限时练(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设集合A＝{x|2x≤4}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )．A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2)D．(1,2]解析 A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>1}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}．答案 D2．已知α∈，cosα＝，则tan等于( )．A．7B.C．－7D．－解析 ∵α∈，cosα＝，∴sinα＝－，∴tanα＝＝－，∴tan＝＝＝－.答案 D3．直线l，m与平面α，β，γ，满足l＝β∩γ，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则必有( )．A．α⊥γ且m∥βB．α⊥γ且l⊥mC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析 m⊥γ，m⊂α⇒α⊥γ，⇒m⊥l.答案 B4．已知命题p：函数y＝2－ax＋1恒过(－1,1)点；命题q：若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝1对称，下列命题为真命题的是( )．A．p∧qB．綈p∧綈qC．綈p∧qD．p∧綈q5\n解析 当x＝－1时，y＝1，命题p正确；若函数f(x－1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x＝－1对称，命题q错误，故选D.答案 D5．不等式组所表示的平面区域是面积为1的直角三角形，则z＝x－2y的最大值是( )．A．－5B．－2C．－1D．1解析 如图，由题意知，直线x＋y－4＝0与直线y＝kx垂直，所以k＝1，满足平面区域的面积为1，所以当直线x－2y＝0平行移动经过点A(1,1)时，z达到最大值－1.答案 C6．已知非零向量a，b满足|b|＝1，且b与b－a的夹角为30°，则|a|的取值范围是( )．A.B.C.D.解析 设|b－a|＝t(t>0)，由余弦定理知：|a|2＝|b|2＋t2－2|b|tcos30°＝t2－t＋1＝2＋≥，∵|a|>0，∴|a|≥.答案 D7．已知一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为( )．5\nA．8－B．8－C．4－D．4－解析 由三视图知，该几何体为一个长方体里面挖去一个半球，长方体的体积为：2×2×1＝4，半球的体积为×πr3＝××π×13＝，故该几何体的体积为4－.答案 D8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，若直线AB斜率为，则双曲线离心率为( )．A.B．2C.D．4解析 设点A(x，y)在第一象限，因为原点O在线段MN为直径的圆上，∴OM⊥ON，又∵M，N分别为AF，BF的中点，∴AF⊥BF，即在Rt△ABF中，OA＝OF＝2，又直线AB的斜率为，∴xA＝，yA＝，代入双曲线－＝1得－＝1，又a2＋b2＝4，得a2＝1，b2＝3.故双曲线离心率为2.答案 B二、填空题9．若直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则＋的最小值为________．解析 ∵直线平分圆，∴直线过圆心，又圆心坐标为(－4，－1)，∴－4a－b＋1＝0，∴4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b)＝4＋＋＋4≥16，当且仅当b＝4a，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最小值为16.答案 1610．在等比数列{an}中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，则a7＋a8＝________.解析 ∵a1＋a2＝a1(1＋q)＝30，a3＋a4＝a1q2(1＋q)＝60，∴q2＝2，∴a7＋a8＝a1q6(1＋q)＝[a1(1＋q)]·(q2)3＝30×8＝240.答案 24011．以双曲线－＝1的右焦点为圆心，且被其中一条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为________．5\n解析 双曲线－＝1的右焦点为(2，0)，渐近线方程为：y＝2x，则2＋32＝r2，解得r2＝25，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25.答案 (x－2)2＋y2＝2512．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为________．解析 由题意知，sinB＋cosB＝，所以sin＝，所以B＝，根据正弦定理可知＝，可得＝，所以sinA＝，又a＜b，故A＝.答案 13．如图放置的正方形ABCD，AB＝1，A，D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________．解析 令∠OAD＝θ，∵AD＝1，∴OA＝cosθ，OD＝sinθ，∠BAx＝－θ，故xB＝cosθ＋cos＝cosθ＋sinθ，yB＝sin＝cosθ，∴＝(cosθ＋sinθ，cosθ)，同理可求得C(sinθ，cosθ＋sinθ)，∴＝(sinθ，cosθ＋sinθ)，∴·＝(cosθ＋sinθ，cosθ)·(sinθ，cosθ＋sinθ)＝1＋sin2θ≤2，当且仅当θ＝时等号成立．答案 214．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.解析 如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.5\n答案 [－1，＋∞)15．给出如下四个命题：①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1≤1”；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的序号是________．解析 若“p∧q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，所以①不正确；②正确；“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x0∈R，x＋1＜1”，所以③不正确；在△ABC中，若A＞B，则a＞b，根据正弦定理可得sinA＞sinB，反之也成立，所以④正确．故不正确的命题有①③.答案 ①③5
