综合能力训练一(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合P={x∈R|0≤x≤4},Q={x∈R||x|<3},则P∪Q=( ) A.[3,4]B.(-3,4]C.(-∞,4]D.(-3,+∞)2.双曲线x2-=1的离心率为( )ABCD3.(2022浙江台州4月调研)某空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半径为1的圆,则该几何体的体积是( )A.πBCD4.设实数x,y满足则z=2x-3y的最大值为( )A.-B.-C.2D.35.(2022浙江杭州二模)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的两个零点为x1,x2,若|x1|+|x2|≤2,则( )A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤26.已知等比数列{an}的公比为q,则“0<q<1”是“{an}为递减数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=ax3+ax2+x(a∈R),下列选项中不可能是函数f(x)图象的是( )8.设离散型随机变量X的分布列为X123Pp1p2p3若E(X)=2,则( )A.p1=p2B.p2=p37\nC.p1=p3D.p1=p2=p39.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AB=PA.若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,则此时二面角A-PD-Q的余弦值为( )ABCD10.在直棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,已知G与E分别为A1B1和CC1的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的取值范围为( )AB.[1,]CD.(1,]二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中,有一道数学命题叫“宝塔装灯”,内容为“远望巍巍塔七层,红灯点点倍加增;共灯三百八十一,请问顶层几盏灯?”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增),根据此诗,可以得出塔的顶层与底层灯数之和为 . 12.(2022浙江宁波二模)把复数z的共轭复数记作,若(1+i)z=1-i,i为虚数单位,则z的实部为 ,= . 13.(x2-1)的展开式所有项系数之和为 ,常数项为 . 14.△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2A=3cos(B+C)+1,则∠A为 ,若cosBcosC=-,且△ABC的面积为2,则a为 . 15.已知平面向量|α|=|β|=,且α与β-α的夹角为150°,则α·β= ,(t∈R)的取值范围是 . 16.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法有 种. 17.已知定义域是R的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若x时,不等式f(1+xlog27·log7a)≤f(x-2)恒成立,则实数a的取值范围是 . 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本小题满分14分)设函数f(x)=2sinxcosx-cos(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.7\n19.(本小题满分15分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2,∠CAA1=,D,E分别为AA1,A1C的中点.(1)求证:A1C⊥平面ABC;(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=xex-a(x-1)(a∈R),(1)若函数f(x)在x=0处有极值,求a的值及f(x)的单调区间;(2)若存在实数x0,使得f(x0)<0,求实数a的取值范围.21.(本小题满分15分)如图,设点A,F1,F2分别为椭圆=1的左顶点和左、右焦点,过点A作斜率为k的直线交椭圆于另一点B,连接BF2并延长交椭圆于点C.(1)求点B的坐标(用k表示);(2)若F1C⊥AB,求k的值.7\n22.(本小题满分15分)已知数列{an}中,满足a1=,an+1=,记Sn为an前n项和.求证:(1)an+1>an;(2)an=cos参考答案综合能力训练一1.B 解析由题意得P=[0,4],Q=(-3,3),∴P∪Q=(-3,4].2.D3.A 解析此几何体的下部分是圆锥,上面是个球,所以几何体的体积V=×π×12×2+π×13=π,故选A.4.C 解析作出可行域,如图,△ABC内部(含边界),作出直线l:2x-3y=0,平移直线l,当它过点C(1,0)时,z=2x-3y取得最大值2.故选C.5.B 解析|x1|+|x2|≥2=2,所以2≤2,则|b|≤1,故选B.6.D 解析可举a1=-1,q=,可得数列的前几项依次为-1,-,-,…,显然不是递减数列,故由“0<q<1”不能推出“{an}为递减数列”;可举等比数列-1,-2,-4,-8,…,显然为递减数列,但其公比q=2,不满足0<q<1,故由“{an}为递减数列”也不能推出“0<q<1”.故“0<q<1”是“{an}为递减数列”的既不充分也不必要条件.故选D.7.D 解析因f'(x)=ax2+ax+1,故当a<0时,判别式Δ=a2-4a>0,其图象是选项C中的那种情形;当a>0时,判别式Δ=a2-4a>0,其图象是选项B中的那种情形;判别式Δ=a2-4a≤0,其图象是选项A中的那种情形;当a=0,即y=x也是选项A中的那种情形,故选D.7\n8.C 解析由题设及数学期望的公式可得⇔p1=p3.