专题4.5函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及其应用【考纲解读】内容要求备注A B C 基本初等函数Ⅱ（三角函数）、三角恒等变换函数的图象与性质 √ 1.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义．2．了解周期函数与最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期．3．了解三角函数的奇偶性、单调性、对称性，并会运用这些性质解决问题．【直击考点】题组一 常识题1．把函数y＝sinx的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y＝sin，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y＝sin的图像向左平移个单位长度得y＝sin的图像，即原函数为y＝sin.3．已知简谐运动f(x)＝2sinx＋φ|φ|<的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sinφ＝1，即sinφ＝.又因为|φ|<，所以φ＝.题组二 常错题9\n4．为得到函数y＝cos的图像，只需将函数y＝sin2x的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f(x)＝sincos在区间上单调递增，则ω的取值范围是____________．【解析】f(x)＝sincos＝sinωx，若函数f(x)在区间上单调递增，则＝≥＋＝，故ω∈.6．若f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋m对任意实数t都有f＝f，且f＝－3，则实数m＝________．【解析】由f＝f，得函数图像的对称轴为直线x＝.故当x＝时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m＝－3或2＋m＝－3，即m＝－1或m＝－5.题组三 常考题7．将函数y＝2cos的图像向左平移个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y＝2cos的周期为π，将函数y＝2cos的图像向左平移个周期即个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2cos＝2cos(2x＋π)＝－2cos2x.8．已知函数f(x)＝2sincos＋cosωx的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f(x)＝2sincos＋cosωx＝sinωx＋cosωx＝sin，所以T＝＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1求三角函数解析式1．的有关概念，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相9\n2．用五点法画一个周期内的简图用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：－3.由的图象求其函数式：已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．4.利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.考点2三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像;把函数向右平移个单位，得到函数的图像;把函数向上平移个单位，得到函数的图像;把函数向下平移个单位，得到函数的图像.伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;9\n把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.考点3函数的图像与性质的综合应用1.的递增区间是，递减区间是.2．对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．3.)若为偶函数，则有;若为奇函数则有.4.的最小正周期都是.【考点深度剖析】9\n本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1求三角函数解析式【1-1】已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】【1-2】如图，函数（其中，，）与坐标轴的三个交点、、满足，，为的中点，，则的值为.【答案】14【解析】由题意设、，，则，有两点间距离公式得，9\n【思想方法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；(2)的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；(3)的确定：结合图象，先求出周期，然后由()来确定；(4)求，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为(即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【温馨提醒】求时一般把图像上的一个最值点代入．考点2三角函数图象的变换【2-1】函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．第（9）题 9\n【答案】【解析】【2-2】函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为得到的图象，则只要将的图象向平移个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数的周期，，，，易求得点在函数的图像上，，又，，，将函数的图象向右平移个单位长即得的图象.【思想方法】1.在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2.图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的变换”的原则即可,值得注意点是,9\n要得到函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到,而不是平行移动个单位．考点3函数的图像与性质的综合应用【3-1】设的最小正周期为，且对任意实数都有，则的单调减区间是.【答案】【3-2】若函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是.【答案】【解析】∵函数的图像在上恰有一个极大值和一个极小值，∴，∴.【思想方法】(1)奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．(2)周期性：存在周期性，其最小周期为.(3)单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间．9\n(4)对称性：利用的对称中心为求解，令，求得.利用的对称轴为()求解，令得其对称轴．【温馨提醒】对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω>0)个单位长度。原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值。9
