面情况较多，反面情况较少时，可利用其对立事件进行求解．“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．\n\nC\n\nC\n\n考点三 随机变量的分布列、均值与方差\n(1)(2021·陕西渭南市高三二模)已知离散型随机变量ζ1，ζ2的分布列为典例3则下列说法一定正确的是()A．E(ζ1)>E(ζ2)B．E(ζ1)<E(ζ2)C．D(ζ1)>D(ζ2)D．D(ζ1)<D(ζ2)D\n\n(2)(2021·四川遂宁市高三三模)某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分)，经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图．\n①求所抽取的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；②将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于(10，30]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．\n【解析】(2)①根据频率分布直方图可得各组的频率为：(0，10]的频率为：0.010×10＝0.1；(10，20]的频率为：0.020×10＝0.2；(20，30]的频率为：0.030×10＝0.3；(30，40]的频率：0.025×10＝0.25；(40，50]的频率为：0.015×10＝0.15，∴x＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.\n\n\n随机变量分布列问题的两个关键点(1)求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类概率公式求概率．(2)求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式法求解．\n5．(2021·辽宁铁岭市高三二模)一批新能源汽车的锂电池在出厂前要进行一次质量检测，检测方案是：从这批锂电池中随机抽取4个，对其一个一个地进行检测，若这4个都为优质品，则这批锂电池通过这次质量检测，若检测出非优质品，则停止检测，并认为这批锂电池不能通过这次质量检测．假设抽取的每个锂电池是优质品的概率都为p.\n(1)设一次质量检测共检测了X个锂电池，求X的分布列；(2)设0.9≤p≤0.95，已知每个锂电池的检测费用都是1000元，对这批锂电池进行一次质量检测所需的费用记为Y(单位：元)，求Y的数学期望E(Y)的最小值．\n【解析】(1)由题意知X可取1，2，3，4.P(X＝1)＝1-p，P(X＝2)＝p(1-p)，P(X＝3)＝p2(1-p)，P(X＝4)＝p3.因此X的分布列为X1234P1-pp(1-p)p2(1-p)p3\n(2)由(1)知E(X)＝1-p＋2p(1-p)＋3p2(1-p)＋4p3＝p3＋p2＋p＋1.因为E(Y)＝E(1000X)＝1000E(X)．于是E(Y)＝1000(p3＋p2＋p＋1)．设f(p)＝1000(p3＋p2＋p＋1)，由y＝p3，y＝p2，y＝p＋1均在[0.9，0.95]单调递增，可知f(p)在[0.9，0.95]单调递增，因此当p＝0.9时，f(p)取得最小值3439.因此Y的数学期望E(Y)的最小值3439元．\n明晰易错点•高考零失误\n典例1易错点一：概念理解不清致错\n\n【易错释疑】Si≥0且S8＝2是同一事件的两个关联的条件，而不是两个相互独立事件．Si≥0对S8＝2的概率是有影响的，所以解答应为：\n\n甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？典例3易错点二：混淆“互斥”与“独立”出错\n【易错释疑】本题解答错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑．将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和．\n某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：(1)恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；(2)恰好到第k次3只次品全部被测出的概率f(k)的最大值和最小值．典例3易错点三：混淆有放回与不放回致错\n【易错释疑】错解(1)的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的；而错解(2)的错误的原因则在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球袋内球的总数是变的(比前一次少一个)．\n
