突破练(二)1．已知函数f(x)＝sin＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．解 f(x)＝sin＋2cos2x－1＝－cos2x＋sin2x＋cos2x＝cos2x＋sin2x＝sin.(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由f(A)＝sin＝得2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)，即A＝kπ或A＝＋kπ，又A为△ABC的内角，所以A＝.又因为b，a，c成等差数列，所以2a＝b＋c.∵·＝bccosA＝bc＝9，∴bc＝18，∴cosA＝＝－1＝－1＝－1.∴a＝3.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．5\n(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B－AE－C的大小为45°，求PD∶AD的值．(1)证明 因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.所以平面EAC⊥平面PBD.(2)解 连接OE，因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz.设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n1＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝(x，y，z)则n2·＝0，且n2·＝0，即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.取x＝1，则y＝，z＝，则n2＝，∴cos45°＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，5\n解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.3．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．解 (1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有即∴－20≤q≤12.(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝，∴t＝；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝，8,9满足条件．4．已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为－1.(1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：M·M为定值．(1)解 化圆的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，5\n则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1.又椭圆上的点到点F的距离最小值为－1，所以a－c＝－1，即a＝.故所求椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明 ①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1.可求得A，B.此时，M·M＝·＝－.②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.因为M·M＝·＝＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋2＋k(x1＋1)·k(x2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋k2＋＝(1＋k2)·＋＋k2＋＝＋＝－2＋＝－.所以，M·M为定值，且定值为－.5．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．解 (1)由题意可得3an＋1＋2Sn－3＝0，①n≥2时，3an＋2Sn－1－3＝0，②5\n①－②得3an＋1－3an＋2an＝0，∴＝(n≥2)，a1＝1,3a2＋a1－3＝0，∴a2＝，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝n－1.(2)由(1)知：Sn＝＝.若为等差数列，则S1＋λ·1＋，S2＋λ·2＋，S3＋λ·3＋成等差数列，∴2＝S1＋λ＋S3＋λ，解得λ＝.又λ＝时，Sn＋·n＋＝，显然成等差数列，故存在实数λ＝，使得数列成等差数列．5
