专题4.4三角函数图像与性质【基础巩固】一、填空题1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的函数有________(填序号)．【答案】①②③2．(2022·南京模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)．3．(2022·南通、扬州、泰州、淮安调研)设函数y＝sin(0<x<π)，当且仅当x＝时，y取得最大值，则正数ω的值为________．【答案】2【解析】由题意可得ω＋＝＋2kπ，k∈Z且π≤，解得ω＝2.4．(2022·徐州检测)函数y＝cos2x－2sinx的最大值与最小值分别为________．【答案】2，－2【解析】y＝cos2x－2sinx＝1－sin2x－2sinx＝－sin2x－2sinx＋1，令t＝sinx，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以ymax＝2，ymin＝－2.6\n5．(2022·苏北四市联考)函数y＝sinx＋cosx的单调递增区间是________．【答案】6．(2022·盐城调研)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.【答案】【解析】因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.7．(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，给出以下结论：①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝对称；④函数f(x)在区间上是增函数．其中正确的是________(填序号)．【答案】①②④【解析】f(x)＝sin＝－cos2x，故其最小正周期为π，故①正确；易知函数f(x)是偶函数，②正确；由函数f(x)＝－cos2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，③错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，④正确．6\n8．(2022·承德模拟)若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.【答案】【解析】法一 由于函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.法二 由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.二、解答题9．(2022·安徽卷)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．10．(2022·天津卷)已知函数f(x)＝4tanxsin·cos－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性．6\n解 (1)f(x)的定义域为.f(x)＝4tanxcosxcos－＝4sinxcos－【能力提升】11．(2022·江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin2x的图象与y＝cosx的图象的交点个数是________．【答案】7【解析】在区间[0,3π]上分别作出y＝sin2x和y＝cosx的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．12．若函数f(x)＝4sin5ax－4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a6\n的值为________．【答案】±【解析】因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±.13．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值．则ω的值为________．【答案】【解析】f(x)在区间上有最小值，无最大值，则：①说明中有最低点．∵f＝f，∴最低点必为x＝＝.代入＋＝－＋2kπ，得ω＝＋8k，k为整数．②说明中无最高点，故>－＝，∴T＝>，∴0<ω<6.由①和②得ω＝.14．(2022·南通调研)已知函数f(x)＝a＋b.(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．6\n6
