专题能力训练6 函数与方程及函数的应用一、能力突破训练1.函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为( ) A.0B.1C.2D.3答案：C解析：当x≤0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+lnx=0,解得x=e2.所以已知函数有2个零点.故选C.2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>14,则f(x)可以是( )A.f(x)=2x-12B.f(x)=-x2+x-14C.f(x)=1-10xD.f(x)=ln(8x-2)答案：C解析：依题意得g14=2+12-2<0,g12=1>0,则x2∈14,12.若f(x)=1-10x,则有x1=0,此时|x1-x2|>14,因此选C.3.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2022年5月1日12350002022年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升答案：B解析：因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数s=35600-35000=600(千米).所以在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600×100=8(升).故选B.4.已知函数f(x)=kx+2,x≤0,lnx,x>0(k∈R).若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是( )A.[2,+∞)B.(-1,0)C.[-2,1)D.(-∞,-2]答案：D解析：由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,6\n要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2.故选D.5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=lnx+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为 . 答案：f(a)<f(1)<f(b)解析：由题意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是增函数.因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).由题意,知g'(x)=1x+1>0,则函数g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.又g(1)=ln1+1-2=-1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是增函数,所以f(a)<f(1)<f(b).6.已知函数f(x)=x3,x≤a,x2,x>a.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是 . 答案：(-∞,0)∪(1,+∞)解析：要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0≤a≤1时,由f(x)的图象(图略)知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a<0时,由f(x)的图象(如图①)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,0)内单调递减,在区间[0,+∞)内单调递增,且a3<0,a2>0,所以,当0<b<a2时,f(x)图象与y=b有两个不同交点.图①图②当a>1时,由f(x)的图象(如图②)知,f(x)在区间(-∞,a]上单调递增,在区间(a,+∞)内单调递增,但a3>a2,所以当a2<b≤a3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a<0或a>1.7.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下:6\n①若一次性购物不超过200元,则不给予优惠;②若一次性购物超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③若一次性购物超过500元,则500元按第②条给予优惠,剩余部分给予7折优惠.甲单独购买A商品实际付款100元,乙单独购买B商品实际付款450元,若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款 元. 答案：520解析：设商品价格为x元,实际付款为y元,则y=x,0<x≤200,0.9x,200<x≤500,500×0.9+0.7(x-500),x>500,整理,得y=x,0<x≤200,0.9x,200<x≤500,100+0.7x,x>500.∵0.9×200=180>100,∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450,∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元.8.设x3+ax+b=0,其中a,b均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号) ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2;③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2.答案：①③④⑤解析：方程仅有一个实根,则函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个公共点.当a=-3时,f(x)=x3-3x+b,f'(x)=3x2-3,由f'(x)=0,得x=±1,易知f(x)在x=-1处取极大值,在x=1处取极小值.当b=-3时,f(-1)=-1<0,f(1)=-5<0,满足题意,故①正确;当b=2时,f(-1)=4>0,f(1)=0,图象与x轴有2个公共点,不满足题意,故②不正确;当b>2时,f(-1)=2+b>4,f(1)=-2+b>0,满足题意,故③正确;当a=0和a=1时,f'(x)=3x2+a≥0,f(x)在R上为增函数,所以函数f(x)=x3+ax+b的图象与x轴只有一个交点,故④⑤也满足题意.9.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,因为|x|≥0,所以0<12|x|≤1,即2<g(x)≤3,故g(x)的值域是(2,3].(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|x|-2=0.当x≤0时,显然不满足方程,当x>0时,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-2×2x-1=0,(2x-1)2=2,解得2x=1±2.因为2x>0,所以2x=1+2,即x=log2(1+2).10.6\n如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y最少.解(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为320|v-c|+12,故y=100v320|v-c|+12=5v(3|v-c|+10)(v>0).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=5v(3c-3v+10)=5(3c+10)v-15;当c<v≤10时,y=5v(3v-3c+10)=5(10-3c)v+15.故y=5(3c+10)v-15,0<v≤c,5(10-3c)v+15,c<v≤10.①当0<c≤103时,y是关于v的减函数.故当v=10时,ymin=20-3c2.②当103<c≤5时,在区间(0,c]内,y是关于v的减函数;在区间(c,5]内,y是关于v的增函数.故当v=c时,ymin=50c.二、思维提升训练11.已知函数f(x)=ax-1x-2lnx(a∈R),g(x)=-ax.若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则实数a的范围为( )A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)答案：D解析：若至少存在一个x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,则f(x)-g(x)>0在x∈[1,e]时有解,由f(x)-g(x)>0⇔ax-1x-2lnx+ax=ax-2lnx>0有解,x∈[1,e],则a>2lnxx.设F(x)=2lnxx,6\n则F'(x)=2(1-lnx)x2,当x∈[1,e]时,F'(x)=2(1-lnx)x2≥0,所以F(x)在区间[1,e]上单调递增,即F(x)min=F(1)=0,因此a>0即可,故选D.12.设函数f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x≥1.(1)若a=1,则f(x)的最小值为 ; (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 . 答案：(1)-1 (2)12,1∪[2,+∞)解析：(1)当a=1时,f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x≥1,当x<1时,2x-1∈(-1,1);当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞).故f(x)的最小值为-1.(2)若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f(1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以a<1,2a≥1.故12≤a<1.若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.当21-a≤0,即a≥2时,函数f(x)=4(x-a)·(x-2a)的图象与x轴的两个交点x1=a,x2=2a都满足题意.综上,a的取值范围为12,1∪[2,+∞).13.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.因为f(0)=c,f'(0)=b,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx+c.(2)当a=b=4时,f(x)=x3+4x2+4x+c,所以f'(x)=3x2+8x+4.令f'(x)=0,得3x2+8x+4=0,解得x=-2或x=-23.f(x)与f'(x)在区间(-∞,+∞)上的变化情况如下:x(-∞,-2)-2-2,-23-23-23,+∞f'(x)+0-0+f(x)↗c↘c-3227↗6\n 所以,当c>0且c-3227<0时,存在x1∈(-4,-2),x2∈-2,-23,x3∈-23,0,使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=0.由f(x)的单调性知,当且仅当c∈0,3227时,函数f(x)=x3+4x2+4x+c有三个不同零点.(3)证明:当Δ=4a2-12b<0时,f'(x)=3x2+2ax+b>0,x∈(-∞,+∞),此时函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,所以f(x)不可能有三个不同零点.当Δ=4a2-12b=0时,f'(x)=3x2+2ax+b只有一个零点,记作x0.当x∈(-∞,x0)时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,x0)内单调递增;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在区间(x0,+∞)内单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f(x)有三个不同零点,则必有Δ=4a2-12b>0.故a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当a=b=4,c=0时,a2-3b>0,f(x)=x3+4x2+4x=x(x+2)2只有两个不同零点,所以a2-3b>0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a2-3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.14.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系:x=2000q.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量;(2)在乙方年产量为q(单位:吨)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少?解(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000q-sq(q≥0).因为w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s,所以当q=1000s2时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=1000s2吨.(2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2,将q=1000s2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式:v=10002s-2×10003s4.又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5,令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v取得最大值.因此当甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最大净收入.6