故选C.9.C 解析连接AQ,由题意可得若BC边上有且只有一个点Q,使得PQ⊥QD,则BC边上有且只有一个点Q,使得AQ⊥QD,即以AD为直径的圆与直线BC相切,设AD的中点为O,则QO⊥AD,可得QO⊥平面PAD,作OH⊥PD于点H,连接QH,则∠OHQ是二面角A-PD-Q的平面角,设AB=PA=a,则AD=2a,在Rt△QOH中,可求得OH=,QH=,cos∠QHO=,二面角A-PD-Q的余弦值为.故选C.10.C 解析分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则G,E,F(x,0,0),D(0,y,0),其中0<x<1,0<y<1,于是=-x-y+=0,得y=-x+.∴DF=的意义即点(x,y)满足线段y=-x+(0<x<1)与(0,0)的距离的范围易求得DF∈.11.195 解析设顶层的灯数为a1,公比为q,n=7,S7==381,解得a1=3,底层为a7=a1q6=3×26=192,所以a1+a7=195盏灯.12.0 i 解析∵复数z的共轭复数记作,(1+i)z=1-i,i为虚数单位,∴z==-i,实部为0.∴=i.13.0 -48 解析令x=1,可得所有项系数和为0,的展开式的通项公式为Tr+1=(-2)5-r(-2)5-rx-r.令-r=-2,-r=0,分别解得r=2,r=0.∴(x2-1)的展开式的常数项=1×(-2)3-1×1×(-2)5=-48.14. 4 解析由cos2A=3cos(B+C)+1得2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,所以cosA=或cosA=-2(舍去),因为A为三角形内角,所以∠A=.因为cosA=-cos(B+C)=,则cosBcosC-sinBsinC=-;由cosBcosC=-,得sinBsinC=,由正弦定理,有,即b=,c=,由三角形的面积公式,得S=bcsinA=a2,即a2=2,解得a=4.15.- 解析∵平面向量|α|=|β|=,且α与β-α的夹角为150°,如图,设=α,=β,则=β-α,∴△OAB为等腰三角形,且∠AOB=120°,∠OAB=∠OBA=30°.∴α·β=×cos120°=-.7\n∴====.故答案为-.16.20 解析根据题意,分2种情况讨论:①若A与C之间为B,即B在A,C中间且三人相邻,考虑A,C的顺序,有种情况,将三人看成一个整体,与D,E2人全排列,有=6种情况,则此时有2×6=12种排法;②若A与C之间不是B,先在D,E中选取1人,安排在A,C之间,有=2种选法,此时B在A的另一侧,将4人看成一个整体,考虑A,C的顺序,有=2种情况,将这个整体与剩余的1人全排列,有=2种情况,则此时有2×2×2=8种排法;则一共有12+8=20种符合题意的排法.17. 解析若x∈时,不等式f(1+xlog27·log7a)≤f(x-2)恒成立⇔|1+xlog2a|≤|x-2|对任意x∈恒成立,即1-≤log2a≤-1恒成立,又=0,=-2,故-2≤log2a≤0,解得≤a≤1.18.解(1)f(x)=sin2x-=sin2x-cos2x=sin,故周期为π.(2)由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,取k=0,则x∈,取k=1,则x∈,又因为x∈[0,π],所以f(x)的单调递增区间为.19.(1)证明∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C⊂平面AA1C1C,∴BC⊥A1C.在△AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=,由余弦定理得A1C2=AC2+A-2AC·AA1cos∠CAA1=3,∴A1C=,∴AC2+A1C2=A.∴AC⊥A1C.又∵AC∩BC=C,∴A1C⊥平面ABC.(2)解由(1)知,CA,CA1,CB两两垂直,∴如图,以C为空间坐标系的原点,分别以CA,CA1,CB所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0,,0).由此可得D,E.设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),7\n则有令z=1,则x=0,y=.∴n=.又∵A1C⊥平面ABC,∴=(0,,0)是平面ABC的一个法向量.∴cos<n,>=.∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为.20.解(1)f'(x)=(x+1)ex-a,由f'(0)=0,解得a=1,故f'(x)=(x+1)ex-1,令f'(x)>0,解得x>0,令f'(x)<0,解得x<0,故f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增.(2)若f(x)<0在x∈上有解,即xex<a(x-1),a<在x∈上有解,设h(x)=,x∈,则h'(x)=<0,故h(x)在递减,h(x)在上的值域是(-,0),故a<h(0)=0.即a的取值范围为(-∞,0).21.解(1)设点B(xB,yB),直线AB的方程为y=k(x+2),联立=1得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,∴-2xB=,即xB=,∴yB=k(xB+2)=,即B.(2)易知F2(1,0),=-,∴直线BF2,CF1的方程分别为y=(x-1),y=-(x+1),由解得C(8k2-1,-8k),代入=1,得192k4+208k2-9=0,即(24k2-1)(8k2+9)=0,得k2=,∴k=±.22.证明(1)由题意知2-2=an+1-2=(1-an)(1+2an),故只需要证明an<1即可.下面用数学归纳法证明:当n=1时,a1=<1成立;假设n=k时,ak<1成立,那么当n=k+1时,ak+1==1.综上所述,对任意n∈N*,an<1.即an+1>an得证.(2)用数学归纳法证明an=cos,当n=1时,a1==cos成立;假设n=k时,ak=cos,那么当n=k+1时,ak+1==cos.综上所述,对任意n∈N*,an=cos.7
