第七章立体几何\n第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过________的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们______________过该点的公共直线．两点不共线有且只有一条\n\n\n\n锐角或直角平行\n(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________.相等或互补\n异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．\n题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()√××\n(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．()(5)两两相交的三条直线共面．()(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．()√××\n题组二 走进教材2．(必修2P147例1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°C\n[解析]连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.故选C．\n共面\n(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，①当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH为正方形．AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD\n题组三 走向高考4.(2019·新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B\n[解析]连BD、BE，则BD过点N，∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，M是线段ED的中点，∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，\n\nD\n\n\n考点突破·互动探究\n如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：例1考点一平面基本性质的应用——自主练透(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．\n[解析](1)如图，连接EF，CD1，A1B．因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B．又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．\n(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA．所以CE，D1F，DA三线共点．\n1．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．MINGSHIDIANBO\n〔变式训练1〕如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGC＝DHHC＝12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．\n\n∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．注：本题(2)可改为：求证GE、HF、AC三线共点．\n(1)(2019·上海)已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系()A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面例2B考点二空间两条直线的位置关系——师生共研\n(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为______(注：把你认为正确的结论序号都填上)．③④\n[解析](1)如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选B．\n(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.\n1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．MINGSHIDIANBO\n2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b，b∥c，则a∥c.\n〔变式训练2〕(1)(2021·甘肃诊断)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有___对．3\n(2)(2021·湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是()A．①③B．②③C．②④D．②③④C\n[解析](1)画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有(AB，GH)，(AB，GD)，(GH，EB)．故共有3对．故答案为3.\n(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉HG，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，G∉MN因此GH与MN异面，故选C．\n(1)(2021·广西玉林模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点，则异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为()例3A考点三异面直线所成的角——师生共研\nC3\n[解析](1)解法一：(平移法)如图，连接BE，BF、D1F，\n\n\n(2)解法一：连B1C交BC1于H，则H为B1C的中点，取AC的中点D，连HD，BD，\n\n解法二：如图所示，补成四棱柱ABCD－A1B1C1D1，\n解法三：如图所示，延长CB至D，使BD＝BC，连接DA，B1D．\n\n\n(3)如图，过O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成角为60°，如图易知过O与a′、b′所成角都为60°的直线有3条，即与a，b所成角都为60°的直线有3条．\n[引申1]本例(2)中异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为____.\n[引申2]本例(3)中与异面直线a、b所成角都为75°的直线有___条．4\n\n求异面直线所成角的方法1．定义法定义法求异面直线所成角的步骤(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0°<θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．MINGSHIDIANBO\n\n第二步：求异面直线上向量坐标．用终点坐标减去起点坐标写出所需要的向量坐标．第三步：计算或证明．利用证明两个非零向量垂直的充要条件和向量夹角的余弦公式进行计算和证明．\nA\nD\n\n\n\n名师讲坛·素养提升\n空间几何体的截面问题(1)(原创)E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是________.例4五边形\nA\n\n(2)正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，只要A1A、A1B、A1D1与平面α所成角相等，显然与平面AB1D1平行的平面均符合条件，如图：\n\n\n\n作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．MINGSHIDIANBO\n注：正六面体的一些截面：说明：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形．\n〔变式训练4〕(1)(2021·山东枣庄薛城区期中)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．(1)(2)B．(1)(3)C．(1)(4)D．(1)(5)D\nD正六边形\n[解析](1)当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为(1)；当不过上、下底的中心时，截面图形为(5)．所以只有(1)(5)正确．故选D．(2)考虑过球心的平面在转动过程中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D．
