计算题58分练(3)23.(16分)如图1所示，让小球从一半径为R＝2m的光滑圆弧轨道的C位置由静止释放，运动到最低点D后，进入粗糙的水平面上由D点向右做匀减速直线运动，到达小孔A进入半径r＝0.3m的竖直放置的光滑圆环轨道，当小球进入圆环轨道后立即关闭A孔。已知两轨道与水平面平滑连接，θ＝60°，小球质量为m＝0.5kg，D点与小孔A的水平距离s＝2m，g取10m/s2。图1(1)求小球在D点对轨道的压力大小；(2)要使小球能进入圆环轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面的动摩擦因数μ的取值范围。解析 (1)小球由C到D运动过程，由机械能守恒定律得mgR(1－cosθ)＝mv(2分)在D点由牛顿第二定律可得FN－mg＝m(1分)解得FN＝2mg＝10N(1分)由牛顿第三定律可得小球在D点对轨道的压力大小FN′＝FN＝10N。(1分)(2)小球不脱离圆环轨道分两种情况：①要保证小球能到达A孔，设小球到达A孔时的速度恰好为零，由动能定理可得－μ1mgs＝0－mv(1分)解得μ1＝0.5(1分)若小球进入A孔时的速度较小，那么将会在圆心以下来回摆动，不脱离轨道，其临界情况为到达圆心等高处速度为零，由机械能守恒可得mv＝mgr(1分)小球从D到A过程，由动能定理可得－μ2mgs＝mv－mv(2分)解得μ2＝0.35(1分)若小球能过圆环轨道的最高点且恰好不会脱离轨道，则在圆环轨道的最高点由牛顿第二定律可得mg＝m(1分)小球从D点到圆环轨道最高点过程，由动能定理可得－μ3mgs－2mgr＝mv2－mv(2分)解得μ3＝0.125(1分)因此动摩擦因数μ的取值范围为0.35≤μ＜0.5或者μ≤0.125。(1分)4\n答案 (1)10N (2)0.35≤μ＜0.5或μ≤0.12524.(20分)(2022·宁波市高三检测)在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形闭合线框abcd，在水平外力的作用下，从静止开始沿垂直磁场边界方向做匀加速直线运动，穿过磁感应强度为B的匀强磁场，平行磁场区域的宽度大于线框边长，如图2甲所示。测得线框中产生的感应电流i的大小和运动时间t的变化关系如图乙所示。已知图象中四段时间分别为Δt1、Δt2、Δt3、Δt4。图2(1)比较Δt1、Δt3两段时间内水平外力的大小；(2)若已知Δt2∶Δt3∶Δt4＝2∶2∶1，则线框边长与磁场宽度比值为多少？(3)若bc边刚进入磁场时测得线框速度为v，bc两点间电压为U，求Δt2时间内，线框中的平均感应电动势。解析 (1)相等。因为Δt1、Δt3两段时间无感应电流，即无安培力，则使线框做匀加速直线运动的合外力均为水平外力，大小相等。(4分)(2)设线框加速度为a，bc边进入磁场时速度v，Δt2＝Δt3＝2Δt4＝2Δt，线框边长为l，磁场宽度为L根据三段时间内线框位移，得v·2Δt＋a(2Δt)2＝l(2分)v·4Δt＋a(4Δt)2＝L(2分)v·5Δt＋a(5Δt)2＝l＋L(2分)解得l/L＝7∶18(2分)(3)bc间电压U，则感应电动势E＝(2分)设线框边长为l，则4U/3＝Blv(2分)Δt2时间内，平均感应电动势E＝NΔΦ/Δt2＝Bl2/Δt2(2分)联立得E＝16U2/(9Bv2Δt2)(2分)答案 (1)大小相等 (2)7∶18 (3)16U2/(9Bv2Δt2)25.(22分)如图3所示，在矩形区域ABCD4\n内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝5.0×10－2T，矩形区域AD长为m，AB宽为0.2m，在AD边中点O处有一放射源，某时刻，放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v＝2×106m/s的某种带正电粒子，带电粒子质量m＝1.6×10－27kg，电荷量为q＝＋3.2×10－19C(不计粒子重力)，求：图3(1)带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；(2)从BC边界射出的粒子中，在磁场中运动的最短时间；(3)分别从BC边界和CD边界射出的粒子数目的比值。解析 (1)qvB＝m(2分)得R＝＝0.2m(1分)(2)因为所有粒子的轨道半径相同，所以弦最短的圆弧所对应的圆心角最小，运动时间最短，作EO⊥AD，EO弦最短(1分)因EO＝0.2m，且R＝0.2m(1分)所以对应的圆心角为θ＝(1分)由qvB＝mR()2和v＝，得T＝(3分)最短时间为t＝·T＝＝＝×10－7s(3分)(3)如图乙所示，沿OA射入的粒子从F点射出，为左边界；沿OO2射入的粒子轨迹与BC切点G为右边界，所以从BC边界射出的粒子分布在图示FG区域，故从BC边射出的粒子射入时分布的夹角φ1＝(2分)4\n粒子从CD边界射出区域如图丙所示从D点射出粒子与AD成夹角θ时OD＝m 且R＝0.2m(1分)∠OO4D＝(2分)此时射入磁场的粒子速度方向与AD夹角为(1分)当轨迹圆与BC相切时，为能从CD边射出磁场的最上边缘，该粒子进入磁场速度方向垂直AD向上，与OD边的夹角为，故从CD边界射出的粒子分布的夹角φ2＝－＝(2分)故从两边界射出粒子数目的比值为＝＝(2分)答案 (1)0.2m (2)×10－7s (3)3∶14
